日照市2015届高三第二次试题及答案数学试题(理)

2015年高三校际联合检测
理科数学
2015.05
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分。

考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第I 卷(共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数121i
z i
+=
-（i 是虚数单位）的共轭复数z 表示的点在 A.第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.已知集合{
}{}
2
40,2M x x x N x x M N =-<=≤⋃=，则 A. ()24-，
B. [)24-，
C. ()02，
D. (]02，
3.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号1，，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8，抽到的50人中，编号落入区间[]1400，的人做问卷A ，编号落入区间[]401750，的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为 A.12 B.13 C.14 D.15
4.函数()2
1x f x e -=（e 是自然对数的底数）的部分图象大致是
5.下列说法不正确的是
A.若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题
B.命题“2,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”
C.“2
π
ϕ=
”是“()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的充要条件
D.当0α<时，幂函数()0,y x α=+∞在上单调递减 6.执行如图所示的程序框图，输出的T= A.29 B.44 C.52 D.62 7.将函数()sin 6f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是 A. 12
x π
=- B. 12x π
=
C. 3
x π
=
D. 23
x π=
8.变量,x y 满足线性约束条件320,2,1,x y y x y x +-≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥--⎩
目标函数z kx y =-仅在点()0,2取得最
小值，则k 的取值范围是 A. 3k <- B. 1k >
C. 31k -<<
D. 11k -<<
9.函数
y =则以下不可能成为该等比数列公比的是 A.
3
4
B.
C.
D.
10.在()1,+∞上的函数()f x 满足：①()()2f x cf x =（c 为正常数）；②当24x ≤≤时，
()()()2
13.f x x f x =--若图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上.则c=
A.1或1
2
B.
1
22
或 C.1或3
D.1或2
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.如果双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线与
0y -=平行，则双曲线的离心率为_____.
12.已知()5
1ax +的展开式中2
x 的系数与4
54x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展
开式中3
x 的系数相等，则a =_____.
13.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是
______.
14.在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆()2
2
2
0x y r
r +=>交于A,B 两点，
O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344
OC OA OB r =+=uuu r uu r uu u r
，则______.
15.函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A B k k A B AB
ϕ-=
（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B
之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数3
2
1y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ>
②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；
④设曲线x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，
若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞. 其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 在ABC ∆中，已知()11
1sin ,cos 214
2A B ππ⎛⎫+=-=-
⎪⎝⎭.
（I ）求sinA 与角B 的值；
（II ）若角A,B,C 的对边分别为,,5,a b c a b c =，且，求的值.
17. （本小题满分12分）
直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，E ，F 分别是1,CC BC 的中点，11AE A B D ⊥，为棱11A B 上的点. （I ）证明：DF AE ⊥； （II ）已知存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐
二面角的余弦值为
14
，请说明点D 的位置.
18. （本小题满分12分）
甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.
（I ）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（II ）若左右手依次各取两球，称同一手中 两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.
19. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为()
2,2,n n S S n n n N *
=+∈且.
（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设集合{
}{}22,,2,n
A x x n n N
B x x a n N *
*
==+∈==∈，等差数列{}n
c 的任
一项n c A B ∈⋂，其中1c 是A B ⋂中的最小数，10110115c <<，求数列{}n c 的通项公式.
20. （本小题满分13分）
已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为()0,1F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A,B 两点.椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率
2
e =
（I ）分别求抛物线C 和椭圆E 的方程；
（II ）经过A,B 两点分别作抛物线C 的切线12,l l ，切线12l l 与相交于点M.证明AB MF ⊥； （III ）椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A M B ''''
，（,A B ''为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出抛物线C 与切线M A M B '
'''，所围成图形的面积；若不存在，试说明理由.
21. （本小题满分14分） 已知函数()2
ln f x x x x =-+.
