第五讲 一次函数的图象与性质培优辅导含答案

第五讲 一次函数的图象与性质培优辅导
知识点：
一、一次函数和正比例函数的概念；
正比例函数的一般形式是 ，一次函数的一般形式是 ； 正比例函数与一次函数的关系是 ；
二、 一次函数y kx b =+的图象与性质
一次函数y kx b =+的图象是经过（ ）和（ ）两点的一条直线.
1．、．正比例函数．．．．．y=kx ．．．．（．k ．≠．0．）的性质．．．．：． 2．、．一次函数．．．．y kx b =+（．k ．≠．0．）．的性质．．．
（．1．）．k ．的正负决定直线的倾斜方向．．．．．．．．．．．．：． （．2．）．|k|．．．大小决定直线的倾斜程度．．．．．．．．．．．：． |k|．．．越大，直线与．．．．．．x ．轴相交的锐角度数越大（直线陡），．．．．．．．．．．．．．．．．|k|．．．越小，直线与．．．．．．x ．轴相交的锐角度数越小（直线缓）；．．．．．．．．．．．．．．．． （．3．）．b ．的正、负决定直线与．．．．．．．．．y ．轴交点的位置；．．．．．．． （．4．）．由于．．k ．，．b ．的符号不同，直线所经过的象限也不同；．．．．．．．．．．．．．．．．．．
（．5．）由于．．．|k|．．．决定直线与．．．．．x ．轴相交的锐角的大小，．．．．．．．．．．k ．相同，说明这两个锐角的大小相等，且．．．．．．．．．．．．．．．．．它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．平移的角度．．．．．也可以分析，例如：直线．．．．．．．．．．．y=x ．．．＋．1．可以看作是正比例函数．．．．．．．．．．y=x ．．．向上平移一个单位得到的．．．．．．．．．．．．．k ．相同，．．．b ．不同．．，它们是平行的．．．．．．．；．k ．不．相同，．．．b ．相同，相交于．．．．．．y ．轴的同一点。

．．．．．．
如：已知一次函数y kx b =+（k ≠0）,求字母k 、b 为何值时：
（1）y 随x 的增大而增大 ； （2）图象经过第一二三象限 （3）图象不经过第二象限 ； （4）图象经过原点 ；
（5）图象平行于直线y=－4x+1 ； （6）图象与y 轴交点不在x 轴上方 .
【思想方法】数形结合 【例题精讲】
例1. 一次函数的定义
当m 、n 为何值时，函数2
5(2)()m y m x n m -=-++（1）是正比例函数？ （2）是一次函数？
例2.求一次函数的解析式
【思想方法】数形结合
例1. 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点. （1）求这个一次函数的解析式；
（2）试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上； （3）求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积.
【变式题组】1、直线14
3
+-
=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________。

