2018_2019学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入课件北师大版选修2_2
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答案：B
7．在复平面内，求复数z，使复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m ＋2)i(m∈R)的对应点 (1)在虚轴上； (2)在实轴负半轴上．
解：(1)若复数 z 对应点在虚轴上， 则 m2－m－2＝0，∴m＝－1 或 m＝2， 此时，z＝6i 或 z＝0. (2)若复数 z 对应点在实轴负半轴上，则 m2－m－2<0， m2－3m＋2＝0， 解得 m＝1，∴z＝－2.
3．若ai＋2＝b－i(a，b∈R)，i为虚数单位，则a2＋b2＝( )
A．0
B．2
C．52
D．5
解析：由题意得2a＝ ＝－b，1， 则a2＋b2＝5.
答案：D
4．若关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝
A．112
B．112i
()
C．－112
D．－112i
解析：因为关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，即x2 ＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0⇔x2＋x＋3m＋(2x＋1)i＝0⇔
复平面及复数的几何意义
问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内 的点表示吗？
提示：可以．
问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有何 对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？
提示：一一对应，一一对应． 问题 3：在平面直角坐标系中点 Z(a，b)与向量―O→Z ＝(a， b)有何对应关系？ 提示：一一对应关系． 问题 4：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与―O→Z 有何对应关系？
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明
确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数
bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.
2．复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，
可知复数z＝a＋bi(a，b∈R)、复平面内
的点Z(a，b)和平面向量
―→ OZ
之间的关
系可用图表示．
x2＋x＋3m＝0， 2x＋1＝0
⇒m＝112，故选A.
答案：A
复数的几何意义
[例3] 实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2 ＋(a2－3a＋2)i的点
(1)位于第二象限； (2)位于直线y＝x上？ [思路点拨] 位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标 大于0；位于直线y＝x上的点的横坐标等于纵坐标．
1．复数的概念
2．复数集 复数的全体组成的集合，记作C.显然R C.
复数相等
问题1：若a，b，c，d∈R且a＝c，b＝d，复数a＋bi和c＋ di相等吗？
提示：相等． 问题2：若a＋bi＝c＋di，那么实数a，b，c，d有何关系？ 提示：a＝c，b＝d.
复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d .
§1
数系的扩充与复数的引入
数的概念的扩展
已知方程(1)x2－2 2x＋2＝0，(2)x2＋1＝0. 问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？实数范围内呢？ 提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为 2.
问题2：方程(2)在实数集中有解吗？ 提示：没有． 问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1 ＝0有解吗？ 提示：有解x＝i，但不是实数．
2．若复数z＝(x2－1)＋x－1 1i为纯虚数，则实数x的值为(
)
A．－1
B．0
C．1
D．－1或1
解析：由复数z＝(x2－1)＋x－1 1i为纯虚数得
x2－1＝0， x－1≠0，
解得x＝－1.
答案：A
复数的相等
[例2] (1)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，x，y∈R，求x与y； (2)设z1＝1＋sin θ－icos θ，z2＝1＋1sin θ＋(cos θ－2)i.若z1＝ z2，求θ.
提示：一一对应．
1．复平面 (1)当用直角坐标平面内的点来表示 复数时，称这个直角坐标 系为复平面， x 轴为实轴， y 轴为虚轴． (2)任一个复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点 Z(a，b) 是 一一对应的．这是复数的几何意义．
一个复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量―O→Z ＝ (a，b)
C．(5,5)
D．(－5，－5)
解析：向量―O→A ，―O→B 对应的复数分别记作 z1＝2－3i，z2＝－3 ＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量―O→A ＝(2， －3)，―O→B ＝(－3,2)． 由向量减法的坐标运算可得向量 ―B→A ＝―O→A －―O→B ＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)．
2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们 是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表 示纯虚数，如原点表示实数0.
3．只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关 系．
复数的基本概念
[例1] 复数z＝(m2－3m＋2)＋(；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数？ [思路点拨] 分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情 况进行判断．
解得 sin cos
θ＝0， θ＝1.
则θ＝2kπ(k∈Z)．
[一点通] 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等， 虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题， 为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思 想的体现． (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能 比较大小的．
[一点通] 复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再 利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的 模可以比较大小． (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问 题求解．
8．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围 是________．
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
[精解详析] (1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)， 由|z|＝ 5得 a2＋4a2＝ 5， 解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i. (2)因为|z1|＝ a2＋4，|z2|＝ 4＋1＝ 5， 所以 a2＋4＜ 5，即a2＋4＜5，所以a2＜1， 即－1＜a＜1. [答案] (1)D (2)B
1．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯 虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要 而不充分条件． 答案：B
是一一对应的．
2．复数的模
设复数 z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点是 Z(a，b)， 点 Z 到原点的距离 |OZ|叫作复数 z 的模或绝对值，记作|z|，显 然，|z|＝ a2＋b2 .
