高考数学专题知识点系列复习训练题及答案解析(珍藏版)：16立体几何与空间向量真题汇编与预赛典型例题

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编
专题16立体几何与空间向量真题汇编与预赛典型例题
1．【2019年全国联赛】如图，正方体的一个截面经过顶点A，C及棱EF上一点K，且将正方体分成体积比为3：1的两部分，则的值为.
2．【2018年全国联赛】设点P到平面的距离为3，点Q在平面上，使得直线PQ与所成角不小于30°且不大于60°，则这样的点Q所构成的区域的面积为.
3．【2017年全国联赛】在正三棱锥中,,过AB的平面将其体积平分.则棱与平面所成角的余弦值为_____________。

4．【2016年全国联赛】设P为一圆锥的顶点，A、B、C为其底面圆周上的三点，满足∠ABC=90°，M为A P的中点．若AB =1，AC=2，AP=，则二面角M-BC-A的大小为________.
5．【2014年全国联赛】四棱锥P-ABCD中，已知侧面是边长为1的正三角形，M、N分别为边AB、BC的中点.则异面直线MN与PC之间的距离为___________.
6．【2013年全国联赛】已知正三棱锥底面边长为1，高为.则其内切球半径为______. 7．【2012年全国联赛】设同底的两个正三棱锥内接于同一个球.若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是______.
8．【2011年全国联赛】在四面体中，已知.则四面体的外接球的半径为______.
9．【2010年全国联赛】已知正三棱柱的9条棱长都相等，是边的中点，二面角.则________.
1．【2018年浙江】四面体P-ABC，,则该四面体外接球的半径为________.
2．【2018年山西】四面体ABCD中，有一条棱长为3，其余五条棱长皆为2，则其外接球的半径为____. 3．【2018年福建】如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，P A=AB.E、F分别为PD、BC的中点，则二面角E－FD－A的正切值为________.
4．【2018年江苏】已知正四面体内切球的半径是1，则该正四面体的体积为________.
5．【2018年湖南】正方体AC1棱长是1，点E、F是线段DD1，BC1上的动点，则三棱锥E一AA1F体积为___. 6．【2018年重庆】顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥HB，垂足为H，且P A=4，C为P A的中点，则当三棱锥O-HP C的体积最大时，OB的长为________．
7．【2018年广西】如图，在正三棱柱中，AB=2，，D、F分别是棱AB、的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为__________.
8．【2018年安徽】在边长为1的长方体内部有一小球，该小球与正方体的对角线段相切，则小球半径的最大值=___________.
9．【2018年湖南】正方体中，E为AB的中点，F为的中点.异面直线EF与所成角的余弦值是_____.
10．【2018年湖南】在半径为R的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是_____.
11．【2018年甘肃】已知空间四点满足，且是三棱锥的外接球上的一个动点，则点到平面的最大距离是______．
12．【2018年山东】在正四核锥中，已知二面角的正弦值为，则异面直线所成的角为______．
13．【2018年天津】半径分别为6、6、6、7的四个球两两外切.它们都内切于一个大球，则大球的半径是__ ______
14．【2018年河南】一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任意转动，则小正四面体棱长的最大值为______．
15．【2018年河北】已知棱长的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则该圆柱体积的最大值为_____.
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编
专题16立体几何与空间向量真题汇编与预赛典型例题
1．【2019年全国联赛】如图，正方体的一个截面经过顶点A，C及棱EF上一点K，且将正方体分成体积比为3：1的两部分，则的值为.
【答案】
【解析】设.截面与FG交于J.
，解得（舍去）
故.
2．【2018年全国联赛】设点P到平面的距离为3，点Q在平面上，使得直线PQ与所成角不小于30°且不大于60°，则这样的点Q所构成的区域的面积为.
【答案】
【解析】设点P在平面上的射影为O.由条件知，.
即OQ∈[1，3]，故所求的区域面积为.
3．【2017年全国联赛】在正三棱锥中,,过AB的平面将其体积平分.则棱与平面所成角的余弦值为_____________。

【答案】
【解析】
设的中点分別为，则易证平面A BM即为平面
由平行四边形的性质知,
所以，
又直线P C在平面上的射影为直线MK,由得
因此，棱P C与平面所成角的余弦值为.
