2010届高考一轮达标精品试卷(一)第1单元集合与简易逻辑

2010届高考数学一轮达标精(一品)试卷
第一单元 会合与简略逻辑
(时量 :120 分钟 150分)
一、选择题： 本大题共 10 小题，每题
5 分，共 50 分．在每题给出的四个选项中，只有
一项为哪一项切合题目要求的．
1．设会合 P ＝ {3 ， 4，5} ，Q ＝{4 ，5， 6，7} ，定义 P ※ Q ＝ {( a ， b)|a ∈ P ， b ∈ Q} ，则 P ※ Q
中元素的个数为
A ． 3
B ．4
C ． 7
D ． 12
2．设 A 、 B 是两个会合，定义 A － B ＝ { x|x ∈ A ，且 x B} ，若 M ＝ { x||x ＋ 1| ≤2}， N ＝ { x|x ＝
|sin ，α|∈ R} ，则 M － N ＝
A ．[－3， 1]
B ．[－3， 0]
C ．[0，1]
D ． [－ 3，0]
3．映照 f ： A →B ，假如知足会合
B 中的随意一个元素在Ａ中都有原象，则称为
“满射 ”．已
知会合 A 中有 4 个元素，会合 B 中有 3 个元素，那么从 A 到 B 的不一样满射的个数为
A ．24
B ．6
C ． 36
D ． 72
4．若 lga ＋ lgb ＝ 0(此中 a ≠1， b ≠ 1)，则函数 f( x)＝ a x 与 g(x)＝ b x
的图象
A ．对于直线 y ＝ x 对称
B ．对于 x 轴对称
C ．对于 y 轴对称
D ．对于原点对称
5．若任取 x 1、 x 2 ∈[a ， b] ，且 x 1≠x 2 ，都有 f(
x 1＋x 2
)＞ 1 ＋ 2
2 f(x ) 2
f(x )
建立，则称 f(x) 是 [a ， b] 上
的凸函数．试问：在以下图像中，是凸函数图像的为
y y
y
y
a
b x ab x ab x
a
b x
A
B
C
D
p ＋ p
在(1，＋ ∞)上是增函数，则实
数
p 的取值范围是
6．若函数 f(x)＝ x － x
2
A ．[－1，＋ ∞ )
B ．[1，＋ ∞)
C ． (－ ∞，－ 1]
D ． (－ ∞， 1]
7．设函数 f(x)＝ x|x|＋ bx ＋ c ，给出以下四个命题：
① c ＝ 0 时， f( x)是奇函数 ② b ＝ 0，c>0 时，方程 f(x)＝ 0 只有一个实根 ③ f(x)的图象对于 (0， c)对称 ④方程 f(x)＝ 0 至多两个实根
此中正确的命题是
A ．①④
B ．①③
C ．①②③
D ．①②④
e x ＋ 1
8．函数 y ＝e x － 1，x ∈ (0，＋ ∞)的反函数是
A ． y ＝ ln x － 1
， x ∈ (－
∞， 1) x ＋ 1
C ． y ＝ln
x －1
， x ∈ (1，＋ ∞)
x ＋1
B ． y ＝ln
x ＋1
， x ∈ (－ ∞， 1)
x －1
x ＋ 1
D ． y ＝ ln
， x ∈ (1，＋ ∞)
9． 假如命题 P ：
{ } ，命题 Q ：
{ } ，那么以下结论不正确的选
项是
A ． “P 或 Q ”为真
B ． “P 且 Q ”为假
C ． “非 P ”为假
D ． “非 Q ”为假
10．函数 y ＝x 2 －2x 在区间 [a ， b] 上的值域是 [ － 1， 3]，则点 ( a ， b)的轨迹是图中的
A ．线段 A
B 和线段 AD
B ．线段 AB 和线段 CD
C ．线段 A
D 和线段 BC
D ．线段 AC 和线段 BD
答题卡
题号 1
2
3
4 5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题： 本大题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分．把答案填在横线上． 11．已知函数 f(x)是定义在 (－ 3， 3)上的奇函数，当 0<x<3 时， f(x)的 y
图象如下图，则不等式
f(x)cosx<0
的 解 集
. 。

O 1 是
． 2
3x。

12． 国家规定个人稿费纳税方法是：不超出 800 元的不纳税；超出 800 元而不超出 4000 元 的按超出 800 元部分的 14%纳税；超出 4000 元的按所有稿酬的 11%纳税．已知某人出
版一本书，共纳税 420 元时，这个人应得稿费 (扣税前 )为
元．
13．已知函数 f(x)＝ f ( x)
x 2 , x
0,
若f ( f ( x 0 )) 2, 则 x 0 ＝ ．
2 cosx,0 x .
