4.2.1对数运算教学课件-高一数学人教B版必修第二册
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差 0.2，最大振幅之间具有什么关系？
（2）化学学科中，我们用 pH 表示溶液的酸碱性，pH是由 c(H＋)（即溶液中 H
＋的浓度）决定的．pH＝7
和 pH＝8 的两种溶液，它们的 c(H＋) 有什么关系？
在关系式 ab＝N 中，以 a 或 N 为未知数的方程，我们都已经接触
过，例如 x5＝32，23＝x 等，本节要研究 b 为未知数的情形，即求解类
下面我们来给出本小节情境与问题中里氏震级问题的答案.
里氏震级的计算公式为 M lg
A
，其中 A 是被测地震的最大振幅， A0 是“标
A0
准地震”的振幅.
用 A7.8 和 A8.0 分别表示震级为 7.8 和 8.0 的最大振幅，则有 7.8 lg
A7.8
，
A0
A8.0
A7.8
A8.0
A8.0 108.0
所以 ab 4 3 25 3 (4 25)
所以 lg( ab) 2 3 .
3
100
3
(10 2)
3
10 2 3 ，
常用对数与自然对数的值，可以通过科学计算器和计算机软件求得．
图（1）是某特定型号计算器上的常用对数按钮和自然对数按钮，
图（2）显示的是用 GeoGerra 计算 lg2 017 和 ln2 017 的结果
第四章
指数函数、对数函数与幂函数
4.2.1 对数运算
人教B版（202X）
课标要点
核心素养
1.理解对数的概念
数学抽象
2.了解常用对数与自然对数
数学抽象
3.理解对数式与指数式的关系
数学运算
（1）地震的里氏震级是根据最大振幅计算出来的．2008 年 5 月 12 日，我国四
川汶川产生了地震，速报震级为里氏 7.8 级，修订后的震级为里氏 8.0 级．震级相
2
0
6.计算： log 2 (lg10) ___________.
解析： log 2 (lg10) log 2 1 0 .
7.计算： 2
1
log 2
4
8
27
2
3
1 2
解析：原式
4 3
lg
2
3 3
-3
1
( 2 1) lg1 ___________.
可以举出更多对数的例子：
因为 42＝16，所以 2 是以 4 为底 16 的对数，即log416＝2，
即 42＝16 ⇔ log416＝2，
另外， 41＝4 ⇔ log44＝1，
1
1
4 2 2 log 4 2 2 ，
1
1
41 log 4 4 1 ，
4
1
1
1
1
log 4
式，则可得 alogaN＝N ；类似地，如果把指数表达式中的 N 代入对
数表达式，则有____________.
logaab＝b
3
例如，2log232＝______，log
32
3
1010 ＝_______．
例2 求下列各式的值：
1
（1）log216； （2）log 2 ；
2以log216＝4．
4.若对数 log (2 a 1) (6 2 a) 有意义，则实数 a 的取值范围为(
D)
A. (, 3)
1
B. ,3
2
1
C. ,1 (1, )
2
1
D. ,1 (1, 3)
2
6 2 a 0,
1
解析：由已知，得 2a 1 0, 解得 a 3 且 a 1 .故选 D.
2
2a 1 1,
)
BD
5.（多选）下列指数式与对数式互化正确的是(
A. e
3
m 与 log 3 m e(m 0)
B. 10x 6 与 lg 6 x
C. 27
1
2
1
3
1
1
与 log 1 27
3
3
3
D. 9 3 与 log 9 3
1
2
解析： e
7.8
8.0
8.0 lg
10 ，
10 ，因此
7.8 100.2 1.58 ，
，从而
A0
A0
A0
A7.8 10
即 A8.0 1.58 A7.8 .
1.使 log a (2 3a) 有意义的实数 a 的取值范围是(
C)
A. (1, )
B. (0,1) (1, )
9
3
B)
A.2
B.3
C.
3
2
3
1
2
D.
