高考数学压轴专题新备战高考《矩阵与变换》知识点总复习有答案

【最新】数学《矩阵与变换》期末复习知识要点
一、15
1．已知关于x ,y 的一元二次方程组：22
3(1)21
mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩，当实数m 为何值时，并在
有解时求出方程组的解. （1）方程组有唯一解？ （2）方程组无解？ （3）方程组有无穷多解？
【答案】（1）2m ≠-且3m ≠，23233x m
m y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
；（2）3m =；（3）2m =-
【解析】 【分析】
分别求出二元一次方程组对应的,,x y D D D ，再根据有唯一解、无解、无穷多解情况求解即可； 【详解】
一元二次方程组：22
3(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩
对应的
()()22
63231
m D m m m m m =
=--=-+-
()2222211x D m m m =
=-++-，()()2
232321
y m D m m m ==-++
（1）当0D ≠时，方程组有唯一解，即3m ≠且2m ≠-，此时23233x y D x D m
D m y D m ⎧
==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩，即
23233x m
m y m ⎧
=⎪⎪-⎨
-⎪=⎪-⎩
； （2）方程组无解的情况等价于0D =时，0x D ≠或者0y D ≠，即只有3m =时符合情况；
（3）方程组有无穷多解等价于0,0,0x y D D D ===，符合的解只有2m =- 【点睛】
本题考查二元一次方程组用二阶行列式求解解的情况，属于中档题
2．解关于x ，y 的方程组21
22ax y a ax ay a +=+⎧⎨-=-⎩
.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
根据对应关系，分别求出D ，x D ，y D ，再分类讨论即可 【详解】 由题可得：()1
22a D a a a a
=
=-+-，()2211=212x a D a a
a
+=
-+--，
221522y a a D a a
a
+=
=--.
所以，（1）当0a ≠且2a ≠-时，()
()221252a x a a a y a ⎧+⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩
； 当0a =或2-时，0x D ≠，方程组无解 【点睛】
本题考查二元一次方程的解与行列式的对应关系，属于中档题
3．讨论关于x ，y ，z 的方程组2112x y z x y az x ay a z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
解的情况.
【答案】当1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪
=-⎨⎪=⎪⎩
；当1a =时，无解.
【解析】 【分析】
先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项计算出D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】
方程组可转化为：2
111111121x a a a y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
221111
1(1)1a a D a a ==--，211
11
(1)(2)12x D a a a a a ==---， 2
1111
1112y D a a a ==-+，111101112
z D a ==，
（1）当系数行列式||0D ≠时，方程组有唯一解，即1a ≠时，有唯一解2,11,0.a x a y a z -⎧=⎪-⎪
=-⎨⎪=⎪⎩
（2）当1a =时，原方程组等价于112x y z x y z x y z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
所以无解.
【点睛】
本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性、唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力．
4．利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组42
mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩
.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
计算出系数行列式D ，以及x D 、y D ，然后分0D ≠和0D =两种情况讨论，在0D ≠时，直接利用行列式求出方程组的解，在0D =时，得出2m =±，结合行列式讨论原方程组解的情况. 【详解】 系数行列式为2
441
m D m m
=
=-，()242x m D m m m
m
+=
=-，
()()222211
y m m D m m m m m
+=
=--=-+.
①当240D m =-≠时，即当2m ≠±时，
原方程组有唯一解()()()22242
21142x y m m D m
x D m m D m m m y D m m ⎧-=
==⎪⎪-+⎨-++⎪===⎪-+⎩
；
②当240D m =-=时，2m =±.
（i ）当2m =-时，0D =，8x D =，4y D =，原方程组无解；
（ii ）当2m =时，0x y
D D D ===，原方程为244
22
x y x y +=⎧⎨+=⎩，可化为22x y +=， 该方程组有无数组解，即12x R x y ∈⎧⎪
⎨=-⎪⎩
.
【点睛】
本题考查利用行列式求二元一次方程组的解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.
