二项式定理 (1)

T10 = T9+1 = C x
9 12
12 9
a
9
=C x a
3 12 3
3
9
9
= 220 x a .
的展开式中的第4项 ） 例4（1）求(1+2x)7的展开式中的第 项 的二项式系数，和第 项的系数 项的系数； 的二项式系数，和第4项的系数；
1 9 系数。 （2）求 ( x ) 的展开式中的x3系数。 ） x 展开式的第4项为 解：（1） (1+2x)7展开式的第 项为 ）
( r = 0,1,2, L , n) 叫做二项式系数. 二项展开式中的 C r a n r b r 叫做二项式系数 二项式系数. n
叫做二项展开式的通项， 叫做二项展开式的通项， Tr +1 来表示 通项 用 来表示. 即通项为展开式的第r+1项 即通项为展开式的第 项 : Tr + 1 = C n a
a 4 , a 3 b, a 2 b 2 , ab 3 , b 4 .
现在来看一看上面各项在展开式中出现的次数， 也就是看展开 现在来看一看上面各项在展开式中出现的次数， 式中各项的系数是什么？ 式中各项的系数是什么？
(a + b )4 = (a + b )(a + b )(a + b )(a + b )
3 T4 = T3+1 = C7 ( 2 x ) 3 = 35 × 8 x 3 = 280x 3
∴ 第4项的二项式系数 C 7 = 35 ， 4项的系数是 280 . 项的二项式系数 3 第 项的系数是
1 9 （2 Q ( x ) 的展开式的通项是 ） x
r 9 9 r
1 r r Tr +1 = C x ( ) = ( 1) r C 9 x 9 2 r x 由题意得 9 2r = 3 r = 3
[
]
60 12 1 = 64 x 192 x + 240 x 160 + 2+ 3 . x x x
3 2
的展开式中的倒数第4项 例3 求 ( x + a ) 的展开式中的倒数第 项 .
12
解： ( x + a )12 展开式共有 项，所以倒数第 项是它的第十项 展开式共有13项 所以倒数第4项是它的第十项 项是它的第十项.
( a + b ) n = C 0 a n + C1 a n 1 b + C 2 a n 2 b 2 + L + C r a n r b r + L + C n b n n n n n n
* 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项 ( n ∈ N ) 二项式定理 其中各项的系数 C r 二项展开式， 式叫做的二项展开式 它一共有 n+1 项， 式叫做的二项展开式， n
r n r
br .
(a + b) = C a + C a b + + C a b + C b
n
定 理 特 征
0 n n
1 n1 n
r nr r n
n n n
1.系数规律： 系数规律： 系数规律
C 、C 、C 、 、C
0 n 1 n 2 n
n n
2.指数规律： 指数规律： 指数规律 （1）各项的次数均为 ； ）各项的次数均为n； 的指数由n降到 （2）各项里 的指数由 降到 ， ）各项里a的指数由 降到0， b的指数由 升到 的指数由0升到 的指数由 升到n. 3.项数规律： 项数规律： 项数规律 两项和的n次幂的展开式共有 次幂的展开式共有n+1个项 . 两项和的 次幂的展开式共有 个项
请同学们归纳、 请同学们归纳、猜想 !
0 Ca+b C1b 1a + 1
( a + b ) n = C 0 a n + C1 a n 1 b + C 2 a n 2 b 2 + L + C r a n r b r + L + C n b n n n n n n
(n ∈ N* )
一般地，对于任意正整数 ，上面的关系式也成立， 一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有
在上面4个括号中： 在上面 个括号中： 个括号中
C0 种，所以 4的系数是 C0 ； 每个都不取b的情况有 的情况有1种 所以a 每个都不取 的情况有 种，即 4 4
恰有1个取 的情况下有 4 所以a 的系数是 4 恰有 个取b的情况下有 C1 种，所以 3b的系数是 C1 ； 个取
2 恰有2个取 的情况下有 2 所以a 恰有 个取b的情况下有 C4 种，所以 2b2的系数是C4 ； 个取 3 恰有3个取 的情况下有 3 所以ab 恰有 个取b的情况下有 C4 种，所以 3的系数是 C4 ； 个取
4个都取 的情况下有 C4 种，所以 4的系数是 C4 . 个都取b的情况下有 4 所以b 个都取 4
2 3 ∴ (a + b)4 = C0 a 4 + C1 a 3 b + C4 a 2 b 2 + C4 ab 3 + C4 b 4 . 4 4 4
(a+b)1
= , 2 = C0 a 2 + C1 ab + C 2 b 2 , a2+2ab+b2 2 2 2 (a+b) 3 = C03+3a2b+3ab2+b3 + C 3 b 3 , a 3 + C1 a 2 b + C 2 ab 2 a3 3 3 3 (a+b) 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 =____________________， C4 b 4 ， ? (a+b) C4a + C4a b + C4 a b + C4 ab + 4 ， …… (a+b)n = ?