3
1
3
4
2
4
2
a
log
a
log
3.
a
解析：由
得
，所以 2
2
9
9
3
3
3 3
2
3
3.给出下列说法：
①只有正数有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以 5 为底 25 的对数等于 2 ；
log3 ( 5)
④3
3
m 化成对数式应为 log e m 3 ，即 ln m 3 ，故 A 错误；10 x 6 可
化为 lg 6 x ，故 B 正确；27
可化为 log 9 3
1
3
1
1
1
1
化成对数式应为 log 27 ，故 C 错误；9 2 3
3
3
3
1
，故 D 正确.故选 BD.
似 2x＝64 的方程．
（1）说出 2x＝64 的一个实数根；
（2）判断方程 2x＝64 的实数根的个数，并说明理由．
因为 26＝64，所以 x＝6 一定是 2x＝64 的实数根，再
由 y＝2x 是一个增函数可知 2x＝64 有唯一的实数解 x＝6．
当 a＞0 且 a≠1 时，指数函数 y＝ax 是定义
解：（1）因为101＝10，所以 lg10＝1；
（2）因为102＝100，所以 lg100＝
（3）因为10－2＝0.01，所以 1g 0.01＝
（4）因为 logaab＝b，所以 ln e5＝
；
2
；
－2
5
．
例4 已知 log4a＝log25b＝ 3，求 lg(ab) 的值．
解：由 log4 a log25 b 3 可得 a 4 3 ， b 25 3 ，
后续如果没有指出对数的底，则默认为指的都是常用对数．例如，
“100 的对数是 2”，就是指“100 的常用对数是 2”．
在科学技术中，常常还使用以无理数 e＝2.718 28…为底的对数，以 e
为底的对数称为自然对数，自然对数 logeN 通常简写为 ln N．
例3 求下列各式的值：
（1）lg 10； （2）lg 100； （3）lg 0.01； （4）ln e5．
100
2 ( 2 1) 0
1 9
2 1 3 .
4 4
1．对数的概念
2．常用对数与自然对数
感谢观看
为以 a 为底 N 的对数，记作 b＝logaN，其中 a 称为对数的底数，N
称为对数的真数．
例如，由前面的尝试与发现可知，因为 26＝64，所以 log264＝6．
由上可以看出，当 a＞0 且 a≠1 时，b＝logaN 的充要
条件是 ab＝N．由此可知，只有 N＞0 时，logaN 才有意
义，这通常简称为“负数和零没有对数”．
5 成立.
其中正确的个数为(
B)
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：对于①，由对数的概念知，负数和 0 没有对数，故①正确；对于②，指数
式 ( 1) 2 1 没有相应的对数式，故②错误；对于③，以 5 为底 25 的对数等于 2，
故③错误；对于④，负数没有对数，所以 log 3 ( 5) 无意义，故④错误.故选 B.
（2）因为2－1＝
1
1
，所以 log2 ＝－1.
2
2
（3）因为 5log53＝3，所以 52log53＝(5log53)2＝32＝9.
以 10 为底的对数称为常用对数，即 log10N 是常用对数．为了简便起见，
常用对数的表示中，通常把底 10 略去不写，并把“log”写成“lg”，即把
log10N 简写为 lgN．
2
C. 0,
3
2
D. ,
3
a 0,
2
2
解析：由题意知 a 1,
解得 0 a ，所以实数 a 的取值范围是 0, .
3
3
2 3a 0,
故选 C.
2
3
4
2.已知 a (a 0) ，则 log 2 a (
域为 R，值域为(0 ,＋∞)的单调函数，这就意味
着，如图所示，任意给定 y0 ∈ (0 ,＋∞)，存在唯
一的 x0 ∈ R，使得 0 = 0 .
因此，在表达式 ab＝N（a＞0 且 a≠1，N ∈ (0 ,＋∞)）中，当 a
与 N 确定之后，只有唯一的 b 能满足这个式子，此时，幂指数 b 称
4 2
2
2 .