（I ）求函数()f x 的单调递减区间； （II ）若关于x 的不等式()2
112a f x x ax ⎛⎫≤-+-
⎪⎝⎭
恒成立，求整数a 的最小值； （III ）若正实数12,x x 满足()()()
22
12121220f x f x x x x x ++++=，证明
12x x +≥
.
2015年高三校际联合检测理科数学参考答案
一．选择题 CBACC,ADCDD （1）【答案】C ，解：分母实数化乘以它的共扼复数1+i,
()()()()
12i 1i 12i 13i 13
i 1i 1i 1i 222Z +++-+=
===-+--+,Z ∴的共扼复数为13i 22Z -
=-
-，它表示的点为13,22⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
在第三象限.
（2）【答案】B.解:(0,4),[2,2],[2,4)M N M N ==-∴=-.
（3） 【答案】 A ，解:若采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，则需要
分为50组，每组20人，若第一组抽到的号码为8，则以后每组抽取的号码分别为28，48，68，88，108，……，所以编号落入区间[1,400]的有20人，编号落入区间[401,750]
的有18人，所以做问卷C 的有12人．
（4）【答案】 C ，解:函数()f x 为偶函数，排除A,B ；2
10x e ->，排除D,选C. （5）【答案】 C 解：A ．若“p 且q ”为假，则p 、q 至少有一个是假命题，正确；
B ．命题“x R ∃∈，2
10x x --<”的否定是“x R ∀∈，2
10x x --≥”，正确；
C ．“2
π
ϕ=
”是“sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充分不必要条件，故C 错误；
D ．0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上单调递减，正确． 故选：C （6）【答案】 A ，解：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2， 不满足条件T ＞2S ，S=6，n=2，T=8， 不满足条件T ＞2S ，S=9，n=3，T=17， 不满足条件T ＞2S ，S=12，n=4，T=29，
满足条件T ＞2S ，退出循环，输出T 的值为29．故选：A ． （7）【答案】 D ，解：将函数()πsin 6f x x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标
扩大到原来的2倍得函数()1
πsin 2
6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,其对称轴
方程为
1ππ2π
π,2π()2623
x k x k k +=+∴=+∈Z ， 故选D .
（8）【答案】C ，解:作出不等式对应的平面区域，
由z =kx -y 得y =kx -z ，
要使目标函数z =kx -y 仅在点A （0，2）处 取得最小值，则阴影部分区域在直线y =kx -z 的 下方，∴目标函数的斜率k 满足-3＜k ＜1.
（9）【答案】D ，解:函数等价为0,9)5(22≥=+-y y x ，表示为圆心在)0,5(半径为3
的上半圆，圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比q 应有228q =，即2,42==q q ，最小的公比应满足282q =，所以
21,412==
q q ，所以公比的取值范围为22
1
≤≤q ，所以选D. （10）【答案】 D ，解:先令12x ＃，那么224x ＃，c x f x f )2(=)(=])32(1[12
－－x c ；
再令48x
＃，那么242
x
＃
，)21(=)(x cf x f =2
1[1(3]2
c x －－）；
分别算出它们的极值点为(c
1
23，)，(3,1),(6,)c ，三点共线解得12c c ==或．
二、填空题
（11） 2.e =（12）±
（13）223.（14（15）②③.
（11）答案 2.e =解:由题意知
b a = 2.c
e a
==
（12）答案±
解：由二项式定理知: 5(1)ax +的展开式中2x 的系数为 32
5C a ，45()4x +的展开式中3x 的系数为1454
C ，于是有321545C 4a C =，解得 2
12a =，所以
可得a =，故答案为（13）答案
22
3
,解:由图知此几何体为边长为2的 正方体裁去一个三棱锥（如右图），所以此几何体的体积为1122222122323
⨯⨯-
⨯⨯⨯⨯=.
