2016届高考数学理专题复习导练测第2章函数与基本初等函数(I)阶段测试(2)(新人教A版)

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【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第二章 函数与基本初等
函数(I )阶段测试(二)理 新人教A 版
(范围:§2.1~§2.3)
一、选择题
1.函数y =2-x lg x
的定义域是( ) A .{x |0<x <2}
B .{x |0<x <1或1<x <2}
C .{x |0<x ≤2}
D .{x |0<x <1或1<x ≤2}
答案 D
解析 由题意知,要使函数有意义只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2-x ≥0,x >0,
lg x ≠0,
解得0<x <1或1<x ≤2,所以函数y =2-x lg x
的定义域为{x |0<x <1或1<x ≤2}. 2.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ log 3x , x >0,a x +b , x ≤0且f (0)=2,f (-1)=3,则f (f (-3))等于( )
A .-2
B .2
C .3
D .-3
答案 B 解析 f (0)=a 0+b =1+b =2,解得b =1;f (-1)=a -1+b =a -1+1=3,解得a =12
. 故f (-3)=(12
)-3+1=9, f (f (-3))=f (9)=log 39=2.
3.已知函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f (2x -
1)<f (13
)的x 的取值范围是( ) A .(13,23) B .[13,23) C .(12,23) D .[12,23
) 答案 D
解析 由已知,得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -1≥0,2x -1<13,即12≤x <23
. 4.(2014·山东)已知实数x ,y 满足a x <a y (0<a <1),则下列关系式恒成立的是( )
A.1x 2+1>1y 2+1 B .ln(x 2+1)>ln(y 2+1)
C .sin x >sin y
D .x 3>y 3 答案 D
解析 因为0<a <1,a x <a y ,所以x >y .采用赋值法判断,A 中,当x =1,y =0时,12
<1,A 不成立.B 中,当x =0,y =-1时,ln 1<ln 2,B 不成立.C 中,当x =0,y =-π时,sin x =sin y =0,C 不成立.D 中,因为函数y =x 3在R 上是增函数,故选D.
5.设偶函数f (x )的定义域为R ,当x ∈[0,+∞)时f (x )是增函数,则f (-2),f (π),f (-
3)的大小关系是( )
A .f (π)>f (-3)>f (-2)
B .f (π)>f (-2)>f (-3)
C .f (π)<f (-3)<f (-2)
D .f (π)<f (-2)<f (-3)
答案 A
解析 因为π>3>2,且当x ∈[0,+∞)时f (x )是增函数,所以f (π)>f (3)>f (2). 又函数f (x )为R 上的偶函数,
所以f (-3)=f (3),f (-2)=f (2),
故f (π)>f (-3)>f (-2).
二、填空题
6.(2013·四川)已知f (x )是定义域为R 的偶函数,当x ≥0时,f (x )=x 2-4x ,那么,不等式f (x +2)<5的解集是________.
答案 {x |-7<x <3}
解析 令x <0,则-x >0,∵x ≥0时,f (x )=x 2-4x ,∴f (-x )=(-x )2-4(-x )=x 2+4x ,又f (x )为偶函数,∴f (-x )=f (x ),∴x <0时,f (x )=x 2+4x ,
故有f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-4x ,x ≥0,x 2+4x ,x <0.
再求f (x )<5的解,由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0,x 2-4x <5,得0≤x <5;由⎩⎪⎨⎪⎧ x <0,x 2+4x <5,得-5<x <0,即f (x )<5的
解为(-5,5).由于f (x )向左平移两个单位即得f (x +2),故f (x +2)<5的解集为{x |-7<x <3}.
7.设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )=x +1,则f (2015.5)=________.
答案 1.5
解析 f (2 015.5)=f (-0.5)=f (0.5)=0.5+1=1.5.
8.已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质:①直线x =1是函数f (x )的一条对称轴;②f (x +2)=-f (x );③当1≤x 1<x 2≤3时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0,则f (2 015)、f (2 016)、f (2 017)从大到小的顺序为________________.
答案 f (2 017)>f (2 016)>f (2 015)
解析 由f (x +2)=-f (x )得f (x +4)=f (x ),所以f (x )的周期是4,所以f (2 015)=f (3),f (2 016)=f (0),f (2 017)=f (1).因为直线x =1是函数f (x )的一条对称轴,所以f (2 016)=f (0)=f (2).由1≤x 1<x 2≤3时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0,可知当1≤x ≤3时,函数单调递减,所以f (2 017)>f (2 016)>f (2 015).
三、解答题
9.已知函数f (x )=2|x -2|+ax (x ∈R )有最小值.
(1)求实数a 的取值范围;
(2)设g (x )为定义在R 上的奇函数,且当x <0时,g (x )=f (x ),求g (x )的解析式. 解 (1)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ a +x -4,x ≥2,a -x +4,x <2,
要使函数f (x )有最小值,需⎩⎪⎨
⎪⎧ a +2≥0,a -2≤0,
∴-2≤a ≤2. 即当a ∈[-2,2]时,f (x )有最小值.
故a 的取值范围为[-2,2].
(2)∵g (x )为定义在R 上的奇函数,
∴g (-0)=-g (0),∴g (0)=0.
设x >0,则-x <0.
∴g (x )=-g (-x )=(a -2)x -4,
∴g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ a -x -4, x >0,0, x =0,
a -x +4, x <0.
10.设函数f (x )在(-∞,+∞)上满足f (2-x )=f (2+x ),f (7-x )=f (7+x ),且在闭区间
[0,7]上只有f (1)=f (3)=0.
(1)试判断函数y =f (x )的奇偶性;
(2)试求方程f (x )=0在闭区间[-2 005,2 005]上的根的个数,并证明你的结论.
解(1)∵f(1)=0,且f(x)在[0,7]上只有f(1)=f(3)=0,
又∵f(2-x)=f(2+x),令x=-3,f(-1)=f(5)≠0,
∴f(-1)≠f(1),且f(-1)≠-f(1).
∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)f(10+x)=f[2+8+x]=f[2-(8+x)]
=f(-6-x)=f[7-(13+x)]=f[7+13+x]
=f(20+x),
∴f(x)以10为周期.
又f(x)的图象关于x=7对称知,f(x)=0在(0,10)上有两个根,则f(x)=0在(0,2 005]上有201×2=402个根;
在[-2 005,0]上有200×2=400个根;
因此f(x)=0在闭区间上共有802个根.。

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