2020高考文科数学二轮提分广西等课标3卷专用专题能力训练14 空间中的平行与垂直

专题能力训练14空间中的平行与垂直
一、能力突破训练
1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()
2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使
B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O.则下列说法正确的是()
A.O是△AEF的垂心
B.O是△AEF的内心
C.O是△AEF的外心
D.O是△AEF的重心
3.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列命题:①若α⊥β,m∥α,则m⊥β;②若m ⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β;③若m⊥β,m∥α,则α⊥β;④若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β.
其中正确命题的序号是()
A.①④
B.②③
C.②④
D.①③
4.已知平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面
ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()
A. B.
1
C. D.
5.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为.
6.(2019全国Ⅰ,文16)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,则点P到平面ABC的距离为.
7.如图,在多面体ABCDPE中,四边形ABCD和CDPE都是直角梯形,AB∥DC,PE∥DC,AD⊥DC,PD⊥平面ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F是CE的中点.
(1)求证:BF∥平面ADP;
(2)已知O是BD的中点,求证:BD⊥平面AOF.
8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面PAC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.
9.(2019全国Ⅲ,文19)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中
AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.
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(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;
(2)求图2中的四边形ACGD的面积.
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.
(1)求证:PE⊥BC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;
(3)求证:EF∥平面PCD.
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二、思维提升训练
11.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE 的交点.将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.
图①
图②
(1)证明:CD⊥平面A1OC;
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.
12.如图,AB是圆O的直径,点C是的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知
AB=2,VA=VB=VC=2.
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(1)求证:OD ∥平面VBC ; (2)求证:AC ⊥平面VOD ; (3)求棱锥C-ABV 的体积.
13.(2019广东佛山一中模拟,18)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面四边形ABCD 是菱形, AC ∩BD=O ,△PAC 是边长为2的等边三角形,PB=PD= ,AP=4AF.
(1)求四棱锥P-ABCD 的体积 - ;
(2)在线段PB 上是否存在一点M ,使得CM ∥平面BDF ?如果存在,求
的值;如果不存在,请说明理由.
14.如图①,在△ABC 中,D ,E 分别为AB ,AC 的中点,O 为DE 的中点,AB=AC=2 ,BC=4.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使得平面A 1DE ⊥平面BCED ,F 为A 1C 的中点,如图②.
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图①
图②
(1)求证:EF ∥平面A 1BD ; (2)求证:平面A 1OB ⊥平面A 1OC ;
(3)在线段OC 上是否存在点G ,使得OC ⊥平面EFG ?说明理由
.
专题能力训练14空间中的平行与垂直
一、能力突破训练
1.A解析易知选项B中,AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项C 中,AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项D中,AB∥NQ,且NQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ,故排除选项B,C,D.故选A.
2.A解析如图,易知PA,PE,PF两两垂直,∴PA⊥平面PEF,
从而PA⊥EF,
而PO⊥平面AEF,
则PO⊥EF,
∴EF⊥平面PAO,∴EF⊥AO.
同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,
∴O为△AEF的垂心.
3.B解析当α⊥β,m∥α时,有m⊥β,m∥β,m⊂β等多种可能情况,所以①不正确;当m⊥α,n⊥β,且m⊥n时,由面面垂直的判定定理知α⊥β,所以②正确;因为m⊥β,m∥α,所以α⊥β,③正确;若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β或α,β相交,④不正确.故选B.
4.A解析(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.
∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,
∴n∥CD1.
∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,
即∠B1D1C等于m,n所成的角.
∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,
∴m,n所成角的正弦值为.
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(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1平移,
补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF ∥平面CB 1D 1,所以平面AEF 即为平面α,m 即为AE ,n 即为AF ,所以AE 与AF 所成的角即为m 与n 所成的角. 因为△AEF 是正三角形,所以∠EAF=60°, 故m ,n 所成角的正弦值为
.
5. 解析 如图,取CD 的中点F ,SC 的中点G ,连接EF ,EG ,FG.