（14解:2
2
2
2532553924416
4416OC OA OB OA OA OB OB ⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即：
222225159+cos 16816r r r AOB r =
∠+，整理化简得：3
cos 5
AOB ∠=-，过点O 作AB
的垂线交AB 于D ，则2
3cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-
，得2
1cos 5
AOD ∠=，
又圆心到直线的距离为OD =
=，所以22
2212cos 5OD AOD r r ∠===，所以210r =
，r =
（15）答案②③.解:①
错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k =-=
(,)A B ϕ∴=
<②对：如1y =； ③
对；(,)2A B ϕ=
=
≤；④
错；
1212(,)x x x x A B ϕ=
=
1211,(,)A B ϕ==>因为1(,)t A B ϕ<恒成立，故1t ≤. （16）解：（Ⅰ）π
sin()cos 2
A A +=Q ，
11cos 14A ∴=，又0πA <<Q
，sin A ∴=. 1
cos(π)cos 2
B B -=-=-Q ，且0πB <<，
π
3
B ∴= (6)
分
（Ⅱ）由正弦定理得
sin sin a b A B =，sin 7sin a B
b A
⋅∴==， 另由2222cos b a c ac B =+-得2
49255c c =+-，
解得8c =或3c =-（舍去），
7b ∴=，8c = (12)
分
1
x
（17）（Ⅰ）证明：11AE A B ⊥ ，11A B ∥AB , A B A E ∴⊥, 又
1AB AA ⊥, 1A E A A
A
⋂=, AB ∴⊥面11A ACC ， 又
AC ⊂面11A ACC ,
A B A C ∴⊥,
以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -, 则()0,0,0A ,10,1,2E ⎛
⎫ ⎪⎝⎭,11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B , 设(),,D x y z ，111AD AB λ= ,
且[0,1]λ∈,即：()(),,11,0,0x y z λ-=,(),0,1D λ∴ ,
11,,122DF λ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭, 10,1,2AE ⎛
⎫∴= ⎪⎝
⎭,
∴11
022
DF AE =
-=, DF AE ∴⊥. ………6分
（Ⅱ）设面DEF 的法向量为 (),,n x y z = ，
则 00n FE n DF ⎧=⎨=⎩
，
111,,222FE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 11,,122DF λ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，
1
1102221102
2x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩， 即：
()()3211221x z y z λλλ⎧
=⎪-⎪
⎨
+⎪=⎪-⎩
， 令()21z λ=-, ()()
3,12,21n λλ∴=+- .
由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m = , ………9分
E
B C 1
平面DEF 与平面ABC
所成锐二面的余弦值为
14
. ()
14cos ,14m n m n m n
∴=
=
, 14=
, 12λ∴=
或7
4
λ=. 又[0,1]λ∈,∴7
4
λ=
舍去. ∴ 点D 为11A B 中点. ………12分
（18）解：（Ⅰ）设事件A 为“两手所取的球不同色”， 则3
2
993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-
=A P . ………5分
（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0,1,2．
左手所取的两球颜色相同的概率为18
5
2
92
42322=++C C C C ， 右手所取的两球颜色相同的概率为4
1
2
9232323=++C C C C ， ………7分 24134318134111851)0(=
⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-==X P ， 18
741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P ， 72
541185)2(=⨯=
=X P ， ………10分 所以Ｘ的分布列为：
36
197252187124130)(=⨯+⨯+⨯
=X E . ………………… ……12分 （19）解 （Ⅰ）∵2*2,(N )n S n n n =+∈．
当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+，
当1n =时，113a S ==满足上式，
所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. ………………… ……5分 （Ⅱ）∵*{|22,N }A x x n n ==+∈，*{|42,N }B x x n n ==+∈， ∴A
B B =.