1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条件，否则 a，b就不一定是复数的实部与虚部．
[精解详析] (1)当m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1时，z 为实数．
(2)当m2＋m－2≠0，即m≠－2且m≠1时，z为虚数． (3)当mm22＋ －m3m－＋2≠ 2＝0，0， 即m＝2时，z为纯虚数．
[一点通] 复数分类的关键 (1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根 据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数 时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋ bi(a，b∈R)时应先转化形式． (2)注意分清复数分类中的条件 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z 为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0.④z＝0⇔a＝0， 且b＝0.
[精解详析] 根据复数的几何意义可知，复平面内表示 复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－ 3a＋2)．
(1)由点Z位于第二象限得aa22＋ －a3－ a＋22<>0，0， 解得－2<a<1. 故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)． (2)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a ＝1. 故满足条件的实数a的值为1.
[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一 一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复 平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置确 定复数的实部、虚部满足的条件．
5．若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1
B．a≠2且a≠1
解析：由|z|＝ 1＋4m2≤2，解得－ 23≤m≤ 23.
答案：－
23，
3 2
9．求复数z1＝6＋8i与z2＝－
1 2
－
2 i的模，并比较它们的模的
大小．
解：∵z1＝6＋8i，z2＝－12－ 2i，∴|z1|＝ 62＋82＝10，
|z2|＝
－122＋－ 22＝32.∵10>32，∴|z1|>|z2|.
[思路点拨] 先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用 两个复数相等的充要条件列方程组求解．
[精解详析] (1)根据复数相等的充要条件，得方程组
2x－1＝y， 1＝－3－y，
得x＝52， y＝4.
1＋sin (2)由已知，得
θ＝1＋1sin
， θ
cos θ＝2－cos θ，
复数的模
[例4] (1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝ 5 ，则复
数z＝
()
A．1＋2i
B．－1－2i
C．±1±2i
D．1＋2i或－1－2i
(2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的 取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1,1)
C．a＝0
D．a＝2或a＝0
解析：因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴
上，所以a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.
答案：D
6．已知平面直角坐标系中O是原点，向量
―→ OA
，
―→ OB
对应的复
数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量―B→A 的坐标是 ( )
A．(－5,5)
B.(5，－5)
7．在复平面内，求复数z，使复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m ＋2)i(m∈R)的对应点 (1)在虚轴上； (2)在实轴负半轴上．
解：(1)若复数 z 对应点在虚轴上， 则 m2－m－2＝0，∴m＝－1 或 m＝2， 此时，z＝6i 或 z＝0. (2)若复数 z 对应点在实轴负半轴上，则 m2－m－2<0， m2－3m＋2＝0， 解得 m＝1，∴z＝－2.
3．若ai＋2＝b－i(a，b∈R)，i为虚数单位，则a2＋b2＝( )
A．0
B．2
C．52
D．5
解析：由题意得2a＝ ＝－b，1， 则a2＋b2＝5.
答案：D
4．若关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝
A．112
B．112i
()
C．－112
D．－112i
解析：因为关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，即x2 ＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0⇔x2＋x＋3m＋(2x＋1)i＝0⇔
复平面及复数的几何意义
问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内 的点表示吗？
提示：可以．
问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有何 对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？
提示：一一对应，一一对应． 问题 3：在平面直角坐标系中点 Z(a，b)与向量―O→Z ＝(a， b)有何对应关系？ 提示：一一对应关系． 问题 4：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与―O→Z 有何对应关系？
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明
确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数
bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.
2．复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，
可知复数z＝a＋bi(a，b∈R)、复平面内
的点Z(a，b)和平面向量
―→ OZ
之间的关
系可用图表示．
x2＋x＋3m＝0， 2x＋1＝0
⇒m＝112，故选A.
答案：A
复数的几何意义
[例3] 实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2 ＋(a2－3a＋2)i的点
(1)位于第二象限； (2)位于直线y＝x上？ [思路点拨] 位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标 大于0；位于直线y＝x上的点的横坐标等于纵坐标．
1．复数的概念
2．复数集 复数的全体组成的集合，记作C.显然R C.
复数相等
问题1：若a，b，c，d∈R且a＝c，b＝d，复数a＋bi和c＋ di相等吗？
提示：相等． 问题2：若a＋bi＝c＋di，那么实数a，b，c，d有何关系？ 提示：a＝c，b＝d.
复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d .
§1
数系的扩充与复数的引入
数的概念的扩展
已知方程(1)x2－2 2x＋2＝0，(2)x2＋1＝0. 问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？实数范围内呢？ 提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为 2.