14．若对于随意 a ∈ [ － 1， 1] ，函数 f(x)＝ x 2＋ (a － 4)x ＋ 4－ 2a 的值恒大于零，则
x 的取值范
围是
．
15．假如函数 f(x)的定义域为 R ，对于 m ，n ∈ R ，恒有 f(m ＋ n)＝ f(m)＋ f(n)－6，且 f(－ 1)是
不大于 5 的正整数，当 x>－ 1 时， f(x)>0 ．
那么拥有这类性质的函数
f(x)＝
． (注：填上你以为正确的一个函数即可 )
三、解答题： 本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 12 分）
二次函数 f(x)知足 f (x ＋ 1)－ f (x)＝ 2x 且 f (0)＝ 1．
⑴求 f (x)的分析式；
⑵在区间 [ － 1，1]上，y＝ f (x)的图象恒在y＝ 2x＋m 的图象上方，试确立实数m 的范围．17．（本小题满分12 分）
已知会合 A＝{ x |( x
x 2a
0}
．2)[ x (3a 1)] 0} ，B＝ { x |
2
x (a 1)
⑴当 a＝ 2 时，求 A B；
⑵求使 B A 的实数 a 的取值范围．
18．（本小题满分14 分）
已知命题p ：方程 a 2 x 2 ax 2 0 在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 知足不等式x2 2ax 2a 0 ，若命题“p或q”是假命题，务实数 a 的取值范围．
19．（本小题满分14 分）
设函数 f ( x) 2x a 2 x 1 (a为实数)．
⑴若a<0，用函数单一性定义证明：y f ( x) 在 ( , ) 上是增函数;
⑵若a＝ 0，y g( x) 的图象与y f ( x) 的图象对于直线y＝ x 对称，求函数y g (x)
的分析式．
20．（本小题满分14 分）
函数 f ( x) 2 x a 的定义域为
(0， 1]（a为实数）．x
⑴当a 1 时，求函数y f ( x) 的值域；
⑵若函数y f ( x ) 在定义域上是减函数，求 a 的取值范围；
⑶求函数y f ( x ) 在x∈ (0， 1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．
21．（本小题满分14 分）
对于函数 f ( x) ax2(b 1) x b 2(a 0) ，若存在实数x0，使 f (x0 )x0建立，则称 x0为f (x)的不动点．
⑴当 a＝ 2， b＝－ 2 时，求f (x)的不动点；
⑵ 若对于任何实数b，函数f ( x)恒有两相异的不动点，务实数 a 的取值范围；
⑶在⑵的条件下，若 y f ( x) 的图象上A、B两点的横坐标是函数 f ( x) 的不动点，且
直线 y kx
1
是线段 AB 的垂直均分线，务实数 b 的取值范围．
2 1
2a
会合与简略逻辑参照答案
一、选择题（每题 5 分，共 50 分）
题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
D
B
C C
D
A
C
D
B
A
二、填空题（每题
4 分，共 20 分）
π
π
3π
11． 2，－1 ∪ (0， 1)∪ 2 ，3 ；12．3800；13．
4 ；14． (－∞?1)∪ (3，＋∞ )；15．x
＋ 6 或 2x ＋6 或 3x ＋ 6 或 4x ＋ 6 或 5x ＋ 6 三、解答题（共 80 分）
16．解： (1) 设 f （ x ）＝ ax 2＋ bx ＋ c ，由 f （ 0）＝ 1 得 c ＝1，故 f （ x ）＝ ax 2＋ bx ＋1．
∵ f(x ＋ 1)－ f(x) ＝ 2x ，∴ a(x ＋1) 2＋ b(x ＋1)＋ 1－ (ax 2＋ bx ＋ 1)＝ 2x ．
即 2ax ＋a ＋ b ＝ 2x ，因此
2a
2 ,
a 1
，∴ f(x) ＝ x 2－ x ＋ 1．
a b 0 b 1
(2) 由题意得 x 2－ x ＋ 1>2x ＋ m 在 [－ 1， 1]上恒建立．即 x 2－ 3x ＋ 1－ m>0 在 [－ 1， 1]上恒成 立．
设 g(x) ＝ x 2
－ 3x ＋ 1－ m ，其图象的对称轴为直线 x ＝
3
，因此 g(x) 在 [ －1， 1]上递减．
2 故只需 g(1)>0 ，即 12－ 3×1＋ 1－ m>0，解得 m< － 1．
17． 解：（1）当 a ＝ 2 时， A ＝（ 2， 7）， B ＝（ 4， 5）∴ A B ＝（ 4，5）． （2）∵ B ＝（ 2a ，a 2＋ 1），
当 a ＜ 1
时， A ＝（ 3a ＋ 1， 2）
3
要使 B
A ，一定
2a 3a 1 a
2
1 2
，此时 a ＝－ 1；
当 a ＝ 1
时， A ＝
，使 B
A 的 a 不存在；
3
当 a ＞ 1
时， A ＝（ 2， 3a ＋ 1）
3
要使 B
A ，一定 2a 2
，此时 1≤ a ≤ 3．
a 2
1 3a 1
综上可知，使 B A 的实数 a 的取值范围为 [1， 3]∪ { － 1}
18．
解 由 2 x 2
ax
2
，得 (ax
2)( ax
1)
，
: a
0 0
明显 a 0
x
2
或 x 1
a a
x 1,1 , 故 | 2 | 或 1 | 1, | a | 1
a 1 | a
“ 只有一个实数知足 x 2
2 ax 2a ”即抛物线 y x 2
与 轴只有
0 .