设EF 交AC 于点H ,连接GH ,易知AC ⊥EF. 又GH ∥SO ,∴GH ⊥平面ABCD ,
∴AC ⊥GH.
又GH ∩EF=H ,∴AC ⊥平面EFG. 故点P 的轨迹是△EFG ,其周长为 .
6. 解析 作PD ,PE 分别垂直于AC ,BC ,PO ⊥平面ABC.连接CO ,OD ,知CD ⊥PD ,CD ⊥PO ,PD ∩PO=P ,
∴CD ⊥平面PDO ,OD ⊂平面PDO , ∴CD ⊥OD. ∵PD=PE= ,PC=
2,
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∴sin ∠PCE=sin ∠PCD=
, ∴∠PCB=∠PCA=60°. ∴PO ⊥CO ,CO 为∠ACB 平分线, ∴∠OCD=45°,∴OD=CD=1,OC= .
又PC=2,∴PO= - .
7.证明 (1)如图,取PD 的中点G ,连接FG ,AG.
∵F 是CE 的中点,∴FG 是梯形CDPE 的中位线. ∵CD=3PE ,∴FG=2PE ,FG ∥CD. ∵CD ∥AB ,AB=2PE ,
∴AB ∥FG ,AB=FG ,即四边形ABFG 是平行四边形. ∴BF ∥AG.
又BF ⊄平面ADP ,AG ⊂平面ADP ,∴BF ∥平面ADP. (2)延长AO 交CD 于M ,连接BM ,FM ,
∵AB ∥DC ,AD ⊥DC ,∴BA ⊥AD.
又CD ⊥DA ,AB=AD ,O 为BD 的中点,
∴四边形ABMD 是正方形,∴BD ⊥AM ,MD=2PE , ∴FM ∥PD.
∵PD ⊥平面ABCD ,∴FM ⊥平面ABCD ,∴FM ⊥BD. ∵AM ∩FM=M ,∴BD ⊥平面AMF , ∴BD ⊥平面AOF.
8.(1)证明 因为PC ⊥平面ABCD ,所以PC ⊥DC. 又因为DC ⊥AC
,
所以DC⊥平面PAC.
(2)证明因为AB∥DC,DC⊥AC,
所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD,
所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.
所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)解在棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:
取PB的中点F,连接EF,CE,CF.
又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.
又因为PA⊄平面CEF,所以PA∥平面CEF.
9.(1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,
故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.
由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.
又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.
因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,
所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.
由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.
因此DM⊥CG.
在Rt△DEM中,DE=1,EM=,故DM=2.
所以四边形ACGD的面积为4.
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10.证明 (1)∵PA=PD ,且E 为AD 的中点,
∴PE ⊥AD.
∵底面ABCD 为矩形,∴BC ∥AD ,∴PE ⊥BC.
(2)∵底面ABCD 为矩形,∴AB ⊥AD.
∵平面PAD ⊥平面ABCD ,∴AB ⊥平面PAD.
∴AB ⊥PD.
又PA ⊥PD ,PA ∩AB=A ,
∴PD ⊥平面PAB.
∵PD ⊂平面PCD ,∴平面PAB ⊥平面PCD.
(3)如图,取PC 的中点G ,连接FG ,GD.
∵F ,G 分别为PB 和PC 的中点,
∴FG ∥BC ,且FG= BC.
∵四边形ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点,
∴ED ∥BC ,ED= BC ,
∴ED ∥FG ,且ED=FG ,
∴四边形EFGD 为平行四边形,
∴EF ∥GD.
又EF ⊄平面PCD ,GD ⊂平面PCD ,
∴EF ∥平面PCD.
二、思维提升训练
11.(1)证明 在题图①中,因为AB=BC= AD=a ,E 是AD 的中点,∠BAD= ,所以BE ⊥AC.
即在题图②中,BE ⊥A 1O ,BE ⊥OC ,
从而BE ⊥平面A 1OC
,
又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.
(2)解由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,
且平面A1BE∩平面BCDE=BE,
又由(1),A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,
即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.
