2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习讲义：第1部分第1讲函数与方程、数形结合思想含答案

第1讲函数与方程、数形结合思想
一函数与方程思想
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系,通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决，方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程（组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究,以求得问题的解决
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系
(2016·高考山东卷）已知双曲线E：错误!－错误!＝1（a＞0,b ＞0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB｜＝3｜BC｜,则E的离心率是________．
【解析】如图，由题意知|AB｜＝错误!，｜BC｜＝2c.
又2|AB|＝3|BC|，
所以2×错误!＝3×2c，即2b2＝3ac,
所以2（c2－a2)＝3ac，两边同除以a2，并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去）．
【答案】2
［名师点评] 本题利用了方程思想，关于椭圆、双曲线的离心率问题，主要有两类试题．一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的取值范围．基本的解题思路是建立椭圆或双曲线中a，b,c的关系式,求值试题就是建立关于a，b，c的等式，求取值范围问题就是建立关于a，b，c的不等式．
［变式训练]
1．(2016·高考全国卷乙)已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( ）
A．100 B．99
C．98 D．97
C ［解析] 设等差数列{a n}的公差为d,因为｛a n｝为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3。

又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5,所以d ＝1，所以a100＝a5＋95d＝98.
（2016·高考全国卷丙）设函数f（x）＝ln x－x＋1.
(1）讨论f（x)的单调性;
（2)证明当x∈（1，＋∞）时，1＜错误!＜x；
（3)设c＞1，证明当x∈（0，1)时,1＋（c－1）x＞c x.
【解】（1）由题设，f（x）的定义域为（0，＋∞)，f′(x)＝错误!－1，令f′(x)＝0解得x＝1.
当0＜x＜1时，f′（x)＞0，f（x)单调递增;当x＞1时，f′(x)＜0，f（x)单调递减．
（2）证明:由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值,最大值为f（1)＝0。

所以当x≠1时，ln x＜x－1.
故当x∈（1，＋∞)时，ln x＜x－1，ln 错误!＜错误!－1,即
1＜错误!＜x.
（3）证明：由题设c＞1，设g（x）＝1＋（c－1）x－c x,则g′(x）＝c－1－c x ln c，令g′(x）＝0，解得x0＝错误!。

当x＜x0时，g′(x）＞0,g（x）单调递增；当x＞x0时,g′(x)＜0，g（x）单调递减．
由(2）知1＜c－1
ln c＜
c，故0＜x0＜1。

又g（0)＝g（1）＝0，故当
0＜x＜1时,g（x）＞0.
所以当x∈(0，1)时，1＋（c－1)x＞c x。

［名师点评］本题第(3)问证明的关键是构造函数g(x)＝1＋（c
－1)x－c x，利用导数判定g（x)的单调性，从而证明不等式成立．［变式训练]
2．已知正四棱锥S。

ABCD中，SA＝2错误!，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（)
A．1 B。

错误!C．2 D．3
C [解析] 设正四棱锥S.ABCD的底面边长为a（a＞0），则高h ＝错误!＝错误!，所以体积V＝错误!a2h＝错误!错误!.设y＝12a4－错误!a6(a＞0)，则y′＝48a3－3a5.令y′＞0，得0＜a＜4；令y′＜0，得a＞4.故函数y在（0，4］上单调递增，在［4，＋∞）上单调递减．可知当a ＝4时，y取得最大值,即体积V取得最大值，此时h＝错误!＝2,故选C。

二数形结合思想
借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形,即以形作为手段，数作为目的的解决数学问题的数学思想,借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数
学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合
(2016·高考山东卷)已知函数f （x ）＝错误!其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．
【解析】 f （x ）＝⎩⎨⎧｜x ｜x ≤m ，，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，
当x ＞m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ＝(x －m ）2＋4m －m 2，其顶点为(m ,4m －m 2）;当x ≤m 时，函数f （x )的图象与直线x ＝m 的交点为Q (m ,m ）．①当错误!即0＜m ≤3时,函数f （x ）的图象如图1所示，易得直线y ＝b 与函数f （x )的图象有一个或两个不同的交点,不符合题意；②当错误!即m ＞3时，函数f （x )的图象如图2所示，则存在实数b 满足4m －m 2＜b ≤m ，使得直线y ＝b 与函数f (x )的图象有三个不同的交点，符合题意，综上,m 的取值范围为（3,＋∞）．
【答案】 （3，＋∞) [名师点评] 利用数形结合探究方程解的问题应注意两点：
(1）讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题
转化为讨论两曲线的交点问题,但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．
（2）正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合．
［变式训练]
3．（2016·山西第二次四校联考）已知函数f（x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f（x＋2)＝f(x);③当x∈［－1，1］时，f （x)＝－|x|＋1。

则方程f(x）＝错误!log2｜x｜在区间[－3,5］内解的个数是( ）
A．5 B．6
C．7 D．8
A ［解析] 画出y1＝f（x),y2＝错误!log2｜x｜的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5.
（2016·高考四川卷）已知正三角形ABC的边长为23,平面ABC内的动点P，M满足|错误!｜＝1，错误!＝错误!，则｜错误!|2的最大值是( ）
A。

