2023年中考数学专题复习：二次函数综合题(角度问题)(含答案)

2023年中考数学专题复习：二次函数综合题（角度问题）
1．如图，抛物线y=ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COD:S△COB＝1：3时，求点F的坐标；
(3)如图2，点E的坐标为（0，﹣3
），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？
2
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−2,0)、B(8,0)两点，与y轴交于点C(0,4)，连接AC、BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；
(3)点P是抛物线上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标．
3．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A
和点C ，抛物线y ＝ax 2﹣3x +c 经过A ，C 两点，并且与x 轴交于另一点B ．点D 为第四象限抛物线上一动点(不与点A ，C 重合)，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，交直线AC 于点E ，连接BE ．设点D 的横坐标为m ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当∠ECD ＝∠EDC 时，求出此时m 的值；
(3)点D 在运动的过程中，△EBF 的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．
4．抛物线y ＝ax 2+4（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左侧），AB ＝4，点P （2，1）位于第一象限．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M 在抛物线上，且使∠MAP ＝45°，求点M 的坐标；
(3)将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y ＝x +4上移动，当平移后的抛物线与线段AP 只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．
5．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （2，3），与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于
点C，且OC=3OB．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
(3)点P在直线AB上方的抛物线上，当△P AB的面积最大时，直接写出点P的坐标．6．如图，抛物线23
=++交x轴于A(3,0),B(−1,0)两点，交y轴于点C．
y ax bx
(1)求抛物线的解析式和对称轴．
(2)若R为抛物线上一点，满足∠BCR=45°，求R的坐标．
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点
P使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y=ax2+x+c(a≠0)经过A，B两点与x轴相交于点C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC＋∠OBA＝45°时，求点P的坐标；
(3)点M为抛物线上任意一点，当S△ABM:S△ABC=1:3时，请直接写出点M的坐标．
8．已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A(−1,0)，C(0,−3)两点，对称轴为直线x=1，对称轴与x轴交于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的点，当∠ACP=45°时，求点P的坐标；
(3)点F为二次函数图像上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
9．如图所示，抛物线y=−x2+bx+3经过点B(3，0)，与x轴交于另一点A，与y轴交于点C．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)如图，设点D是x轴正半轴上一个动点，过点D作直线l⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，连接AC、FC．
①若点F在第一象限内，当∠BCF=∠BCA时，求点F的坐标；
②若∠ACO+∠FCB=45°，则点F的横坐标为______．
x2+x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 10．如图，抛物线y=−1
2
轴交于点C．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线AC的函数表达式；
(2)若D是第一象限内抛物线上一动点，且△BCD的面积等于△AOC的面积，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接AD，试判断在抛物线上是否存在点M，使∠MDA＝∠ACO？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴
交于点C，OA=OC=3．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P为直线AC下方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q，若AC分△ABP的面积为1：2两部分，请求出点P的坐标；
(3)在y轴上是否存在一点N，使得∠BCO+∠BNO=45°，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，顶点坐标为(3,4)的抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C(0,−5)．
(1)求a，b的值；
(2)已知点M在射线CB上，直线AM与抛物线y=ax2+bx+c的另一公共点是点P．
①抛物线上是否存在点P，满足AM:MP=2:1，如果存在，求出点P的横坐标；如果不存在，请说明理由；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．13．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若A(−1,0)且OC=3OA．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D 是该抛物线的顶点，点P (m,n )是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD 、BC 、BP ，当2PBA CBD ∠=∠时，求m 的值；