2、已知一次函数y ＝kx ＋b ，当自变量取值范围是2≤x ≤6时，函数值的取值范围5≤y ≤9.求此函数的解析式．
3、已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点（0,1），它与坐标轴围成的图是等腰直角三角形求
此函数的解析式．
例3. 一次函数y kx b =+的图象与性质
函数y ＝ax ＋b ①和y ＝bx ＋a ②（ab ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（
）
【变式题组】
1、下列图象中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx （m 、n 为常数，则mn ≠0）
的图象是（ ）
2、直线y 1＝kx ＋b 过第一、二、四象限，则直线y 2＝bx －k 不经过（）
A ． 第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3、已知一次函数y ＝（1－2m ）x ＋m －2，函数y 随着x 的增大而减小，且其图象不经过第
一象限，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞21 B .m ≤2 C ．21＜m ＜2 D . 2
1＜m ≤2 4、已知abc ≠0，且
b
a
c a c b c b a +=+=+＝t ，则直线y ＝tx ＋t 一定通过（ ） A ．第一、二象限
B ．第二、三象限
C ．第三、四象限
D ．第一、四象限
5、已知一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求字母a 、b 满足什么条件时：
（1）y 随x 的增大而增大； （2）图象不经过第一象限； （3）图象经过原点； （4）图象平行于直线y=－4x+3； （5）图象与y 轴交点在x 轴下方.
例4、一次函数与面积有关的问题
如图，直线l 1的解析式为y ＝－3x ＋3，l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A (4，0)，B (3，3
2
-)．
⑴求直线l 2的解析式；⑵求S △ADC ；
⑶在直线l 1上存在异于点C 的另一点P ，使得S
△
ADP ＝S △ADC ，求P 点坐标．
l 2
【变式题组】如图，在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）是直线y ＝－x ＋6第一象限上的点，
点A (5,0),O 是坐标原点，△P AO 的面积S ．
⑴求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
⑵探究：当P 点运动到什么位置时△P AO 的面积为10.
例５、一次函数最值问题
已知：三点A (a ，1)、B (3,1)、C (6,0)，点A 在正比例函数y ＝
2
1
x 的图象上． ⑴求a 的值；
⑵点P 为x 轴上一动点，当△OAP 与△CBP 周长的和取得最小值时，求点P 的坐标；
培优升级检测
1、（芜湖）关于x的一次函数y＝kx＋k2＋1的图象可能正确的是（）
2、一次函数y＝kx－b和正比例函数y＝kbx在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（）
3、如图，点A、B、C、D在一次函数y＝－2x＋m的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）
3（m－2）
A． 1 B．3 C．3(m－1) D．
2
4、（绍兴）如图，在x轴上有五个点，它们横坐标依次为1，2，3，4，5.分别过这些点作x
轴的垂线与三条直线y＝ax，y＝（a＋1）x，y＝（a＋2）x相交，其中a＞0，则图中阴影部分的面积是（）A．12.5 B．25 C．12.5a D． 25a
5、一次函数y＝（m－1）x＋m2＋2的图象与y轴的交点的纵坐标是3，则m的值是_______
6、（日照）如图，点A的坐标为（－2,0）,点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，
点B的坐标为________
7、（十堰）直线y＝kx＋b经过点A(－2,0)和y轴上的一点B，如果△ABO（O为坐标原点）
的面积为2，则b的值为________.
8、点P为直线y＝－3x＋6上的一点，且点P到两坐标轴距离相等，则P点坐标为_____.
9、如图，直线y＝－5x－5与x轴交于A，与y轴交于B，直线y＝kx＋b与x轴交于C，与y轴交于B点，CD⊥AB交y轴于E．若CE＝AB,求直线BC的解析式．
10、如图，已知直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B .另一条直线y ＝kx ＋b （k
≠0）经过（1，0），且把△AOB 分成两部分．⑴若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值；⑵若△AOB 被分成的两部分的面积比为1:5,求k 和b 的值．
11、如图，在平面直角坐标系xOy ，已知直线AC 的解析式为y ＝－
2
1
x ＋2，直线AC 交x 轴于点C ，交于y 轴于点A ．
⑴若一个等腰直角三角形OBD 的顶点D 与点C 重合，直角顶点B 在第一象限内，请直接写出点B 的坐标；
⑵过点B 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存一点P ，使得△AOP 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
⑶试在直线AC 上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．
第五讲 一次函数的图象与性质培优辅导答案
知识点：
一、一次函数和正比例函数的概念；
正比例函数的一般形式是 y=kx （k ≠0） ，一次函数的一般形式是 y=kx+b （k ≠0） ； 正比例函数与一次函数的关系是 正比例函数是特殊的一次函数 ；
二、 一次函数y kx b =+的图象与性质
一次函数y kx b =+的图象是经过（ 0，b ）和⎪⎭⎫
⎝⎛0k b -，
两点的一条直线.
1．、．正比例函数．．．．．y=kx ．．．．（．k ．≠．0．）的性质．．．．：． 2．、．一次函数．．．．y kx b =+（．k ．≠．0．）．的性质．．．
（．1．）．k ．的正负决定直线的倾斜方向．．．．．．．．．．．．：． （．2．）．|k|．．．大小决定直线的倾斜程度．．．．．．．．．．．：． |k|．．．越大，直线与．．．．．．x ．轴相交的锐角度数越大（直线陡），．．．．．．．．．．．．．．．．|k|．．．越小，直线与．．．．．．x ．轴相交的锐角度数越小（直线缓）；．．．．．．．．．．．．．．．． （．3．）．b ．的正、负决定直线与．．．．．．．．．y ．轴交点的位置；．．．．．．． （．4．）．由于．．k ．，．b ．的符号不同，直线所经过的象限也不同；．．．．．．．．．．．．．．．．．．
（．5．）由于．．．|k|．．．决定直线与．．．．．x ．轴相交的锐角的大小，．．．．．．．．．．k ．相同，说明这两个锐角的大小相等，且．．．．．．．．．．．．．．．．．它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．平移的角度．．．．．也可以分析，例如：直线．．．．．．．．．．．y=x ．．．＋．1．可以看作是正比例函数．．．．．．．．．．y=x ．．．向上平移一个单位得到的．．．．．．．．．．．．．k ．相同，．．．b ．不同．．，它们是平行的．．．．．．．；．k ．不．相同，．．．b ．相同，相交于．．．．．．y ．轴的同一点。

