山东省威海市乳山市银滩高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考 数学试题

2024—2025学年度第一学期高三9月模块检测
数学试题
一、单选题
1.若集合{}21,S x x m m ==-∈N ，{}31,P x x n n ==-∈N ，{}
61,T x x k k ==-∈N ，则（）
A.S T
⊆ B.P T
= C.S P T
= D.S P T = 2.已知2
sin cos 3A B +=，cos sin 1A B +=，则()sin A B +=（）A.518
-
B.49
C.13
- D.
1
6
3.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a ，()2,B b ，且3
cos 25
α=，则a b -=（
）
A.
12
B.
55
C.
22
D.1
4.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，则“2k =”是“11110k a a a a +=+”成立的（）
A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知等比数列{}n a 满足1524a a a ⋅=，且71
2
a =，则21222log log log n a a a ++⋅⋅⋅+的最大值为（）
A.12
B.13
C.14
D.15
6.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的(]()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有
()()2121
0f x f x x x -<-，且
()20f =，则不等式
()()
02f x f x x
+-<的解集是（
）
A.()(),22,-∞-+∞
B.()()2,02,-+∞
C.()(),20,2-∞-
D.()()
2,00,2- 7.已知函数()()4
4sin
cos 022x x f x ωωω=+>，对任意的实数a ，()f x 在(),3a a +上的值域是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，则整数ω的最小值是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
8.数列{}n a 满足1a ∈Z ，123n n a a n ++=+，且其前n 项和为n S ，若13m S a =，则正整数m =（）
A.99
B.103
C.107
D.198
二、多选题
9.若正实数x ，y 满足21x y +=，则下列说法正确的是（）
A.xy 有最大值为
18
B.
14
x y
+
有最小值为6+C.2
2
4x y +有最小值为12
D.()1x y +有最大值为
12
10.已知函数(
)()f x x ωϕ=
+（其中02ω<≤，22ππϕ-
<<）
，函数()()1
2
g x f x =+的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（
）
A.()f x 的表达式可以写成(
)24f x x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭B.()f x 的图象向右平移
38
π
个单位长度后得到的函数是奇函数C.()()1h x f x =+图象的对称中心为(),182k k ππ⎛⎫
-
+∈ ⎪⎝⎭
Z D.若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则513,24m ππ⎛⎤
∈
⎥⎝
⎦11.已知函数()1f x x =+，设()()1g x f x =，()()()(
)11,n n g x f g x n n *
-=>∈N
.且关于x 的函数
()()2
1
n
i i y x g x n *==+∈∑N 则（
）
A.()n g x x n =+或()1
n g x nx =+B.2
2242n n n y x +⎛⎫
=++ ⎪
⎝
⎭C.当2n ≤时，存在关于x 的函数y 在区间(],1-∞-上的最小值为6，0n =D.当2n >时，存在关于x 的函数y 在区间(],1-∞-上的最小值为6，4n =三、填空题
12.已知函数()221,0
log ,0
x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若()1f a =-，则实数a 的值为______.
13.若函数()ln f x x a =-的四个零点成等差数列，则a =______.
14.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()2
23b a a c =+，则
sin sin C
A
的取值范围为______.四、解答题
15.ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin A B c b c C
--=.（1）求A ；
（2）若BAC ∠的角平分线与BC 交于点D ，2AD =
，AC =，求a c +.16.记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2
A π
=
，2a =.（1）若1
sin sin 2
B C -=
，求b ；（2）若sin sin 2sin B C A +=，求ABC △的面积.
17.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且23a ，27a ，29a ，成等差数列，3a ，6a ，(
)m a m *
∈N 成等
比数列，3621m a a a ++=.（1）求m 的值及{}n a 的通项公式；（2）令35n n b a =+，n *
∈N ，求证：
2221211112
n b b b ++⋅⋅⋅+<.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2235n S n n =+，数列{}n b 是等比数列，公比0q >，16b =，
3324b a =+.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设数列{}n c 满足11c =，11,22,2
k k n k
k n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩，其中k *
∈N .（ⅰ）求数列{}n c 的前2024项和；（ⅱ）求
()22
1
i
i n
i a
c n *
=∈∑N .19.已知函数()()1ln 1f x a x x =--+.（1）求()f x 的单调区间；
（2）若2a =时，证明：当1x >时，()1
e
x f x -<恒成立.
2024—2025学年度第一学期高三9月模块检测
数学参考答案
1—5CAAAD 6—8CBB 9.ABC 10.BD
11.ABD
12.