5．已知方程组()()()11
,232a x ay a R a x a y ⎧-+=⎪∈⎨
+++=⎪⎩
（1）求证：方程组恰有一解；
（2）求证：以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上； （3）求x y +的最小值，并求此时a 的范围. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最小值1
3
，[3,4]a ∈ 【解析】 【分析】
（1）利用二阶行列式证明
（2）利用消参法得(),x y 的轨迹即可证明 （3）利用绝对值不等式求最值 【详解】 （1）
22
111123230,3,4,
23232234,33
y x a a a a D a a a a D a D a a a a a a a
x y --==+---=-≠==-+==-++++--∴=
=，
即方程组有唯一解 （2）由（1）知34,33
a a
x y --=
=，消去参数a ,则3310x y +-=，即以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上；
（3）1||||(|3|3x y a +=
-1
|4|)3
a +-≥，当且仅当()()340a a --≥即[3,4]a ∈时，
x y +的最小值1
3
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，考查绝对值不等式求最值，是基础题
6．已知线性方程组5210
258x y x y +=⎧⎨+=⎩
．
()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵；
()2运用矩阵变换求解方程组．
【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）3421
2021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
【解析】 【分析】
()1由线性方程组5210
258x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵． ()2由170345010521052102121258102540202001
012121⎛
⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎛⎫⎛⎫→→→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
，能求出方程组的解． 【详解】
（1）Q 线性方程组5210
258x y x y +=⎧⎨
+=⎩．
∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫
⎪⎝⎭
， 增广矩阵为5210.258⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）因为5210
258
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，
17034521050
10521052105210212120258102540021202020010101212121⎛
⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭
，
34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
．
【点睛】
本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且sin
cos
sin 222sin
cos 022sec
1
2
A
A c
B
B B -=-求角
C 的大小.
【答案】
2
π 【解析】 【分析】
先将三阶行列式化简，结合三角形内角和与诱导公式、辅助角公式化简即可求值 【详解】
由sin
cos
sin 222sin
cos 0sin cos sin sin cos 2222222sec
1
2
A A c
B
B A B
C B A B -=⇒++=-
sin sin 22A B C +⎛⎫
⇒+= ⎪
⎝⎭
又()C A B π=-+，∴ sin sin cos 222A B C C π+-⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，
sin sin sin cos 2222A B C C C +⎛⎫
+=⇔+= ⎪
⎝⎭
，
sin 12424C C ππ⎛⎫⎛⎫
+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，又Q 3,
2444C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
，242C ππ
+=∴， 解得2
C π
=
【点睛】
本题考查三阶行列式的化简求值，三角函数的诱导公式、辅助角公式的使用，属于中档题
8．设函数()()271f x x ax a R =-++∈. (1)若1a =-，解不等式()0f x ≥； (2)若当
01x
x
>-时，关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (3)设()1
2
1
x g a
x x +-=
-，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）[)8,6,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦
U ；（2）5a ≥-；（3）4a ≥-.
【解析】 【分析】
（1）利用零点分段讨论可求不等式的解.
（2）
01x
x
>-的解为()0,1，在该条件下()1f x ≥恒成立即为()720a x +->恒成立，参变分离后可求实数a 的取值范围.
（3）()()f x g x ≤有解即为12722a x x -≥---有解，利用绝对值不等式可求
()2722h x x x =---的最小值，从而可得a 的取值范围.
【详解】
（1）当1a =-时，()0f x ≥即为2710x x --+≥.
当72x ≥时，不等式可化为72
2710
x x x ⎧
≥⎪⎨⎪--+≥⎩，故6x ≥； 当7
2
x <时，不等式可化为7
2
7210
x x x ⎧<⎪⎨⎪--+≥⎩，故8
3
x ≤
. 综上，()0f x ≥的解为[)8,6,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦
U .
（2）
01x
x
>-的解为()0,1， 当()0,1x ∈时，有()()72182f x x ax a x =-++=+-，
因为不等式()1f x ≥恒成立，故()821a x +->即()27a x ->-在()0,1上恒成立， 所以72a x ->-
在()0,1上恒成立，而7
7x
-<-在()0,1上总成立， 所以27a -≥-即5a ≥-. 故实数a 的取值范围为5a ≥-.
