2016年高考理科数学精彩试题全国卷2及解析汇报word完美版

2016年全国高考理科数学试题全国卷2
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知z=(m+3)+(m –1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(–3,1) B ．(–1,3) C ．(1,+∞) D ．(–∞,–3) 2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x –2)<0，x ∈Z}，则A ∪B=( )
A ．{1}
B ．{1,2}
C ．{0,1,2,3}
D ．{–1,0,1,2,3} 3、已知向量a =(1,m)，b =(3,–2)，且(a +b )⊥b ，则m=( ) A ．–8 B ．–6 C ．6 D ．8
4、圆x 2+y 2
–2x –8y+13=0的圆心到直线ax+y –1=0的距离为1，则a=( )
A ．–43
B ．–3
4
C ． 3
D ．2
5、如下左1图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A ．24
B ．18
C ．12
D ．9
6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π
7、若将函数y=2sin2x 的图像向左平移π
12
个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A ．x=k π2–π6(k ∈Z)
B ．x=k π2+π6(k ∈Z)
C ．x=k π2–π12(k ∈Z)
D ．x=k π2+π
12
(k ∈Z)
8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。

执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=( )
A ．7
B ．12
C ．17
D ．34
9、若cos(π4–α)=3
5，则sin2α= ( )
A ．725
B ．15
C ．–15
D ．–725
10、从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A ．4n m
B ．2n m
C ．4m n
D ．2m n
11、已知F 1、F 2是双曲线E ：x 2a 2–y 2b 2=1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=1
3
,则E 的离心率
为( )
A ． 2
B ．3
2
C ． 3
D ．2
12、已知函数f(x)(x ∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=x+1
x
与y=f(x)图像的交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，...(x m ,y m )，
则
1
()m
i
i
i x y =+=∑( )
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA=45，cosC=5
13
，a=1，则b=___________．
14、α、β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：
(1)如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β。

(2)如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n 。

(3)如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β。

(4)如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。

其中正确的命题有____________________(填写所有正确命题的编号)。

15、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________．
16、若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=__________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、(本题满分12分)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S 7=28。

记b n =[lga n ]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1． (1)求b 1，b 11，b 101；
(2)求数列{b n }的前1 000项和．
18、(本题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年
(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19、(本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E 、F 分别在AD 、CD 上，
AE=CF=5
4
，EF 交BD 于点H ．将△DEF 沿EF 折到△D'EF 位置，OD'=10．
(1)证明：D'H ⊥平面ABCD ；
(2)求二面角B –D'A –C 的正弦值．
20、(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2
t +y
2
3
=1的焦点在X 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A ，
M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．
(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM|=|AN|时，求k 的取值范围．
21、(本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)=x –2x+2e x 的单调性，并证明当x>0时，(x –2)e x
+x+2>0；
(2)证明：当a ∈[0,1)时，函数g(x)=e x
–ax –a
x
2
(x>0)有最小值。

设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号
22、(本小题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，在正方形ABCD 中，E 、G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F ． (1) 证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；
(2)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．
23、(本小题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x+6)2+y 2
=25． (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x=tcos α
y=tsin α
(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=10，求l 的斜率．
24、(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x –12|+|x+1
2
|，M 为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M ；
(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a+b|<|1+ab|．
参考答案
1、解析：∴m+3>0，m –1<0，∴–3<m<1，故选A ．
2、解析：B={x|(x+1)(x –2)<0，x ∈Z}={x|–1<x<2，x ∈Z}，∴B={0,1}，∴A ∪B={0,1,2,3}，故选C ．
3、解析： 向量a +b =(4,m –2)，∵(a +b )⊥b ，∴(a +b )·b =10–2(m –2)=0，解得m=8，故选D ．
4、解析：圆x 2+y 2–2x –8y+13=0化为标准方程为：(x –1)2+(y –4)2
=4，故圆心为(1,4)，d=|a+4–1|a 2
+1
=1，解得a=–4
3，故选A ．
5、解析一：E →F 有6种走法，F →G 有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法，故选B ． 解析二：由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短有C 24条路，再从F 处到G 处最短共有C 13
条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为C 24
·C 13=18条，故选B 。

6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．
由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：l =22+(23)2=4，S 表=πr 2
+ch+12
c l =4π+16π+8π=28π，故选C ．
7、解析：由题意，将函数y=2sin2x 的图像向左平移π12个单位得y=2sin2(x+π12)=2sin(2x+π
6
)，则平移后函数的
对称轴为2x+π6=π2+k π，k ∈Z ，即x=π6+k π
2
，k ∈Z ，故选B 。