12.13.
ln 3
2
.14.317757,44⎛++
⎝
⎭.一.单选题
1.【详解】因为()(){}
61231321,T x x k k k k ==-=⋅-=⋅-∈N ，所以T S ⊆，T P ⊆且S P T = .故选：C.2.【详解】因为2
sin cos 3
A B +=，cos sin 1A B +=，所以()2
4sin cos 9
A B +=
，()2
cos sin 1A B +=，即22
4sin 2sin cos cos 9A A B B ++=，
22cos 2cos sin sin 1A A B B ++=，
两式相加可得()4
22sin cos sin cos 19
A B B A ++=+，所以()5
sin 18
A B +=-
.故选：A 3.【详解】 角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a ，()2,B b ，且3cos 2
5α=
，23cos 22cos 15αα∴=-=，解得2
4cos 5α=，cos α∴=sin α∴=，|sin |1
tan 21|cos |2
b a a b ααα-∴=
=-==-.故选：A.4.【详解】设等差数列的公式为()0d d ≠，当2k =时，则111210a a a a +=+，故充分性满足；
当11110k a a a a +=+时，即()11111110210a a a a d a d +=++=+，
()()()101111928k a a a k d
⎡⎤+=+-++=++⎣⎦即()1121028a d a k d +=++，且0d ≠，则810k +=，即2k =，故必要性满足；
所以“2k =”是“11110k a a a a +=+”成立的充分必要条件.故选：A
5.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由1524a a a ⋅=，得41114a a q a q ⋅=，即314a q =，又6
711
2
a a q ==
，得3
18q =
，得12
q =，所以134
32a q ==，
所以1
1
6113222n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪
⎝⎭
.
易知当15n ≤≤时，1n a >，当6n =时，1n a =，当7n ≥时，01n a <<.令123n n T a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则125667,T T T T T T <<⋅⋅⋅<=>>⋅⋅⋅，故()5
4
3
2
15
6512345max 222222n T T T a a a a a ===⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=，
从而()()15
212222122123452log log log log log log 215n n a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅⋅==.
故选：D.
6.【详解】不妨设120x x <≤，210Qx x ->，()()210f x f x ∴-<，即()()12f x f x >，
()f x ∴在(],0-∞上单调递减()f x 是定义在R 上的偶函数()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，
当0x >时，
()()
()()()()0022f x f x f x f x f x f x
+-<⇒+-<⇒<，
解得02x <<当0x <时，()()
()()()()0022f x f x f x f x f x f x
+-<⇒+->⇒>-，
解得2
x <-则该不等式的解集为：()(),20,2-∞- 故选：C
7.【详解】由題意可得
()2
22222131sin cos 2sin cos 1sin cos 22222244x x x x f x x x ωωωωωω⎛⎫=+-=-=+ ⎪⎝⎭
则()f x 的最小正周期22T ππωω==，因为对任意的实数a ，()f x 在(),3a a +上的值域是1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，所以3T πω=<，解得3
π
ω>，因为N ω∈，所以整数ω的最小值是2.故选：B
8.【详解】由123n n a a n ++=+得()()1111n n a n a n +-+-=---，
{}1n a n ∴--为等比数列，()()1
1112n n a n a -∴--=--，
()
()1
1121n n a a n -∴=--++，()()1
1121m m a a m -=--++，
()()()131231213112241236102
S a a a a a a a ∴=+++⋅⋅⋅++=+⨯++⋅⋅⋅++⨯=+①m 为奇数时，1121102a m a -++=+，103m =；②m 为偶数时，()1121102a m a --++=+，1299m a =+，
1a Z ∈ ，1299m a =+只能为奇数，m ∴为偶数时，无解，
综上所述，103m =.故选：B .
9.【详解】对于A ：因为21x y +=≥，则18xy ≤，当且仅当2x y =，即14x =，1
2
y =时取等号，故A 正确，
对于B ，
()421428666x y x y x y x y x y y x +++=+=++≥=+8x y
y x =，即
21
2
x -=
，2y =B 正确，
对于C ：因为22x y +≤
，则22
142x y +≥，当且仅当2x y =，即14x =，12
y =时取等号，故C 正确，
对于D ：因为()()()2
21111
1212222x y x y x y ⎡⎤+++=⨯+≤⨯=⎢⎥⎣⎦，
当且仅当21x y =+，即1
2
x =，0y =时取等号，这与x ，y 均为正实数矛盾，故D 错误，故选：ABC 。

10.【详解】对A ，由图分析可知：()11
022
f +
=-得()01f =-；38
f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
由()01f =-，得1ϕ=-，即2
sin 2
ϕ=-，又22ππϕ-
<<，所以4
πϕ=-，
又338
84f ππωπ⎛⎫⎛⎫=-=
⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭，。