梅涅劳斯定理与塞瓦定理

塞瓦定理 设O 是△ABC 内任意一点，
AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
（Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明：
∵△ADC 被直线BOE 所截，
∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①
而由△ABD 被直线COF 所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/DF=1②
①÷②:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S △ABD/S △ACD=S △BOD/S △COD=(S △ABD-S △BOD)/(S △ACD-S △COD)=S △AOB/S △AOC ③
同理 CE/EA=S △BOC/ S △AOB ④ AF/FB=S △AOC/S △BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
塞瓦定理：
1:
=⋅⋅∆RB
AR
QA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是三线共点、、边上的点，则、、的分别是、、设
,1
11BCM ACM
ABP BMP ABM ACP CMP ACM ABM BCM
AP BQ CR M S S S S S BP CQ AR PC S S S QA S RB S BP CQ AR PC QA RB BP CQ AR AP BQ M CM AB R PC QA RB BP CQ AR AR PC QA R B ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=====⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=‘
拻‘证：先证必要性：设、、相交于点，则：同理：以上三式相乘，得：再证充分性：若，设与相交于，且直线交于，
由塞瓦定理有：，于是：AR
R R R B RB AB R R AP BQ CR M ’‘’＝因为和都在线
段上，所以必与重合，故、、相交于一点点；
交于一点；：证明：三角形的中线例1
11111111
1111
111111
,,1AC BA CB
ABC AA BB CC C B AC B A AC BA CB AC C B BA AC CB B A ABC ∆⋅⋅====⋅⋅=∴∆证明：记的中线，，，我们只须证明而显然有：即成立，交于一点；
】证明：三角形的角平【练习1】证明：锐角三角形的【练习22ABC C AB L L AC BC M N AN BM P CP AB
∆∠⊥例：在锐角中,角的平分线交于于，从作边和的垂线，垂足分别是和，设和的交点是
，证明：111CK AB CK BM AN P CK BM AN AM CN BK
MC CN
MC NB AK
AM BK AM AL
AML AKC AK NB AK AC
BK BC AL BC
BNL BKC NB BL AC BL
⊥⋅⋅==⋅=∆≅∆⇒=
∴∆≅∆⇒=⋅=证：作下证、、三线共点，且为点，要证、、三线共点，
依塞瓦定理即要证：又即要证明：即要证1AL BC AC BL
CK BM AN P CP AB
⋅=∴∴⊥依三角形的角平分线定理可知：、、三线共点，且为点3.AD ABC D BC P AD BP CP AC AB E F EDA FDA
∆∠∠例设是的高，且在边上，若是上任一点，、分别与、交于和，则＝A AD DE DF M N EDA FDA ∠=∠证：过作的垂线，与、的延长线分别交于、。

欲证， AM AN =可以转化为证明
//,,,1
AD BC MN BC AME CDE ANF BDF AM AE AN AF AE CD AF BD AM AN CD CE BD BF CE BF
BD CE AF
AD BE CF P DC EA FB
AE CD AF BD AM AN EDA FDA
CE BF
⊥∆≅∆∆≅∆⋅⋅∴====⋅⋅=⋅⋅∴=∴=∴∠=∠故，可得，于是、、共点于，根据塞瓦定理可得：
3,,ABC M N R BAR CAN CBM ABR ACN BCM AM BN CR αβγ∆∠=∠=∠=∠=∠=∠=【练习】已知外有三点、、，且，证明：、、三线共点；
1111111111111114.sin sin sin sin sin sin ABC BC CA AB A B C AC BA CB ACC BAA CBB C B AC B A C CB A AC B BA ∆∠∠∠⋅⋅=⋅⋅
∠∠∠例在的边、、上取点、、，证明：
1111111111111111111111111
1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ,sin sin sin sin sin ACC BCC AC ACC CC AC ACC B B C C A C B C CB C B C CB A BA BAA CB CBB C A AC A AC B B A B BA C AC BA CB C B AC B A ∆∆∠∠∠∠===⋅∠∠∠∠∠∠∠∠=⋅=⋅
∠∠∠∠⋅⋅=证：如图对和应用正弦定理，可得：
即：同理：从而
111111sin sin sin sin sin ACC BAA CBB C CB A AC B BA ∠∠∠⋅⋅∠∠∠
1111112224ABC BC CA AB A B C AA BB CC AA BB CC ∆【练习】在的边、、上取点、、，使、、相交于一点，证明，关于角平分线对称于这些直线的直线、、也相交于一点；
课外作业：
三线共点；
、、直线的切点，证明、、的内切圆与边是、、设111111:.1CC BB AA AB CA BC ABC C B A ∆
；过点，证明，直线相交于点和，相交于
和，直线和弧上取点。