．．．．．．
如：已知一次函数y kx b =+（k ≠0）,求字母k 、b 为何值时：
（2）y 随x 的增大而增大 k>0 ； （2）图象经过第一二三象限 k ＞0，b
＞0 ; （3）图象不经过第二象限 k ＞0，b ≤0 ； （4）图象经过原点 k ≠0 ,b=0 ；
（5）图象平行于直线y=－4x+1 k= -4 且b ≠1 （6）图象与y 轴交点不在x 轴上方 k ≠0 且 b ≤0 .
【思想方法】数形结合 【例题精讲】
例2. 一次函数的定义
当m 、n 为何值时，函数2
5(2)()m y m x n m -=-++（1）是正比例函数？ （2）是一次函数？
解：（1）m=-2且n=2
（2）m=-2，n 为任意数
例2.求一次函数的解析式 【思想方法】数形结合
例2. 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点. （1）求这个一次函数的解析式；
（2）试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上； （3）求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积. 解：
设一次函数的表达式为y=kx+b ，解得：k=2，b=1． ∴函数的解析式为：y=2x+1．
（2）将点P （-1，1）代入函数解析式，1≠-2+1， ∴点P 不在这个一次函数的图象上． （3）当x=0，y=1，当y=0，x=-0.5
此函数与x 轴、y 【变式题组】1、直线14
3
+-
=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线_47-x 43-y =_______。

2、已知一次函数y ＝kx ＋b ，当自变量取值范围是2≤x ≤6时，函数值的取值范围5≤y ≤9.求此函数的解析式．
解：⑴当k ＞0，y 随x 的增大而增大，∴y ＝kx ＋b 经过（2,5），（6,9）两点
∴⎩⎨⎧=+=+9652b k b k ∴⎩
⎨⎧=-=31b k ，∴y ＝x ＋3 ⑵当k ＜0，y 随x 的增大而减小，∴y ＝kx ＋b 经过（2,9），（6,5）两点
∴⎩⎨⎧=+=+5692b k b k ∴⎩
⎨⎧-=-=111b k ，∴y ＝－x ＋11 ∴所求解析式为y ＝x ＋3或y ＝－x ＋11
3、已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点（0,1），它与坐标轴围成的图是等腰直角三角形求此函数的解析式．
解：∵一次函数y=ax+b 的图象经过点（0，1），即与y 轴的交点坐标为（0，1），∴b=1；
令y=0，则0=ax+1，得x=-a 1-
，即它与x 轴的交点坐标为（-a 1
-，0）
又∵图象与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，
∴|a 1
-|=1，解得a=±1．
所以一次函数y ＝±x ＋1
例3. 一次函数y kx b =+的图象与性质
函数y ＝ax ＋b ①和y ＝bx ＋a ②（ab ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ D ）
【变式题组】
1、下列图象中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx （m 、n 为常数，则mn ≠0）
的图象是（A ）
2、直线y 1＝kx ＋b 过第一、二、四象限，则直线y 2＝bx －k 不经过（ D ）
A ． 第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3、已知一次函数y ＝（1－2m ）x ＋m －2，函数y 随着x 的增大而减小，且其图象不经过第
一象限，则m 的取值范围是（ D ） A ．m ＞
21B .m ≤2 C ．2
1
＜m ＜2 D . 2
1
＜m ≤2
4**、已知abc ≠0，且
b
a
c a c b c b a +=+=+＝t ，则直线y ＝tx ＋t 一定通过（ B ） A ．第一、二象限
B ．第二、三象限
C ．第三、四象限
D ．第一、四象限
5、已知一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求字母a 、b 满足什么条件时：
（1）y 随x 的增大而增大； （2）图象不经过第一象限； （3）图象经过原点； （4）图象平行于直线y=－4x+3； （5）图象与y 轴交点在x 轴下方.
解：(1)a>-2/3 , b 为任意实数 （2）a<-2/3 ，b 4≤
l2（3）a
3
2
-
≠，b=4 （4）a=-2，b≠7 （5）a
3
2
-
≠，b>4
例4、一次函数与面积有关的问题
如图，直线l1的解析式为y＝－3x＋3，l1与x轴交于点D，直线l2经过点A(4，0)，B(3，
3
2
-)．
⑴求直线l2的解析式；⑵求S△ADC；
⑶在直线l1上存在异于点C的另一点P，使得S△ADP＝S△ADC，求P点坐标．
解：（1）由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，所以x=1∴D（l，0）；
（2）设直线l2的解析式为y=kx+b，由图象知：x=4时，y=0；x=3时，y=-
∴解得
∴直线l2的解析式为y=x-6；
（3）由
解得
∴C（2，-3）
∵AD=3
∴S△ADC=×3×|-3|=；
（4）P（6，3）。