2
例1 已知 a＞0 且 a≠1，求 loga1 与 logaa 的值．
解：因为 a0＝1，a1＝a，所以 loga1＝0，logaa＝1．
例1的结论可以简述为“1的对数为0”
“底的对数为1”．
由上可知，指数表达式 ab＝N 与对数表达式 b＝logaN 实际上
表示的是同一数量关系，如果把对数表达式中的 b 代入指数表达
（2）化学学科中，我们用 pH 表示溶液的酸碱性，pH是由 c(H＋)（即溶液中 H
＋的浓度）决定的．pH＝7
和 pH＝8 的两种溶液，它们的 c(H＋) 有什么关系？
在关系式 ab＝N 中，以 a 或 N 为未知数的方程，我们都已经接触
过，例如 x5＝32，23＝x 等，本节要研究 b 为未知数的情形，即求解类
下面我们来给出本小节情境与问题中里氏震级问题的答案.
里氏震级的计算公式为 M lg
A
，其中 A 是被测地震的最大振幅， A0 是“标
A0
准地震”的振幅.
用 A7.8 和 A8.0 分别表示震级为 7.8 和 8.0 的最大振幅，则有 7.8 lg
A7.8
，
A0
A8.0
A7.8
A8.0
A8.0 108.0
所以 ab 4 3 25 3 (4 25)
所以 lg( ab) 2 3 .
3
100
3
(10 2)
3
10 2 3 ，
常用对数与自然对数的值，可以通过科学计算器和计算机软件求得．
图（1）是某特定型号计算器上的常用对数按钮和自然对数按钮，
图（2）显示的是用 GeoGerra 计算 lg2 017 和 ln2 017 的结果
第四章
指数函数、对数函数与幂函数
4.2.1 对数运算
人教B版（202X）
课标要点
核心素养
1.理解对数的概念
数学抽象
2.了解常用对数与自然对数
数学抽象
3.理解对数式与指数式的关系
数学运算
（1）地震的里氏震级是根据最大振幅计算出来的．2008 年 5 月 12 日，我国四
川汶川产生了地震，速报震级为里氏 7.8 级，修订后的震级为里氏 8.0 级．震级相
2
0
6.计算： log 2 (lg10) ___________.
解析： log 2 (lg10) log 2 1 0 .
7.计算： 2
1
log 2
4
8
27
2
3
1 2
解析：原式
4 3
lg
2
3 3
-3
1
( 2 1) lg1 ___________.
可以举出更多对数的例子：
因为 42＝16，所以 2 是以 4 为底 16 的对数，即log416＝2，
即 42＝16 ⇔ log416＝2，
另外， 41＝4 ⇔ log44＝1，
1
1
4 2 2 log 4 2 2 ，
1
1
41 log 4 4 1 ，
4
1
1
1
1
log 4
式，则可得 alogaN＝N ；类似地，如果把指数表达式中的 N 代入对
数表达式，则有____________.
logaab＝b
3
例如，2log232＝______，log
32
3
1010 ＝_______．
例2 求下列各式的值：
1
（1）log216； （2）log 2 ；
2以log216＝4．
4.若对数 log (2 a 1) (6 2 a) 有意义，则实数 a 的取值范围为(
D)
A. (, 3)
1
B. ,3
2
1
C. ,1 (1, )
2
1
D. ,1 (1, 3)
2
6 2 a 0,
1
解析：由已知，得 2a 1 0, 解得 a 3 且 a 1 .故选 D.
2
2a 1 1,
)
BD
5.（多选）下列指数式与对数式互化正确的是(
A. e
3
m 与 log 3 m e(m 0)
B. 10x 6 与 lg 6 x
C. 27
1
2
1
3
1
1
与 log 1 27
3
3
3
D. 9 3 与 log 9 3
1
2
解析： e
7.8
8.0
8.0 lg
10 ，
10 ，因此
7.8 100.2 1.58 ，
，从而
A0
A0
A0
A7.8 10
即 A8.0 1.58 A7.8 .
1.使 log a (2 3a) 有意义的实数 a 的取值范围是(
C)
A. (1, )
B. (0,1) (1, )
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3
B)
A.2
B.3
C.
3
2
3
1
2
D.