(3)如图2，∠BAC 的角平分线交y 轴于点M ，过M 点的直线l 与射线AB ，AC 分别交于E ，F ，已知当直线l 绕点M 旋转时，1AE
+
1AF
为定值，请直接写出该定值．
14．如图，已知A(−2,0),B(3,0)，抛物线y =ax 2+bx +4经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？
(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得∠BCO +2∠PCN =90°？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点N是y轴负半轴上的一点，且ON=√2，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分OMD
∠时，求点M的坐标．(3)直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P 的坐标．
16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0),B(2,0),C(0,2)三点，点D在该抛物线的对称轴l上．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若DA=DC，求∠ADC的度数及点D的坐标；
(3)若在（2）的条件下，点P在该抛物线上，当PBC DAB
∠=∠时，请直接给出点P的坐标．
17．如图，已知抛物线()2
20y ax bx a =+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，
直线BD 交抛物线于点D ，并且D (2,3)，tan ∠DBA =1
2．
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)若抛物线上存在一个点P ，使得∠PDB =∠ABD ，请求出P 点的坐标．
(3)已知点M 的坐标(−2,0)，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
18．抛物线y ＝ax 2+c （a <0）与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方．
(1)如图1，若P (1，2)，A (-3，0)． ①求该抛物线的解析式；
②若D 是抛物线上异于点P 一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标； (2)如图2，已知直线P A 、PB 与y 轴分别交于E 、F 两点．当点P 运动时，OE+OF OC
是否为
定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
19．如图（1），抛物线y=ax2+(a−5)x+3（a为常数，a≠0）与x轴正半轴分别交
于A，B（A在B的右边）．与y轴的正半轴交于点C．连接BC，tan∠BCO＝1
3
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（2），设抛物线的顶点为Q，P是第一象限抛物线上的点，连接PQ，AQ，AC，若∠AQP=∠ACB，求点P的坐标；
(3)如图（3），D是线段AC上的点，连接BD，满足∠ADB=3∠ACB，求点D的坐标
20．如图，抛物线y＝﹣1
2
x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，3)，点A 在原点左侧，2CO=9AO，连接BC．
(1)求点A坐标：
(2)求该抛物线的解析式：
(3)点D在该抛物线上，∠DCB=∠ABC，求出点D的坐标．
参考答案：
1．(1)y =−x 2+2x +3；
(2)F （35，125
）； (3)存在，P （13，329）或（﹣73，﹣649）．
2．(1)y =−14x 2+32x +4
(2)D (−8,8),24
(3)P (6,4)或(343
,−1009)
3．(1)抛物线的解析式是y =x 2-3x -4；
(2)m =4−√2；
(3)存在，m =1.5时，△BEF 的周长最小．
4．(1)y =−x 2+4；
(2)点M 的坐标为(13,359)或(135,−6925
)； (3)（3）抛物线顶点横坐标t 的取值范围为-3≤t ＜0或5−√212<t ≤5+√212 ．
5．(1)y =−x 2+2x +3
(2)点D 的坐标为（0，1）或（0，－1）
(3)P （12，154
）
6．(1)y =−x 2+2x +3，对称轴为直线x =1
(2)（4，-5）
(3)存在，（4，1）或（-2，1）或(2,
3+√172)或(2,3−√172)
7．(1)y =−12x 2+x +4
(2)(6,−8)和(3,52
)
(3)M 1(2,4)，M 2(−4,−8)
8．(1)y =(x −1)2−4
(2)P (4,5)
(3)M (0,−3)或M (−2,5)或M (4,5)
9．(1)y =−x 2+2x +3
(2)①(53,329
)；②73或5
10．(1)A (－2，0)，B (4，0)，C (0，4)，y =2x +4
(2)(2，4)
(3)存在，(－23，289)或(－6，－20)
11．(1)y =x 2+2x −3
(2)（-2，-3）或（-1，-4）
(3)（0，2）或（0，-2）
12．(1)-1；6
(2)①存在，5+√172或5+√332或5−√332；②(136,−176)；(236,−76)
13．(1)y =x 2−2x −3
(2)−74
(3)10+√1010
14．(1)y =−23x 2+23x +4
(2)PN =−25m 2+65m ，当m =32时，有最大值910
(3)存在，m =74
15．(1)1(1,1)M 或2(1,1)M -
(2)y =x 2−2x −3
(3)1(3,4)P --或2(1,6)P --或3(2,1)P 或4(4,1)P -．
16．(1)y =−x 2+x +2
(2)∠ADC =90°，点D 的坐标为(12,12
) (3)点P 的坐标为(1,2)或(−12,54)
17．(1)213222
y x x =+- (2)P (−5,3)或(−73，−259)
(3)点Q 的坐标为(−2,4)或(−2,−1)．
18．(1)①y =−14x 2+94；②(-1，2)或(133，−229
) (2)
OE+OF OC 是定值，定值为2．
19．(1)y =x 2−4x +3
(2)P (5，8)
(3)D (2011，1311
)
20．(1)（-23，0）
(2)y =−12
x 2+256x +3 (3)（253，3）或（596，−358
）。