(a + b) = C a + C a b + + C a b + C b
n 0 n n
1 n1 n
r nr r n
n n n
二项式定理对任意的数a 都成 二项式定理对任意的数 、b都成 也成立！ 立，当然对特殊的a、b也成立！ 当然对特殊的 也成立
令a = 1 , b = x ，则
1 C +C L+ C L+ x (1+ x) = C++ Cxx + Cxx++L+ Cxx++L+ C. x
3 3 ∴ x3系数是 (1) C 9 = 84 .
练习： 练习： 1 ~ 6
作业： 作业： 习题 10.4
1~5
二教材 读书 P104~107，完成分级训练
(a + b) = C a + C a b + + C a b + C b
n 0 n n
1 n1 n
r
r nr r n
n n n
通项公式: 通项公式 Tr +1 = Cna
nr
br ( r = 0,1,2, L , n)
集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化， 集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化， 是二项式定理的核心， 它在求展开式的某些特定项、 是二项式定理的核心， 它在求展开式的某些特定项、 特定项系数、以及数、 特定项系数、以及数、式的整除方面有广泛应用 .
1 6 例2 展开 ( 2 x ) . x
解：先将原式化简，再展开 先将原式化简，
1 6 2x 1 6 1 (2 x ) =( ) = 3 ( 2 x 1)6 x x x
1 2 3 = 3 ( 2 x ) 6 C1 ( 2 x ) 5 + C 6 ( 2 x ) 4 C 6 ( 2 x ) 3 + C 4 ( 2 x ) 2 C 5 ( 2 x ) + C 6 6 6 6 6 x 1 = 3 (64 x 6 192 x 5 + 240 x 4 160 x 3 + 60 x 2 12 x + 1) x
n
0 n 11 nn 2222 nn rrrr nn
nn n n
1 4 例1 展开 (1 + ) . x 解： 1 4 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 (1 + ) = 1 + C 4 ( ) + C 4 ( ) + C 4 ( ) + C 4 ( ) x x x x x
4 6 4 1 = 1+ + 2 + 3 + 4 . x x x x
10.4 二项式定理 （1） ）
成都七中 授课人：曹杨可 课件制作：曹杨可
(a+b)1 = a+b , (a+b)2 = a2+2ab+b2 , (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 , ? (a+b)4 = _____________________， ， …… (a+b)n = ?
(a + b) = C a + C a b + + C a b + C b
n 0 n n
1 n1 n
r nr r n
n n n
（通项） r +1 = C r a n r b r， ）展开式的第r+1项 通项） n
叫做二项式系数 二项式系数， 其中 C r ( r = 0,1,2, L , n) 叫做二项式系数， n 它与第r+1项的系数是两个不同的概念 . 项的系数是两个不同的概念 它与第 项的系数 它可表示二项展开式中的任意项， （2） Tr +1 = C r a n r b r 它可表示二项展开式中的任意项， ） n 该项也随即确定； 只要n与 确定 该项也随即确定； 确定， 只要 与r确定， （3） Tr +1 = C r a n r b r 表示的是第 项， ） 表示的是第r+1项 而不是第 项； 而不是第r项 n （4） Tr +1 = C r a n r b r 中 a，b 的位置不能颠倒，且它 ） ， 的位置不能颠倒， n 们指数和一定为 n .
那么， 那么， (a + b )4 = (a + b )(a + b )(a + b )(a + b ) 展开后，它的各项是什么呢？ 展开后，它的各项是什么呢？ 容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号 容易看到，等号右边的积的展开式的每一项， 里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式 次式， 里任取一个字母的乘积 ，因而各项都是 次式 ，即展开式应有下 面形式的各项： 面形式的各项：