错误!B。

错误!
C。

37＋63
4
D。

错误!
【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则B(－
错误!,0），C（错误!，0)，A（0，3),则点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1。

设P（x，y），M（x0，y0)，则x＝2x0－
错误!,y＝2y0,代入圆的方程得错误!错误!＋错误!错误!＝错误!，
所以点M的轨迹方程为错误!错误!＋错误!错误!＝错误!，它表示以错误!为圆心，以错误!为半径的圆，所以|错误!|max＝错误!＋错误!＝错误!,所以|错误!| 2，max＝错误!.
【答案】B
[名师点评] (1)本题利用数形结合思想，把｜错误!|2的值转化为点B到圆错误!错误!＋错误!错误!＝错误!的距离的平方．
(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式-—可考虑直线的截距；③根式分式-—可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．
[变式训练]
4．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a－c）·(b－c）＝0,则｜c｜的最大值是（）
A．1 B．2
C.错误!
D.错误!
C [解析］因为(a－c)·(b－c)＝0，所以（a－c)⊥(b－c)．如图所示，设错误!＝c，错误!＝a，错误!＝b，错误!＝a－c，错误!＝b－c，即错误!⊥错误!。

又错误!⊥错误!，所以O,A，C，B四点共圆．
当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为错误!.
课时作业
1．（2016·重庆第一次适应性测试）已知实数a，b满足（a＋i)（1－i）＝3＋b i，则复数a＋b i的模为（）
A. 2 B．2
C。

错误!D．5
C ［解析］依题意，（a＋1)＋(1－a)i＝3＋b i，因此错误!，解得a＝2,b＝－1，所以a＋b i＝2－i，|a＋b i|＝｜2－i｜＝错误!＝错误!，选C。

2．等比数列｛a n｝中，a3＝9，前3项和为S3＝3错误!x2d x，则公比q的值是( )
A．1 B．－错误!
C．1或－错误!D．－1或－错误!
C [解析］因为错误!x2dx＝错误!错误!0＝9,所以S3＝3×9＝27，
所以错误!，解得q ＝1或q ＝－错误!.
3．（2016·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知｜AB |＝4错误!，｜DE |＝2错误!，则C 的焦点到准线的距离为（ )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
B ［解析] 由题意,不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0),由|AB |＝42，｜DE ｜＝2错误!，可取A 错误!，D 错误!，设O 为坐标原点，由｜OA ｜＝|OD ｜，得错误!＋8＝错误!＋5，得p ＝4，所以选B 。

4．(2016·河北“五校联盟”质量检测)已知点P 的坐标（x ，y ）满足⎩
⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1,过点P 的直线l 与圆C :x 2＋y 2＝14相交于A 、B 两点,则|AB ｜的最小值是( )
A ．2错误!
B ．4 C.错误! D ．2
B ［解析］ 根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ,则求最短弦长，等价于求到圆心距离d 最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1，3),则d ＝1＋32＝10，此时｜AB |min ＝2错误!＝4，故选B.
5．若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1、x2满足－1≤x1<0〈x2〈2，则k的取值范围是（）
A。

错误! B.错误!
C。

错误! D.错误!
B ［解析] 构造函数f(x）＝x2＋2kx－1，因为关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1、x2满足－1≤x1<0〈x2<2，
所以错误!即错误!所以－错误!〈k≤0.
6．(2016·沈阳市教学质量监测（一）)已知偶函数f（x)(x≠0）的导函数为f′（x），且满足f(1）＝0，当x＞0时，xf′（x)＜2f（x），则使得f(x）＞0成立的x的取值范围是（）
A．(－∞，－1）∪(0,1）
B．（－∞，－1）∪(1,＋∞）
C．(－1，0）∪（1，＋∞)
D．(－1，0）∪(0，1）
D [解析］根据题意,设函数g(x）＝错误!(x≠0），当x＞0时,g′（x）＝错误!＜0，说明函数g（x)在（0，＋∞）上单调递减，又f（x)为偶函数，所以g(x)为偶函数．又f（1)＝0,所以g(1）＝0，故g（x）
在（－1，0）∪（0，1)上的函数值大于零,即f（x)在(－1，0)∪(0，1）上的函数值大于零．
7．若函数f（x)＝x ln(x＋错误!）为偶函数,则a＝________．
[解析］因为f(x)为偶函数,所以f（－x)－f(x)＝0恒成立，所以－x ln（－x＋错误!)－x ln(x＋错误!）＝0恒成立,所以x ln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即a＝1。

［答案] 1
8．（2016·高考北京卷）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有________种；
②这三天售出的商品最少有________种．
[解析] 设三天都售出的商品有x种,第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示．
由图可知:
①第一天售出但第二天未售出的商品有19－（3－x)－x＝16
（种）．
②这三天售出的商品有(16－y)＋y＋x＋（3－x）＋(6＋x)＋（4－x)＋(14－y）＝43－y(种）．
由于错误!所以0≤y≤14。

