第30讲：数论(二)同余与不定方程 作业

第三十讲 数论（二）同余与不定方程
课后作业
【1】设12,,(4)n x x x n >为+1或-1，并且123423451230n x x x x x x x x x x x x +++=。

求证：n 是
4的倍数
【2】求不定方程2252x y -=的整数解。

【3】求最大的正整数x ，使得对任意y N ∈，有|7121y x y +-。

【4】若n 为正整数，若3n +与7n +都是素数，求n 除以3的余数。

【5】设a 是整数，求证：530|a a -
第三十讲 数论（二）同余与不定方程
参考答案
【1】设12,,(4)n x x x n >为+1或-1，并且123423451230n x x x x x x x x x x x x ++
+=。

求证：n 是
4的倍数
【解析】设12342345123,,
,n x x x x x x x x x x x x 中+1的有k 个，于是-1的也有k 个，故2n k =。

再把12342345123,,
,n x x x x x x x x x x x x 这n 个数相乘，得412()1(1)(1)k k k n x x x =⨯-=-，所以
(1)1k -=。

故k 为偶数，从而n 是4的倍数。

【2】求不定方程2252x y -=的整数解。

【解析】由于,x y 是整数，在原方程两边mod5得22(mod5)x ≡
20,1,2,3,4(mod5)0,1,4,4,1(mod5)x x ≡≡若，则 所以22(mod5)x ≡是无解的。

所以不定方程2252x y -=无解。

【3】求最大的正整数x ，使得对任意y N ∈，有|7121y x y +-。

【解析】令1,2,3y =，得到|18,|72,|426x x x 所以(18,72,426)6=,|6x
下证对任意y N ∈，有6|7121y y +-
7121110(mod6)y y y +-≡-≡
【4】若n 为正整数，若3n +与7n +都是素数，求n 除以3的余数。

【解析】若n 除以3的余数为0，3030(mod3)n +≡+≡，3n +不是素数 若n 除以3的余数为2，7730(mod3)n +≡+≡，7n +不是素数
所以n 除以3的余数只能是1，另外4n =满足3n +与7n +都是素数。

所以n 除以3的余数为1
【5】设a 是整数，求证：530|a a -
【解析】欲证530|a a -，只需证明5552|,3|,5|a a a a a a ---，
52|a a -的证明：当50,1(mod 2),0,0(mod 2)a a a ≡-≡时 53|a a -的证明：当50,1,2(mod3),0,0,0(mod3)a a a ≡-≡时 55|a a -的证明：当50,1,2,3,4(mod5),0,0,0,00(mod3)a a a ≡-≡时， 所以530|a a -。