故答案为：
4．【2016年全国联赛】设P为一圆锥的顶点，A、B、C为其底面圆周上的三点，满足∠ABC=90°，M为AP的中点．若AB =1，AC=2，AP=，则二面角M-BC-A的大小为________.
【答案】
【解析】
由，知AC为底面圆的直径.如图所示，设底面中心为O.
于是，平面ABC.
故.
设H为M在底面上的射影.则H为AO的中点.在底面中作于点K.
由三垂线定理知.
从而，为二面角M-BC-A的平面角.
由，结合得:.
故二面角M-BC-A的大小为.
5．【2014年全国联赛】四棱锥P-ABCD中，已知侧面是边长为1的正三角形，M、N分别为边AB、BC的中点.则异面直线MN与PC之间的距离为___________.
【答案】
【解析】
如图，设底面对角线AC与BD交于点O，过点C作直线MN的垂线，与MN交于点H.
由于PO为底面的垂线，故PO⊥CH.又AC⊥CH，于是，CH与平面POC垂直.从而，CH⊥PC.
因此，CH为直线MN与PC的公垂线段.注意到，.
故异面直线MN与PC之间的距离为.
6．【2013年全国联赛】已知正三棱锥底面边长为1，高为.则其内切球半径为______.
【答案】
【解析】
如图，设球心在平面与平面内的射影分别为，边的中点为，内切球半径为.则分别三点共线，，且
.
故.
解得.
7．【2012年全国联赛】设同底的两个正三棱锥内接于同一个球.若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是______.
【答案】4
【解析】
如图6，联结.则，垂足为正的中心，且过球心.
联结并延长与交于点.则为边的中点，且.
易知，分别为正三棱锥、正三棱锥的侧面与底面所成二面角的平面角.则.
由
.故.
8．【2011年全国联赛】在四面体中，已知.则四面体的外接球的半径为______.
【答案】
【解析】
易知，为正三角形，且CA=CB.
如图，设P、M分别为AB、CD的中点，联结PD、PC.
则平面平面PDC.
设的外心为N，四面体ABCD的外接球的球心为O.
则.
可求得
由题意知.
在中，
由余弦定理得
又因为D、M、O、N四点在以DO为直径的圆上
所以
故外接球的体积.
9．【2010年全国联赛】已知正三棱柱的9条棱长都相等，是边的中点，二面角.则________.
【答案】
【解析】
解法1 如图，以所在直线为轴、线段的中点为原点、所在直线为轴建立空间直角坐标系.
设正三棱柱的棱长为2.则.
故.
设分别与平面、平面垂直的向量为.
则
由此可设.
所以，，即.
因此，.
解法2
如图..
设交于点.则平面.
又，则平面.
过点在平面上作，垂足为，联结.则为二面角的平面角.设.易求得.
在中，.
又，则.
故.
1．【2018年浙江】四面体P-ABC，,则该四面体外接球的半径为________.
【答案】
【解析】
将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为a，b，c，
则，所以四面体外接球的半径为.
2．【2018年山西】四面体ABCD中，有一条棱长为3，其余五条棱长皆为2，则其外接球的半径为____.【答案】
【解析】
解:设BC=3,AB=AC=AD=BD=CD=2,E,F分别是BC,AD的中点，D在面ABC上的射影H应是△ABC的外心，由于DH上的任一点到A,B,C等距，则外接球心O在DH上，因，所以AE=DE,于是ED为AD的中垂线是，顒球心O是DH，EF的交点，且是等腰△EAD的垂心，记球半径为r，由△DOF～△EAF，得.而,所以.
3．【2018年福建】如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，P A=AB.E、F分别为PD、BC的中点，则二面角E－FD－A的正切值为________.
【答案】
【解析】
如图，作EH⊥AD于H，连HF.
由P A⊥面ABCD，知P A⊥AD，EH∥P A，EH⊥ABCD.
作HG⊥DF于G，连EG，则EG⊥FD，∠EGH为二面角E－FD－A的平面角.
∵ABCD为正方形，E、F分别为PD、BC的中点，
∴H为AD中点，FH⊥AD.
设P A=AB=2，则，FH=2，HD=4，.
∴.
∴二面角E－FD－A的正切值为.
4．【2018年江苏】已知正四面体内切球的半径是1，则该正四面体的体积为________.【答案】
【解析】
设正四面体的棱长为.
则该正四面体的体积为，全面积为，
所以，解得.
从而正四面体的体积为.