所以(43－y）min＝43－14＝29.
[答案］①16②29
9．（2016·湖北七市(州)协作体联考）函数f(x)＝3－x＋x2－4的零点个数是________．
[解析] 令f（x)＝0，则x2－4＝－错误!错误!,分别作出函数g（x)＝x2－4,h（x)＝－错误!错误!的图象,由图可知,显然h(x）与g（x)的图象有2个交点，故函数f(x）的零点个数为2.
[答案］2
10．设等差数列｛a n}的前n项和为S n，若S4＝－2,S5＝0，S6＝3，则nS n的最小值为________．
[解析］由已知得,a5＝S5－S4＝2，a6＝S6－S5＝3，因为数列{a n}
为等差数列，所以公差d＝a6－a5＝1。

又S5＝错误!＝0,所以a1＝－2，故S n＝－2n＋错误!＝错误!，即nS n＝错误!，令f（x）＝错误!（x>0)，则f′（x）＝错误!x2－5x，令f′（x）〉0，得x>错误!,令f′（x)<0，得0<x<
错误!。

又n为正整数，所以当n＝3时,nS n＝错误!取得最小值，即nS n 的最小值为－9。

［答案］－9
11．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线错误!－y2＝1(a>0)的中心
和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求错误!·错误!的取值范
围．
［解] 由c＝2得a2＋1＝4，
所以a2＝3.
所以双曲线方程为错误!－y2＝1。

设P(x，y)（x≥错误!)，
错误!·错误!＝(x，y）·（x＋2，y）
＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋错误!－1
＝错误!x2＋2x－1（x≥错误!）．
令g(x）＝错误!x2＋2x－1(x≥错误!)，
则g（x)在[错误!，＋∞)上单调递增．
g（x）min＝g(错误!)＝3＋2错误!.
所以错误!·错误!的取值范围为［3＋2错误!，＋∞）．
12．(2016·云南第一次统一检测）设等比数列｛a n｝的前n项和为S n，a1＋a2＋a3＝26,S6＝728。

(1)求数列｛a n}的通项公式；
(2)求证：S错误!－S n S n＋2＝4×3n.
[解] (1)设等比数列{a n}的公比为q,由728≠2×26得，S6≠2S3，所以q≠1。

由已知得错误!,解得错误!。

所以a n＝2×3n－1.
(2)证明：由（1）可得S n＝错误!＝3n－1.
所以S n＋1＝3n＋1－1，S n＋2＝3n＋2－1.
所以S错误!－S n S n＋2＝4×3n.
13．已知直线l与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A、B两点，且OA⊥OB。

（1）求证：直线l与x轴交点的横坐标为2p；
(2）若OD⊥AB，交AB于点D(2，1)，求p的值．
［解] （1）证明：如图所示，
设直线l的方程为x＝ty＋m（显然l斜率不为0)，又设A(x1,y1),B （x2，y2）,
由错误!⇒y2－2pty－2pm＝0,
所以错误!
又因为A、B在直线l上，所以错误!
又因为OA⊥OB，
所以错误!·错误!＝0，
所以x1x2＋y1y2＝0，
所以(ty1＋m）(ty2＋m）＋y1y2＝0，
所以(1＋t2)y1y2＋mt（y1＋y2)＋m2＝0，③
将①②代入③得（1＋t2)（－2pm）＋2pmt2＋m2＝0，
所以m＝2p，
所以直线l与x轴交点的横坐标为2p.
(2)由题意得，k OD＝错误!，所以k AB＝－2，
所以l AB：y＝－2x＋5,
由(1)可知直线l AB与x轴交点的横坐标2p＝错误!，
所以p＝错误!。

14．已知a〉0,函数f(x)＝x|x－a｜＋1(x∈R)．
(1)当a＝1时，求所有使f（x)＝x成立的x的值；
(2)当a∈（0，3）时,求函数y＝f（x）在闭区间［1，2]上的最小值．
［解] (1)当a＝1时，f（x)＝x｜x－1|＋1＝x,
所以x＝－1或x＝1.
（2）由题知f(x）＝错误!
(其示意图如图所示）
①当0<a≤1时，x≥1≥a，这时，f（x)＝x2－ax
＋1，对称轴是x＝a
2
≤错误!<1,
所以函数y＝f(x)在区间［1，2］上递增，
f（x)min＝f(1）＝2－a；
②当1<a≤2时,当x＝a时函数f(x）min＝f(a)＝1；
③当2〈a〈3时，x≤2<a,这时,f(x)＝－x2＋ax＋1,对称轴是x＝错误!∈错误!,f（1）＝a，f(2)＝2a－3.因为(2a－3）－a＝a－3〈0,
所以函数f(x）min＝f(2)＝2a－3。

综上可知，当0〈a≤1时，f(x)min＝2－a；
当1〈a≤2时，f(x)min＝1;
当2〈a<3时，f（x)min＝2a－3.。