8、解析：第一次运算：s=0×2+2=2，第二次运算：s=2×2+2=6，第三次运算：s=6×2+5=17，故选C ．
9、解析：∵cos(π4–α)=35，sin2α=cos(π2–2α)=2cos 2(π
4–α)–1=725，故选D ．
解法二：对cos(π4–α)=3
5
展开后直接平方
解法三：换元法
10、解析：由题意得：(x i ,y i )(i=1，2，3，...，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影中
由几何概型概率计算公式知π/41=m n ，∴π=4m
n
，故选C ．
11、解析： 离心率e=F 1F 2MF 2–MF 1，由正弦定理得e=F 1F 2MF 2–MF 1=sinM
sinF 1–sinF 2=2231–1
3
=2．故选A ．
12、解析：由f(–x)=2–f(x)得f(x)关于(0,1)对称，而y=x+1x =1+1
x
也关于(0,1)对称，
∴对于每一组对称点x i +x'i =0，y i +y'i =2， ∴()1
1
1
022
m m m
i i i i i i i m
x y x y m ===+=+=+⋅
=∑∑∑，故选B ．
13、解析：∵cosA=45，cosC=513，sinA=35，sinC=1213，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=63
65，
由正弦定理：b sinB =a sinA ，解得b=21
13
．
14、解析：对于①，m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α，β的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面β相交于直线c ，则n ∥c ，因为m ⊥α，∴m ⊥c ，∴m ⊥n ，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.
15、解析：由题意得：丙不拿(2,3)，若丙(1,2)，则乙(2,3)，甲(1,3)满足；若丙(1,3)，则乙(2,3)，甲(1,2)不满足；故甲(1,3)，
16、解析：y=lnx+2的切线为：y=1
x 1
·x+lnx 1+1(设切点横坐标为x 1)
y=ln(x+1)的切线为：y=1x 2+1·x+ln(x 2+1)–x 2
x 2+1
，∴⎩
⎨⎧1x 1=1x 2+1lnx 1+1=ln(x 2+1)–
x 2x 2+1
解得x 1=12，x 2=–1
2。

∴b=lnx 1+1=1–ln2．
17、解析：(1)设{a n }的公差为d ，S 7=7a 4=28，∴a 4=4，∴d=a 4–a 1
3
=1，∴a n =a 1+(n –1)d=n ．
∴b 1=[lga 1]=[lg1]=0，b 11=[lga 11]=[lg11]=1，b 101=[lga 101]=[lg101]=2．
(2)记{b n }的前n 项和为T n ，则T 1000=b 1+b 2+...+b 1000=[lga 1]+[lga 2]+...+[lga 1000]．
当0≤lga n <1时，n=1，2，...，9；当1≤lga n <2时，n=10，11，...，99；当2≤lga n <3时，n=100，101， (999)
当lga n =3时，n=1000．∴T 1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893．
18、(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，P(A)=1–P(A )=1–(0.30+0.15)=0.55．
，
∴平均保费与基本保费比值为1.23．
19、解析：(1)证明：如下左1图，∵AE=CF=54，∴AE AD =CF
CD
，∴EF ∥AC ．
∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∴EF ⊥BD ，∴EF ⊥DH ，∴EF ⊥D'H ．
∵AC=6，∴AD=3；又AB=5，AO ⊥OB ，∴OB=4，∴OH=AE AO
·OD=1，∴DH=D'H=3，∴|OD'|2=|OH|2+|D'H|2
，∴D'H ⊥OH ．
又∵OH ∩EF=H ，∴D'H ⊥面ABCD ．
(2)方法一、几何法：若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，∵AE=54，AD=AB=5，∴DE=5–54=15
4
，
∵EF ∥AC ，∴DE AD =EH AC =DH OD =15/45=34，∴EH=94，EF=2EH=9
2，DH=3，OH=4–3=1，
∵HD ’=DH=3，OD ’=22，∴满足HD ’2
=OD ’2
+OH 2
，则△OHD ’为直角三角形，且OD ’⊥OH ，
即OD ’⊥底面ABCD ，即OD ’是五棱锥D ’–ABCFE 的高．
底面五边形的面积S=12×AC ·OB+(EF+AC)·OH 2=12×6×4+(9
2+6)×12=12+214=69
4，
则五棱锥D ’–ABCFE 体积V=13S ·OD ’=13×694×22=232
2
．
方法二、向量法。

建立如下左2图坐标系H –xyz ．B(5,0,0)，C(1,3,0)，D'(0,0,3)，A(1,–3,0)， ∴向量AB =(4,3,0)，AD'=(–1,3,3)，AC =(0,6,0)，
设面ABD'法向量n 1=(x,y,z)，由⎩⎨⎧n 1·AB =0n 1·AD'=0得⎩⎨⎧
4x+3y=0
–
x+3y+3z=0，取⎩
⎪⎨⎪⎧x=3y=–4z=5，∴n 1=(3,–4,5)．
同理可得面AD'C 的法向量n 2=(3,0,1)，
∴|cos θ|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=|9+5|52·10=7525，∴sin θ=295
25。