问题2：方程(2)在实数集中有解吗？ 提示：没有． 问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1 ＝0有解吗？ 提示：有解x＝i，但不是实数．
2．若复数z＝(x2－1)＋x－1 1i为纯虚数，则实数x的值为(
)
A．－1
B．0
C．1
D．－1或1
解析：由复数z＝(x2－1)＋x－1 1i为纯虚数得
x2－1＝0， x－1≠0，
解得x＝－1.
答案：A
复数的相等
[例2] (1)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，x，y∈R，求x与y； (2)设z1＝1＋sin θ－icos θ，z2＝1＋1sin θ＋(cos θ－2)i.若z1＝ z2，求θ.
提示：一一对应．
1．复平面 (1)当用直角坐标平面内的点来表示 复数时，称这个直角坐标 系为复平面， x 轴为实轴， y 轴为虚轴． (2)任一个复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点 Z(a，b) 是 一一对应的．这是复数的几何意义．
一个复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量―O→Z ＝ (a，b)
C．(5,5)
D．(－5，－5)
解析：向量―O→A ，―O→B 对应的复数分别记作 z1＝2－3i，z2＝－3 ＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量―O→A ＝(2， －3)，―O→B ＝(－3,2)． 由向量减法的坐标运算可得向量 ―B→A ＝―O→A －―O→B ＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)．
2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们 是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表 示纯虚数，如原点表示实数0.
3．只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关 系．
复数的基本概念
[例1] 复数z＝(m2－3m＋2)＋(；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数？ [思路点拨] 分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情 况进行判断．
解得 sin cos
θ＝0， θ＝1.
则θ＝2kπ(k∈Z)．
[一点通] 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等， 虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题， 为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思 想的体现． (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能 比较大小的．
[一点通] 复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再 利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的 模可以比较大小． (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问 题求解．
8．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围 是________．
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
[精解详析] (1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)， 由|z|＝ 5得 a2＋4a2＝ 5， 解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i. (2)因为|z1|＝ a2＋4，|z2|＝ 4＋1＝ 5， 所以 a2＋4＜ 5，即a2＋4＜5，所以a2＜1， 即－1＜a＜1. [答案] (1)D (2)B
1．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯 虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要 而不充分条件． 答案：B
是一一对应的．
2．复数的模
设复数 z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点是 Z(a，b)， 点 Z 到原点的距离 |OZ|叫作复数 z 的模或绝对值，记作|z|，显 然，|z|＝ a2＋b2 .
1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条件，否则 a，b就不一定是复数的实部与虚部．
[精解详析] (1)当m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1时，z 为实数．
(2)当m2＋m－2≠0，即m≠－2且m≠1时，z为虚数． (3)当mm22＋ －m3m－＋2≠ 2＝0，0， 即m＝2时，z为纯虚数．
[一点通] 复数分类的关键 (1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根 据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数 时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋ bi(a，b∈R)时应先转化形式． (2)注意分清复数分类中的条件 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z 为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0.④z＝0⇔a＝0， 且b＝0.
[精解详析] 根据复数的几何意义可知，复平面内表示 复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－ 3a＋2)．
(1)由点Z位于第二象限得aa22＋ －a3－ a＋22<>0，0， 解得－2<a<1. 故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)． (2)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a ＝1. 故满足条件的实数a的值为1.
[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一 一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复 平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置确 定复数的实部、虚部满足的条件．
5．若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1
B．a≠2且a≠1
解析：由|z|＝ 1＋4m2≤2，解得－ 23≤m≤ 23.
答案：－
23，
3 2
9．求复数z1＝6＋8i与z2＝－
1 2
－
2 i的模，并比较它们的模的
大小．
解：∵z1＝6＋8i，z2＝－12－ 2i，∴|z1|＝ 62＋82＝10，
|z2|＝
－122＋－ 22＝32.∵10>32，∴|z1|>|z2|.
[思路点拨] 先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用 两个复数相等的充要条件列方程组求解．
[精解详析] (1)根据复数相等的充要条件，得方程组
2x－1＝y， 1＝－3－y，
得x＝52， y＝4.
1＋sin (2)由已知，得
θ＝1＋1sin
， θ
cos θ＝2－cos θ，
复数的模
[例4] (1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝ 5 ，则复
数z＝
()
A．1＋2i
B．－1－2i
C．±1±2i
D．1＋2i或－1－2i
(2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的 取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1,1)
C．a＝0
D．a＝2或a＝0
解析：因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴
上，所以a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.
答案：D
6．已知平面直角坐标系中O是原点，向量
―→ OA
，
―→ OB
对应的复
数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量―B→A 的坐标是 ( )
A．(－5,5)
B.(5，－5)