故答案为：
5．【2018年湖南】正方体AC1棱长是1，点E、F是线段DD1，BC1上的动点，则三棱锥E一AA1F体积为___.【答案】
【解析】
因为F是BC1上的动点，所以在正方体中有，利用等体积转化有
.
故答案为.
6．【2018年重庆】顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥HB，垂足为H，且P A=4，C为P A的中点，则当三棱锥O-HPC 的体积最大时，OB的长为________．
【答案】
【解析】
法一：AB⊥OB，PB⊥AB，AB⊥面POB，面P AB⊥面POB．OH⊥PB，OH⊥面P AB，OH⊥HC，OH⊥PC，又，PC⊥OC，PC⊥面OCH．PC是三棱锥P-OCH的高．PC=OC=2．而△OCH的面积在时取得最大值（斜边=2的直角三角形）．当时，由，知∠OPB=30°，．
法二：由C为P A中点，故，
而．
记
则，
．
∴令，得，
.
故答案为：
7．【2018年广西】如图，在正三棱柱中，AB=2，，D、F分别是棱AB、的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为__________.
【答案】
【解析】
由正三棱锥可得底面ABC，所以AB，AC.在Rt△ADF中，
.如图①，把底面ABC与侧面在同一个平面内展开，展开图中只有当D、E、F三点在同一条直线上时，DE+EF取得最小值.如图②，在△ADF中，，由余弦定理可得.
所以△DEF周长的最小值为.
8．【2018年安徽】在边长为1的长方体内部有一小球，该小球与正方体的对角线段相切，则小球半径的最大值=___________.
【答案】
【解析】
当半径最大时，小球与正方体的三个面相切.不妨设小球与过点的三个面相切.以为原点，
分别为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系.设A（0，1，1），（1，0，0），小球圆心P（r，r，r），则P到的距离.
再由，得.
故答案为：
9．【2018年湖南】正方体中，E为AB的中点，F为的中点.异面直线EF与所成角的余弦值是_____.
【答案】
【解析】
设正方体棱长为1，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则
.
故有.
所以.
故答案为：
10．【2018年湖南】在半径为R的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是_____.
【答案】
【解析】
设内接圆柱底面半径为，则高位，
那么全面积为
.
其中，等号成立的条件是.
故最大值为.
故答案为：
11．【2018年甘肃】已知空间四点满足，且是三棱锥的外接球上的一个动点，则点到平面的最大距离是______．
【答案】
【解析】
将三棱锥补全为正方体，则两者的外接球相同．球心就是正方体的中心，记为，半径为正方体对角线的一半，即为．
在正方体里，可求得点到平面的距离为，则点到平面的最大距离是．12．【2018年山东】在正四核锥中，已知二面角的正弦值为，则异面直线所成的角为______．
【答案】
【解析】
如图，设的交点为上的射影为，则．
又因为，因此，所以，则．
因此即为二面角的平面角，从而．
设，则．
在中，．
由此得，因此，解得．
从而四棱锥各侧面均为正三角形，则异面直线所成的角为．
13．【2018年天津】半径分别为6、6、6、7的四个球两两外切.它们都内切于一个大球，则大球的半径是________【答案】14
【解析】
设四个球的球心分别为A、B、C、D，则AB=BC=CA=12，DA=DB=DC=13，
即A、B、C、D两两连结可构成正三棱锥.
设待求的球心为X，半径为r.，则由对称性可知DX平面ABC.
也就是说，X在平面ABC上的射影是正三角形ABC的中心O.
易知.
设OX=x，则
由于球A内切于球X，所以AX=r-6
即①
又DX=OD-OX=11-x，且由球D内切于球X可知DX=r-7
于是②
从①②两式可解得
即大球的半径为14.
故答案为：14
14．【2018年河南】一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任意转动，则小正四面体棱长的最大值为______．
【答案】2
【解析】
因为小正四面体可以在纸盒内任意转动，
所以小正四面体的棱长最大时，为大正四面体内切球的内接正四面体．
记大正四面体的外接球半径为，小正四面体的外接球（大正四面体的内切球）半径为，
易知，故小正四面体棱长的最大值为．
15．【2018年河北】已知棱长的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则该圆柱体积的最大值为_____.
【答案】
【解析】
由题意知只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况.由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在、AC、上.设线段上的切点为E，圆柱上底面中心为，半径.由，则圆柱的高为，由导数法或均值不等式得.。