【变式题组】如图，在平面直角坐标系中，点P（x，y）是直线y＝－x＋6第一象限上的点，
点A(5,0),O是坐标原点，△P AO的面积S．
⑴求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
⑵探究：当P点运动到什么位置时△P AO的面积为10.
解：（1）∵点A（5，0），O是坐标原点，∴OA=5，
∵点P（x，y）是第一象限直线y=-x+6上的点，
∴S=×OA×y=×5（-x+6）=-2.5x+15，
自变量取值范围为0＜x＜6；
（2）当s=10时，-2.5x+15=10，
∴x=2，y=-x+6=4，
∴P（2，4）。

例５、一次函数最值问题
已知：三点A(a，1)、B(3,1)、C(6,0)，点A 在正比例函数y ＝
2
1
x 的图象上．
⑴求a的值；
⑵点P 为x 轴上一动点，当△OAP 与△CBP 周长的和取得最小值时，求点P 的坐标；
解:（1）∵点A （a ，1）在正比例函数y ＝21
x
的图象上，∴a=2．
（2）①作点A 关于x 轴对称点A ′，可得A ′
（2，-1）．连接A ′B 交x 轴于点P ．
设直线A ′B 的解析式为y=kx+b （k ≠0），可得
此直线的解析式为y=2x-5．
当y=0时，x=2.5．
当AP+BP 取得最小值时，可得△OAP 与△CBP 周长的和取得最小值，此时点P 的坐标为（2.5，0）．
培优升级检测
1、（芜湖）关于x 的一次函数y ＝kx ＋k 2＋1的图象可能正确的是（ C ）
2、一次函数y ＝kx －b 和正比例函数y ＝kbx 在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（ A ）
3、如图，点A 、B 、C 、D 在一次函数y ＝－2x ＋m 的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ B ）
A ． 1
B ．3
C ．3(m －1)
D ． 23
（m －2）
4、（绍兴）如图，在x 轴上有五个点，它们横坐标依次为1，2，3，4，5.分别过这些点作x
轴的垂线与三条直线y ＝ax ，y ＝（a ＋1）x ，y ＝（a ＋2）x 相交，其中a ＞0，则图中阴影部分的面积是（ A ）A ． 12.5 B ．25 C ．12.5a D ． 25a
5、一次函数y ＝（m －1）x ＋m 2＋2的图象与y 轴的交点的纵坐标是3，则m 的值是_-1______
6、（日照）如图，点A 的坐标为（－2,0）,点B 在直线y ＝x 上运动，当线段AB 最短时，
点B 的坐标为__（1，1）．
7、直线y ＝kx ＋b 经过点A (－2,0)和y 轴上的一点B ，如果△ABO （O 为坐标原点）的面积
为2，则b 的值为___2_____.
8、点P 为直线y ＝－3x ＋6上的一点，且点P 到两坐标轴距离相等，则P 点坐标为_（3，
-3）____.
9、如图，直线y ＝－5x －5与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于 C ，与y 轴交于B 点，CD ⊥AB 交y 轴于E ．若CE ＝AB ,求直线BC 的解析式．
解:由CE ＝AB ，CD ⊥AB 可得△AOB ≌△EOC,因而OB ＝OC 而y ＝－5x －5与y 轴交于B ∴B(0，－5)
∴C(5,0),而直线BC 经过（0，－5），（5,0）可求得解析式y ＝x －5
10、如图，已知直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B .另一条直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过（1，0），且把△AOB 分成两部分．⑴若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值；⑵若△AOB 被分成的两部分的面积比为1:5,求k 和b 的值．
解：⑴由题意得（2，0）、B(0，2)，∴C 为OA 的中点，因而直线y ＝kx ＋b 过OA 中点且平分△AOB 的面积时只可能韦中线BC ．
∴y ＝kx ＋b 经过C （1，0），（0，2）
∴⎩⎨⎧=+=b b kx 20∴k ＝2 b ＝2
⑵①设y ＝kx ＋b 与OB 交于M （0，t ）则有S △OMC ＝S △CAN,
∴MN ∥x 轴，∴N(34,32
) ∴直线y ＝kx ＋b 经过34,32)，（1，0）∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0
3234b k b k ∴⎩⎨⎧-==22b k
11、如图，在平面直角坐标系xOy ，已知直线AC 的解析式为y ＝－2
1x ＋2，直线AC 交x 轴于点C ，交于y 轴于点
A ．
⑴若一个等腰直角三角形OBD 的顶点D 与点C 重合，直角顶点B 在第一象限内，请直接
写出点B的坐标；
⑵过点B作x轴的垂线l，在l上是否存一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
⑶试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．
解：（1）B(2，2)；
（2）∵等腰三角形OBD是轴对称图形，对称轴是l
∴点O与点C关于直线l对称，
∴直线AC与直线l的交点即为所求的点P
把x=2代入，得y=1
∴点P的坐标为(2，1)
设满足条件的点Q的坐标为（m，），由题意得或
解得或m=-4
∴点Q的坐标为（，）或（-4，4）。