由题图①知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.
从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36,得a=6.
12.(1)证明∵O,D分别是AB和AC的中点,∴OD∥BC.
又OD⊄平面VBC,BC⊂平面VBC,
∴OD∥平面VBC.
(2)证明∵VA=VB,O为AB中点,∴VO⊥AB.
在△VOA和△VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,
∴△VOA≌△VOC,
∴∠VOA=∠VOC=90°,
∴VO⊥OC.
∵AB∩OC=O,AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,
∴VO⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC,
∴AC⊥VO.
∵VA=VC,D是AC的中点,∴AC⊥VD.
∵VO⊂平面VOD,VD⊂平面VOD,VO∩VD=V,
∴AC⊥平面VOD.
(3)解由(2)知VO是棱锥V-ABC的高,且VO=-.
∵点C是的中点,
∴CO⊥AB,且CO=1,AB=2,
∴△ABC的面积S△ABC=AB·CO=×2×1=1,
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∴棱锥V-ABC 的体积为V V-ABC = S △ABC ·VO= ×1× ,故棱锥C-ABV 的体积为 .
13.解 (1)∵底面ABCD 是菱形,
∴O 为AC ,BD 的中点.
又PA=PC ,PB=PD ,∴PO ⊥AC ,PO ⊥BD.
∵AC ∩BD=O ,AC ⊂平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,
∴PO ⊥底面ABCD.
在△PAC 中,AC=2,∴PO= .
在△PBD 中,PB=PD= ,BD=2 .
∴V P-ABCD = ·PO·S 菱形ABCD = ×2×2 =2.
(2)过C 作CE ∥BD 交AB 延长线于E ,过E 作EH ∥BF 交PA 于H ,EH 与PB 的交点为M. ∵CE ∥BD ,BD ⊂平面BDF ,CE ⊄平面BDF ,∴CE ∥平面BDF.
∵EH ∥BF ,BF ⊂平面BDF ,EH ⊄平面BDF ,∴EH ∥平面BDF.
又CE ∩EH=E ,CE ⊂平面CEM ,EH ⊂平面CEM ,∴平面BDF ∥平面CEM.
∵CM ⊂平面CEM ,∴CM ∥平面BDF.
∵BD ∥CE ,DC ∥BE ,∴四边形BECD 为平行四边形,
∴DC=BE=AB ,∴B 为AE 中点.
∵AP=4AF ,EH ∥BF ,∴H 为PA 的中点,
∴M 为中线PB 与中线EH 的交点,∴M 是△APE 的重心,∴ .
14.(1)证明 取线段A 1B 的中点H ,连接HD ,HF.
∵D ,E 分别为AB ,AC 的中点,∴DE ∥BC ,DE= BC.
∵H ,F 分别为A 1B ,A 1C 的中点,∴HF ∥BC ,HF= BC
,
∴HF∥DE,HF=DE,∴四边形DEFH为平行四边形,∴EF∥HD.
∵EF⊄平面A1BD,HD⊂平面A1BD,∴EF∥平面A1BD.
(2)证明∵在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,AB=AC,
∴AD=AE,∴A1D=A1E.又O为DE的中点,
∴A1O⊥DE.
∵平面A1DE⊥平面BCED,且A1O⊂平面A1DE,∴A1O⊥平面BCED,∴CO⊥A1O.
在△OBC中,BC=4,易知OB=OC=2,∴CO⊥BO,∴CO⊥平面A1OB.又CO⊂平面A1OC,
∴平面A1OB⊥平面A1OC.
(3)解假设线段OC上存在点G,使得OC⊥平面EFG.
连接GE,GF,则必有OC⊥GF,且OC⊥GE.
在Rt△A1OC中,由F为A1C的中点,OC⊥GF,得G为OC的中点.
在△EOC中,∵OC⊥GE,∴EO=EC,这显然与EO=1,EC=矛盾.
∴在线段OC上不存在点G,使得OC⊥平面EFG.
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