20、解析：(1)当t=4时，椭圆E 的方程为x 2
4+y
2
3=1，A 点坐标为(–2,0)，则直线AM 的方程为y=k(x+2)．
联立椭圆E 和直线AM 方程并整理得，(3+4k 2)x 2+16k 2x+16k 2
–12=0。

解得x=–2或x=–8k 2–63+4k 2，则|AM|=1+k 2|–8k 2–63+4k 2+2|=1+k 2
·123+4k 2。

∵AM ⊥AN ，∴|AN|=
1+(–1k
)2
·
12
3+4·(1–1k )2=1+k 2
·123|k|+
4
|k|。

∵|AM|=|AN|，k>0，∴1+k 2·123+4k 2=1+k 2·
123k+4
，整理得(k –1)(4k 2
–k –4)=0，
所以△AMN 的面积为12|AM|2=1
2(1+1·123+4)2=14449．
(2)直线AM 的方程为y=k(x+t)，
联立椭圆E 和直线AM 方程并整理得，(3+tk 2
)x 2
+2t tk 2
x+t 2k 2
–3t=0。

解得x=–t 或x=–t tk 2
–3t
3+tk
2
， ∴|AM|=1+k 2
|–t tk 2
–3t 3+tk 2+t|=1+k 2·6t 3+tk 2，∴|AN|=
1+k 2
·6t 3k+t
k
∵2|AM|=|AN|，∴2·1+k 2
·6t 3+tk 2=
1+k 2
·6t 3k+t k
，整理得，t=6k 2
–3k k 3–2
． ∵椭圆E 的焦点在x 轴，∴t>3，即6k 2–3k k 3–2>3，整理得(k 2+1)(k –2)k 3
–2
<0，解得3
2<k<2．
21、解析：(1)证明：f(x)=x –2x+2e x ，∴f'(x)=e x (x –2
x+2+4(x+2)2)=x 2e x
(x+2)
2。

∵当x ∈(–∞,–2)∪(–2,+∞)时，f'(x)>0，∴f(x)在(–∞,–2)和(–2,+∞)上单调递增。

∴x>0时，x –2x+2
e x >f(0)=–1，∴(x –2)e x
+x+2>0。

(2)g'(x)=(e x –a)x 2–2x(e x –ax –a)x 4=x(xe x –2e x
+ax+2a)
x 4=(x+2)(x –2x+2·e x
+a)x
3
，a ∈[0,1)。

由(1)知，当x>0时，f(x)=x –2x+2e x 的值域为(–1,+∞)，只有一解．使得t –2t+2
·e t
=–a ，t ∈(0,2]。

当x ∈(0,t)时g'(x)<0，g(x)单调减；当x ∈(t,+∞)时g'(x)>0，g(x)单调增
h(a)=e t –a(t+1)t 2=e t
+(t+1)t –2t+2·e t t 2
=e
t
t+2。

记k(t)=e t t+2，在t ∈(0,2]时，k'(t)=e t (t+1)(t+2)2>0，∴k(t)单调递增，∴h(a)=k(t)∈(12,e
24
]．
22、解析：(1)证明：∵DF ⊥CE ，∴Rt △DEF ∽Rt △CED ，∴∠GDF=∠DEF=∠BCF ，DF DG =CF
BC。

∵DE=DG ，CD=BC ，∴DF DG =CF
BC。

∴△GDF ∽△BCF ，∴∠CFB=∠DFG 。

∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=180°．∴B ，C ，G ，F 四点共圆． (2)∵E 为AD 中点，AB=1，
∴DG=CG=DE=12，∴在Rt △GFC 中，GF=GC ，连接GB ，Rt △BCG ≌Rt △BFG ，∴S 四边形BCGF =2S △BCG =2×12×1×12=1
2
．
23、解：(1)整理圆的方程得x 2+y 2
+12x+11=0，
由ρ2=x 2+y 2、ρcos θ=x 、ρsin θ=y 可知圆C 的极坐标方程为ρ2
+12ρcos θ+11=0． (2)记直线的斜率为k ，则直线的方程为kx –y=0，
由垂径定理及点到直线距离公式知：|–6k|1+k
2
=25–(102)2，即36k 2
1+k 2=904，整理得k 2=5
3，则k=±153．
24、解析：(1)当x<–12时，f(x)=12–x –x –12=–2x ，若–1<x<–12；当–12≤x ≤12时，f(x)=12–x+x+1
2
=1<2恒成立；
当x>12时，f(x)=2x ，若f(x)<2，1
2
<x<1．综上可得，M={x|–1<x<1}．。