（3）()1
211
2
x g x x ax a x a +=
=-++--， ()()f x g x ≤等价于27121x ax x ax a -++≤-++，
即27211x x a ---≤-在R 上有解. 令()27212722h x x x x x =---=---，
由绝对值不等式有272227225x x x x ---≤--+=， 所以527225x x -≤---≤，当且仅当7
2
x ≥时，27225x x ---=-成立， 所以()min 5h x =-，故15a -≥-即4a ≥-. 故实数a 的取值范围为4a ≥-. 【点睛】
解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择.绝对值不等式指：a b a b a b -≤+≤+及
a b a b a b -≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.
9．解方程组()sin cos 2cos 0cos cos 2sin x y x y ααα
απααα-=⎧≤≤⎨+=⎩
.
【答案】见解析. 【解析】 【分析】
求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组的解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】
由题意得()sin cos2cos cos2sin cos cos2D ααααααα=+=+，
()cos cos2sin cos2sin cos cos2x D ααααααα=+=+， 22sin cos cos2y D ααα=-=-. 0απ≤≤Q ，022απ∴≤≤.
①当0D ≠时，即当cos20α≠时，即当22
π
α≠且322π
α≠
时，即当4πα≠且34
πα≠时，
11sin cos x y D x D
D y D αα⎧==⎪⎪⎨
⎪==-⎪+⎩
； ②当4πα=
时，方程组为=
=，则该方程组的解为1x y R =⎧⎨∈⎩
；
③当34πα=
时，方程组为2
2
2
2
x x =-⎪
⎪⎨
⎪-=
⎪⎩，该方程组的解为1x y R =-⎧⎨∈⎩
. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
10．已知,,x y z 是关于的方程组0
00ax by cz cx ay bz bx cy az ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
的解.
（1）求证：()111a b
c a b c
a b a b c c a b
c
a
b
c =++； （2）设01,,,z a b c =分别为ABC ∆三边长，试判断ABC ∆的形状，并说明理由；
（3）设,,a b c 为不全相等的实数，试判断"0"a b c ++=是“222
000o x y z ++>”的 条
件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要. 【答案】（1）见解析（2）等边，见解析（3）④，见解析 【解析】 【分析】
（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；
（2）由方程组有非零解得出a b
c c
a b b
c
a
=0，即1
11
a b c a b c =0，将行列式展开化简即可得出a ＝b ＝c ；
（3）利用（1），（2）的结论即可答案． 【详解】
（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，
得：a b c
a b a b c c
a b c a a b c b c a b c a b c ++=++=++（a +b +c ）•1
11
a b c a b c ． （2）∵z 0＝1，∴方程组有非零解，
∴a b
c
c
a b b
c a =0，由（1）可知（a +b +c ）•1
11
a b c a b c =0．
∵a 、b 、c 分别为△ABC 三边长，∴a +b +c ≠0，
∴1
11
a b c
a b c =0，即a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac ＝0，
∴2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣2ac ＝0，即（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣c ）2＝0， ∴a ＝b ＝c ，
∴△ABC 是等边三角形．
（3）若a +b +c ＝0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x 02+y 02+z 02＝0， ∴a +b +c ＝0”不是“x 02+y 02+z 02＞0”的充分条件； 若x 02+y 02+z 02＞0，则方程组有非零解，
∴a b
c c
a b b
c a =（a +b +c ）•1
11
a b c a b c =0． ∴a +b +c ＝0或1
11
a b c
a b c =0．
由（2）可知a +b +c ＝0或a ＝b ＝c ． ∴a +b +c ＝0”不是“x 02+y 02+z 02＞0”的必要条件． 故答案为④． 【点睛】
本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题．
11．已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
.若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和
相应的特征向量.
【答案】特征值12λ=，相应的特征向量21⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；特征值23λ=，相应的特征向量11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由矩阵乘法法则求得矩阵C ，再由特征多项式求得特征值，再得特征向
量． 【详解】
解：设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由AC B =，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 得0164a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩，解得12
14
a b c d =⎧⎪=⎪
⎨=-⎪⎪=⎩，所以1214C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 设()()()21
2
142561
4
f λλλλλλλ--=
=--+=-+-，
令()0f λ=，得12λ=，23λ=，特征向量为x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦u u r ；
当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r .