在引切线，相交于点、从圆上的点S PQ Q CD AB P BD AC C B AD S D A .2
相交于一点；
、、证明，直线的对边的中点，、、是正方形的边、、的边上向外作正方形，在111111.3CC BB AA AB CA BC C B A ABC ∆
111111111
11111
11,,,
,,1AC BA CB b c a
ABC AA BB CC C B a AC b B A c AC BA CB
C B AC B A ∆===∴⋅⋅=∴练习答案：证：记的角平分线分别是三角形的角平分线交于一点；
111222
2
2
2
2
1111222222222
111222222
111111112,,,
,()2,222,1
22ABC AA BB CC a b c CB x AB b x c b x BB a x CB x b
c b a b c a a c b B A AC C B b c c
AC BA CB c a b b a c BA A C a a C B A C B A ∆+----==-⇒==
+-+-+-===+-+-==∴⋅⋅=∴练习答案：证：记锐角的角平分线分别是设＝，那么＝则：则：同理可得：锐角三角形的三条高交于一点；
3','',1
sin()sin sin sin()1sin sin sin()
sin()sin sin()si ABM ACM AM BC M BN AC N CR AB R ABC A B C
AB BM A S BM AB BAM AB B AM CM S AC CAM AC C AC CM C AM
BM AB B CM AC βββγγγββ∆∆∆∠∠∠⋅⋅∠+⋅
∠⋅∠+====∠⋅∠+⋅⋅∠+⋅⋅∠+‘‘‘
‘‘‘练习的答案：证：设与交于与交于，与交于的三个内角分别记为、、即：＝'sin sin()sin sin(),n sin()'sin sin()sin sin()
CN BC C AR CA A C AN BA A BR CB B γγααγγααββ⋅∠+⋅∠+⋅∠+⋅∠+⋅∠+‘
‘
同理：＝＝
'''1,''''''
BM CN AR AM BN CR CM AN BR ⋅⋅将以上三式子相乘可得：＝根据塞瓦定理可知：、、三点共线。

222222222
2222222221112112222244sin sin sin sin sin sin ,,sin sin sin sin A B C ABC AC BA CB ACC BAA CBB C B A C B A C CB A AC B BA AA BB CC AA BB CC ACC C CB ACC C CB ACC BAA C CB A A ∆∠∠∠⋅⋅=⋅⋅
∠∠∠∠=∠∠=∠∠∠∴
⋅∠∠练习的答案：
证：、、位于的边上，根据例的结论有：又
、、关于角平分线对称于、、，则
21112111111111
222
222222sin sin sin sin sin sin sin sin 11CBB C CB A AC B BA
C B BA ACC BAA CBB C B A C B A
AC BA CB AC BA CB AA BB CC C B A C B A
∠∠∠∠⋅=⋅⋅
∠∠∠∠=⋅⋅=⋅⋅=∴从而
、、三线共点
课后练习答案：
三线共点、、即：证：显然11111
11111111111,,.1CC BB AA A
B CB
C A BA B C AC C
A C
B B
C BA A B AC =⋅⋅∴
=== 位于一条直线上、、又证：Q P S QSD ASQ PSD ASP QAS PDA QDA PAS DAQ SDP SDQ DAP QDA
SDQ QAS CAQ QSC ASQ PPA SPP PAS DAP PSC ASP ∴∠∠=∠∠∴∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠∠∠⋅
∠∠⋅∠∠==∠∠∠∠⋅∠∠sin sin sin sin ,,,,sin sin sin sin sin sin 1sin sin sin sin sin sin .2
共点
、、＝得：将上面三条等式相乘可同理：＝其中＝、、的交点分别为、、与边、、证：记直线11122
22222222111111222
221111)
sin()
sin()sin()sin(2arctan )sin()sin(sin sin .311CC BB AA B
C AC A B CB C A BA B A BC AC B C AC A C AB BC A B CB BCA CBA C B AC AB ACA ABA CA BA AC AB S S C A BA C B A AB CA BC CC BB AA ACA ABA ∴⋅⋅+∠+∠⋅
=+∠+∠⋅
==∠=∠+∠+∠⋅
=∠∠⋅⋅=∆∆ϕϕϕϕϕϕϕ
说明：赛瓦定理的逆定理是证明线共点类问题的一把利器！
如三角形中三条高、三条角平分线、三条中线共点都可以利用塞瓦定理的逆定理很轻松地解决。

说明：恰当的选择截线是应用梅涅劳斯定理的关键，其逆定理常用于证明点共线，应用很广泛。

解决比较复杂的问题时注意赛瓦定理与梅涅
劳斯定理联用。

个一、 一、选择题
1、如图：设一直线与△ABC 的边AB 、AC 及BC 延长线分别交于X 、Y 、Z ，则
CY AY
ZC BZ XB AX 与
∙的关系为 （ ） A 、CY AY ZC BZ XB AX >∙ B 、CY AY ZC BZ XB AX =∙ C 、CY
AY ZC BZ XB AX <
∙ D 、不能确定
2、如图：设X 、Y 、Z 分别是△ABC 的边BC 、AC 、AB 上的点，AX 、BY 、CZ 相交于点O ，
则
YC AY
XC BX ZB AZ 与
∙的关系为 （ ） A 、YC AY XC BX ZB AZ >∙； B 、YC AY XC BX ZB AZ =∙ ； C 、YC
AY XC BX ZB AZ <
∙ ； D 、 不能确定
3、如图，在△ABC 中，F 点分AC 成1：2，G 是BF 的中点，AG 的延长线交BC 于E ，那么E 分BC 边所成的
比为 （ ）
A 、41
B 、21
C 、52
D 、3
1
4、如图，F 、D 、E 分等边△ABC 的三边AB 、BC 、CA 均为1：2两部分，AD 、BE 、CF 相交成△PQR 的面积是
△ABC 面积的 （ ）
A 、101
B 、91
C 、81
D 、7
1
第1题
A B
Z
C X
Y
A C
Z
Y
O
X
B
第2题
第4题
A
B
C
R
P E F
D
Q 第3题
A
C
B
F
G
E
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