2 ax 2a x
一个交点， 4 a 2 8a 0. a 0或 2,
命题 或 为真命题 " 时 "| a |
或 a 0"
" p q 1
命题 或 Q " 为假命题
" P
的取值范围为 a | 1 a 或 a 1 a 0 0
19．解： (1) 设随意实数 x 1 <x 2，则 f(x 1)－ f(x 2) ＝
(2x
1
a 2
x
1
1)
(2
x
2
a 2
x
2
1)
＝ (2x 1
2x
2
)
a(2
x 1
2
x
2 )
＝ (2
x
1
2x 2
) 2
x
1
x 2
a
2
x 1 x
2
x 1 x 2 , 2x 1
2x 2
,2x
1
2x 2
0; a 0, 2x 1 x 2
a 0 ．
又
2x
1
x 2
0 ，∴ f(x 1 )－ f(x 2)<0，因此 f(x) 是增函数．
(2)当 a ＝ 0 时， y ＝ f(x) ＝ 2x － 1，∴ 2x ＝ y ＋ 1， ∴ x ＝ log 2(y ＋ 1)，
y ＝ g(x) ＝ log 2(x ＋ 1)．
20．解：（ 1）明显函数 y
f ( x) 的值域为 [ 2 2, ) ；
（ 2）若函数
y f ( x ) 在定义域上是减函数，则任取
x 1 , x 2 ( 0.1] 且 x 1 x 2 都有
f ( x 1 ) f ( x 2 ) 建立， 即
( x
1
x 2 )(2
a ) 0
x 1x 2
只需 a 2x 1 x 2 即可，
由 x 1 , x 2 ( 0.1] ，故 2 x 1 x 2 ( 2,0) ，因此 a 2 ，
故 a 的取值范围是 ( , 2] ；
（3）当 a 0 时，函数 y
f ( x ) 在 ( 0.1] 上单一增，无最小值，
当 x
1时获得最大值 2 a ；
由（ 2）适当 a 2 时，函数 y
f ( x )
在
(0.1]
上单一减，无最大值，
当 x ＝ 1 时获得最小值 2－ a ；
当 2 a 0 时，函数 y
f ( x ) 在 (0.
2a ]上单一减，在 [
2a 2
2
当 x
2a 时获得最小值 2
2a ．
2
21．解
f ( x) ax 2
(b 1) x b 2(a 0),
, 1 ] 上单一增，无最大值，
（1）当 a ＝ 2， b ＝－ 2 时， f (x) 2x 2
x 4.
设 x 为其不动点，即 2x 2
x
4 x.
则 2 x 2 2
x 4 0. x 1 1, x 2 2.即 f ( x) 的不动点是－ 1 ， ．
2 （2）由 f ( x)
x 得： ax 2 bx b
2 0 ． 由已知，此方程有相异二实根，
0 恒建立，即
b 2
4 (
2)
0.即 b 2 4ab 8a 0 对随意 b R 恒建立．
x
a b
b
0. 16a 2 32a 0
0 a 2.
（ 3）设 A( x 1 , x 1 ), B( x 2 , x 2 ) ，
直线 y
kx
1
是线段 AB 的垂直均分线，
k1
2 1
2a
b ,
记 AB 的中点 M ( x 0 , x 0 ). 由（ 2）知 x 0
2a
M 在 y kx
1
b b
1
.
2 1
上,
2a 2a 2
2a 2a
1
化简得： b a
1 1 1
2
(当a 2 时，等号建立）．
2a 2 1
2 1 4 2
2a 2a
a a 即
b 2 .
4。