又∵n c ∈A B ，其中1c 是A B 中的最小数，∴16c =，
∵{}n c 的公差是4的倍数，∴*1046(N )c m m =+∈． 又∵10110115c <<，∴*
11046115,
N ,m m <+<⎧⎨
∈⎩
， 解得27m =，所以10114c =， 设等差数列的公差为d ， 则1011146
121019
c c
d --=
==-，
∴6(1)12126n c n n =+-=-，
所以{}n c 的通项公式为126n c n =-. ………………… ……12分
（20）解：（Ⅰ）由已知抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F 可得抛物线C 的方程为2
4x y =.
设椭圆E 的方程为22
22+1(0)x y a b a b
=>>，半焦距为c .
由已知可得：
2221b c
a a
b
c =⎧⎪⎪=⎨
⎪=+⎪⎩,解得 2,1a b ==.所以椭圆E 的方程为：2
214
x y +=. ………………… ……4分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意， 故可设直线l 的方程为1,y kx =+ 112212(,),(,)()
A x y
B x y x x ≠， 由2
14y kx x y
=+⎧⎨
=⎩, 消去y 并整理得2
440,x kx --= ∴124x x =- .
∵抛物线C 的方程为214y x =，求导得1
2y x '=，∴过抛物线C 上A B 、两点的切线方程分别是1111()2y y x x x -=-，2221
()2
y y x x x -=-,
即2111124y x x x =-，2
221124
y x x x =-，
解得两条切线12,l l 的交点M 的坐标为1212(,)24x x x x +，即M 12(,1)2
x x
+-， 122121(,2)(,)2x x FM AB x x y y +⋅=-⋅--=22222121111
()2()0244
x x x x ---=,
∴AB MF ⊥. ………………… ……9分 （Ⅲ）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1y =-上，又直线1y =-与椭圆E 有唯一交点，故M '的坐标为(0,1)M '-，
设过点M '且与抛物线C 相切的切线方程为：0001
()2
y y x x x -=-，其中点00(,)x y 为
切点.
令0,1x y ==-得，200011
1(0)42
x x x --
=-， 解得02x =或02x =- ，
故不妨取(2,1
(21)A B ''-），，，即直线A B ''过点F . 综上所述，椭圆E 上存在一点(01)M '-，
，经过点M '作抛物线C 的两条切线A M ''、B M ''（A '、B '为切点），能使直线A B ''过点F .
此时，两切线的方程分别为1y x =--和1y x =-. 抛物线C 与切线M A ''、M B ''所围成图形的面积为
22322
0011142[(1)]2()41223
S x x dx x x x =--=-+=⎰. ………………… ……13分
（21）解：（Ⅰ）2121
()21(0)x x f x x x x x
-++'=-+=> ，
由()0f x '<，得2210x x -->， 又0x >，所以1x >．
所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞． ………………………………………… 4分 （Ⅱ）令221()()[(1)1]ln (1)122
a g x f x x ax x ax a x =--+-=-+-+，
所以21(1)1
()(1)ax a x g x ax a x x
-+-+'=-+-=．
当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，
又因为213
(1)ln11(1)12022
g a a a =-
⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()f x ≤2(1)12
a
x ax -+-不能恒成立．……………………6分
当0a >时，2
1
()(1)
(1)1()a x x ax a x a g x x x
-+-+-+'==-
， 令()0g x '=，得1x a
=
． 所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a
∈+∞时，()0g x '<，
因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a
∈+∞是减函数．
故函数()g x 的最大值为2111111()ln
()(1)1ln 22g a a a a a a a a
=-⨯+-⨯+=-． ……………………………………………………………………8分
令1
()ln 2h a a a
=
-， 因为1(1)02h =
>，1
(2)ln 204
h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <．
所以整数a 的最小值为2． …………………………………………………………10分 （
Ⅲ
）
由
22121212()()2()0
f x f x x x x x ++++=，即
2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=，
从而2
12121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅ 令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1
()t t t
ϕ-'=
， 可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增． 所以()(1)1t ϕϕ=≥，
所以2
1212()()1x x x x +++≥，又120x x +>，
因此12x x +≥ …………………………………………………………14分。