3
1
3
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2
4
2
a
log
a
log
3.
a
解析：由
得
，所以 2
2
9
9
3
3
3 3
2
3
3.给出下列说法：
①只有正数有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以 5 为底 25 的对数等于 2 ；
log3 ( 5)
④3
3
m 化成对数式应为 log e m 3 ，即 ln m 3 ，故 A 错误；10 x 6 可
化为 lg 6 x ，故 B 正确；27
可化为 log 9 3
1
3
1
1
1
1
化成对数式应为 log 27 ，故 C 错误；9 2 3
3
3
3
1
，故 D 正确.故选 BD.
似 2x＝64 的方程．
（1）说出 2x＝64 的一个实数根；
（2）判断方程 2x＝64 的实数根的个数，并说明理由．
因为 26＝64，所以 x＝6 一定是 2x＝64 的实数根，再
由 y＝2x 是一个增函数可知 2x＝64 有唯一的实数解 x＝6．
当 a＞0 且 a≠1 时，指数函数 y＝ax 是定义
解：（1）因为101＝10，所以 lg10＝1；
（2）因为102＝100，所以 lg100＝
（3）因为10－2＝0.01，所以 1g 0.01＝
（4）因为 logaab＝b，所以 ln e5＝
；
2
；
－2
5
．
例4 已知 log4a＝log25b＝ 3，求 lg(ab) 的值．
解：由 log4 a log25 b 3 可得 a 4 3 ， b 25 3 ，
后续如果没有指出对数的底，则默认为指的都是常用对数．例如，
“100 的对数是 2”，就是指“100 的常用对数是 2”．
在科学技术中，常常还使用以无理数 e＝2.718 28…为底的对数，以 e
为底的对数称为自然对数，自然对数 logeN 通常简写为 ln N．
例3 求下列各式的值：
（1）lg 10； （2）lg 100； （3）lg 0.01； （4）ln e5．
100
2 ( 2 1) 0
1 9
2 1 3 .
4 4
1．对数的概念
2．常用对数与自然对数
感谢观看
为以 a 为底 N 的对数，记作 b＝logaN，其中 a 称为对数的底数，N
称为对数的真数．
例如，由前面的尝试与发现可知，因为 26＝64，所以 log264＝6．
由上可以看出，当 a＞0 且 a≠1 时，b＝logaN 的充要
条件是 ab＝N．由此可知，只有 N＞0 时，logaN 才有意
义，这通常简称为“负数和零没有对数”．
5 成立.
其中正确的个数为(
B)
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：对于①，由对数的概念知，负数和 0 没有对数，故①正确；对于②，指数
式 ( 1) 2 1 没有相应的对数式，故②错误；对于③，以 5 为底 25 的对数等于 2，
故③错误；对于④，负数没有对数，所以 log 3 ( 5) 无意义，故④错误.故选 B.
（2）因为2－1＝
1
1
，所以 log2 ＝－1.
2
2
（3）因为 5log53＝3，所以 52log53＝(5log53)2＝32＝9.
以 10 为底的对数称为常用对数，即 log10N 是常用对数．为了简便起见，
常用对数的表示中，通常把底 10 略去不写，并把“log”写成“lg”，即把
log10N 简写为 lgN．
2
C. 0,
3
2
D. ,
3
a 0,
2
2
解析：由题意知 a 1,
解得 0 a ，所以实数 a 的取值范围是 0, .
3
3
2 3a 0,
故选 C.
2
3
4
2.已知 a (a 0) ，则 log 2 a (
域为 R，值域为(0 ,＋∞)的单调函数，这就意味
着，如图所示，任意给定 y0 ∈ (0 ,＋∞)，存在唯
一的 x0 ∈ R，使得 0 = 0 .
因此，在表达式 ab＝N（a＞0 且 a≠1，N ∈ (0 ,＋∞)）中，当 a
与 N 确定之后，只有唯一的 b 能满足这个式子，此时，幂指数 b 称
4 2
2
2 .
2
例1 已知 a＞0 且 a≠1，求 loga1 与 logaa 的值．
解：因为 a0＝1，a1＝a，所以 loga1＝0，logaa＝1．
例1的结论可以简述为“1的对数为0”
“底的对数为1”．
由上可知，指数表达式 ab＝N 与对数表达式 b＝logaN 实际上
表示的是同一数量关系，如果把对数表达式中的 b 代入指数表达