【点睛】
本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础．
12．已知矩阵2101M ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
（1）求矩阵M 的特征值及特征向量；
（2）若21α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
r
，求3M αv
.
【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r
（2）91⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
【解析】 【分析】
(1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出
方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r
可得333
12M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即
可. 【详解】
（1）矩阵M 的特征多项式为2
1
()0
1
f λλλ--=
-(2)(1)λλ=--，
令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2， 当1λ=，时由二元一次方程0
000x y x y --=⎧⎨
+=⎩
.
得0x y +=，令1x =，则1y =-，
所以特征值1λ=对应的特征向量为111α⎡-⎤
=⎢⎥⎣⎦；
当2λ=时，由二元一次方程00
00x y x y -=⎧⎨
+=⎩
. 得0y =，令1x =，
所以特征值2λ=对应的特征向量为210α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
；
（2）1221ααα⎡⎤==+⎢⎥-⎣⎦u u
r u u r r
Q ，
333
12M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦91⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
.
【点睛】
本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.
13．给定矩阵，
；求A 4B ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意已知矩阵A=
，将其代入公式|λE ﹣A|=0，即可求出特征值λ1，
λ2，然后解方程求出对应特征向量α1，α2，将矩阵B 用征向量α1，α2，表示出来，然后再代入A 4B 进行计算即可．
解：设A 的一个特征值为λ，由题知=0
（λ﹣2）（λ﹣3）=0 λ1=2，λ2=3 当λ1=2时，由=2，得A 的属于特征值2的特征向量α1= 当λ1=3时，由
=3
，得A 的属于特征值3的特征向量α2=
由于B==2+
=2α1+α2
故A 4B=A 4（2α1+α2）=2（24α1）+（34α2）=32α1+81α2 =
+
=
点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力，属于中档题．
14．已知,R a b ∈，矩阵 a b c d A ⎡=⎤
⎢⎥⎣⎦
，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点
()2,1P -在A 对应的变换作用下得到点()1,2P '-，求矩阵A .
【答案】2314A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】
根据矩阵的特征值和特征向量的定义建立等量关系，列方程组求解即可. 【详解】 由题意可知，1155115a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且2112a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以552122a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，解得2
314
a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，
即矩阵2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
此题考查矩阵特征值和特征向量的辨析理解，根据题中所给条件建立等量关系解方程组得解.
15．已知曲线C ：x 2
＋2xy ＋2y 2
＝1，矩阵A ＝1210⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
所对应的变换T 把曲线C 变成曲线
C 1，求曲线C 1的方程． 【答案】x 2＋y 2＝2 【解析】
试题分析：由矩阵变换得相关点坐标关系x ＝y′，y ＝2
x y '-'
，再代入已知曲线C 方程，得
x 2＋y 2＝2．
试题解析：解：设曲线C 上的任意一点P(x ，y)，P 在矩阵A ＝1210⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
对应的变换下得到点
Q(x′，y′)．
则1210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦
'， 即x ＋2y ＝x′，x ＝y′， 所以x ＝y′，y ＝2
x y '-'
．
代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y′2＋2y′2x y '-'＋2(
2
x y '-')2
＝1，即x′2＋y′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2．
考点：矩阵变换，相关点法求轨迹方程
16．已知矩阵14a b ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3.
（1）求a ，b 的值；
（2）求属于2λ的一个特征向量α. 【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u r
. 【解析】 【分析】
（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值； （2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量． 【详解】
（1）令2()()(4)(4)4014
a b
f a b a a b λλλλλλλ--=
=--+=-+++=-， 于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =. （2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
u r
，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
r
， 故2343x y x x y y +=⎧⎨
-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦r ．
【点睛】
本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．
17．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，47B ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，且AX B =. （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -；
（2）求x ，y 的值. 【答案】（1）1
2132A --⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦（2）1
2
x y =⎧⎨=⎩ 【解析】 【分析】
（1）求出二阶矩阵对应的行列式值不为0，进而直接代入公式求得逆矩阵； （2）由AX B =可得1
214327X A B --⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
，计算矩阵的乘法，即可得答案. 【详解】
（1）由2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()det 223110A =⨯-⨯=≠，所以A 可逆，从而1
2132A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （2）由AX B =得到1
21413272X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， ∴12x y =⎧⎨=⎩
.
【点睛】
本题考查公式法求矩的逆矩阵及矩阵的乘法计算，考查运算求解能力，属于基础题.
18．己知矩阵1221M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
. （1）求1M -；
（2）若曲线22
1:1C x y -=在矩阵M 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程.
【答案】（1）1
12332133M -⎡⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
；（2）223y x -= 【解析】 【分析】
（1）根据逆矩阵的求法，求得M 的逆矩阵1M -.（2）设出1C 上任意一点的坐标，设出其在矩阵M 对应的变换作用下得到点的坐标，根据坐标变换列方程，解方程求得两者坐标对应关系式，再代入1C 方程，化简后可求得2C 的方程. 【详解】
解（1）设所求逆矩阵为a b c d ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，则122210212201a b a c b d c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即
21202021
a c
b d a
c b
d +=⎧⎪+=⎪⎨
+=⎪⎪+=⎩，解得13232313a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-
⎩
，所以1
12332133M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. （2）设曲线1C 上任一点坐标为()00,x y ，在矩阵M 对应的变换作用下得到点(),x y ， 则001221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即000022x y x x y y
+=⎧⎨+=⎩， 解得0023
23y x x x y y -⎧=⎪⎪⎨
-⎪=⎪⎩
. 因为220
1x y -=，所以22
22133y x x y --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，整理得22
3y x -=， 所以2C 的方程为22
3y x -=. 【点睛】
本小题主要考查逆矩阵的求法，考查利用矩阵变换求曲线方程，考查运算求解能力，属于中档题.
19．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值
的一个特征向量为
，
属于特征值的一个特征向量为
.求矩阵.
【答案】
【解析】 【分析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】
由特征值、特征向量定义可知，，
即，得
同理可得解得
，
，，
.因此矩阵
【点睛】
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
20．已知数列{}n a 满足条件1(1)(1)(1)n n n a n a +-=+-，且26a = （1）计算134,,a a a ，请猜测数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）请分别构造一个二阶和三阶行列式，使它们的值均为n a ，其中，要求所构造的三阶行列式主对角线下方的元素均为零，并用按某行或者某列展开的方法验证三阶行列式的值为n a
【答案】（1）1341,15,28a a a ===，2
2n a n n =-；证明见解析 （2）
2=1
n n n a n
，
2111
01=0
01
n n n a -，验证见解析 【解析】 【分析】
（1）分别将1,2,3n =代回即可求得134,,a a a ,可猜测2
2n a n n =-,根据数学归纳法证明即
可；
（2）由（1）可构造二阶行列式为
21
n n n
,根据要求可构造三阶行列式为
2111
010
01
n n -,并展开求值进行验证即可 【详解】
（1）当1n =时,()1021a =-,即11a =； 当2n =时,()()323136115a a =-=⨯-=； 当3n =时,()43241a a =-,则428a =；
猜测2
2n a n n =-,
证明：当1,2,3,4n =时,2
2n a n n =-成立； 假设当()5n k k =≥时,2
2k a k k =-成立,
则()()()1111k k k a k a +-=+-,
所以()()()()()2
221112121123121111
k k k a k k k k k k k k k k +++=
--=+-=++=+-+--, 即当1n k =+时,等式也成立,
综上,2
2n a n n =-成立
（2）由（1）,因为2
221n a n n n n n =-=⋅-⋅,
则可构造二阶行列式为
21
n n n
；
因为要求所构造的三阶行列式主对角线下方的元素均为零,可构造三阶行列式为
2111010
01
n n -,检验,()()()2211101211102120
01
n n n n n n n n n a -=-⋅-⋅=-=-=,故该三阶行列式符合题意 【点睛】
本题考查利用数学归纳法证明,考查行列式的应用,考查数列的通项公式,考查数列的项,考查运算能力,考查猜测推理的能力。