§7.52020线性变换的对角化
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k1λmξ1 + k2λmξ2 + " + km−1λmξm−1 + kmλmξm = 0 （7.5.3）
把（7.5.2）减去（7.5.3）得：
k1(λ1 − λm )ξ1 + k2 (λ2 − λm )ξ2 + " + km−1(λm−1 − λm )ξm−1 = 0 由假设知，ξ1,ξ2 ,",ξm−1 线性无关，故得
⎞ ⎟ ⎟
=
⎛ ⎜ ⎜
0 0
⎞ ⎟ ⎟
,
⎝⎜ −3 −6 −3⎠⎟ ⎝⎜ x3 ⎠⎟ ⎝⎜ 0⎠⎟
其基础解系为
⎛1⎞
η3
=
⎜ ⎜
−2
⎟ ⎟
⎜⎝ 3 ⎟⎠
⎛ −2 1 1 ⎞
⎛2 0 0 ⎞
故A可对角化，令
T
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 0
0 1
−2 3
⎟ ⎟⎟⎠
,
则
T ′AT
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2 0
0 −4
⎟ ⎟⎟⎠
ki (λi − λm ) = 0, i = 1, 2,", m − 1 。 又由于 λi ≠ λm , i = 1, 2,", m − 1, 故得 ki = 0, i = 1, 2,", m − 1 代入（7.5.1）得 kmξm = 0, 又 ξm ≠ 0, 故 km = 0 。
因此 ξ1,ξ2 ,",ξm 线性无关。
结论（1） 若 dimV = t1 + t2 + " + ts , 则 σ 可对角化； （2）若 t1 + t2 +" + ts < dimV , 则 σ 不可对角化。
因为 若 t1 + t2 + " + ts = n, 则取每个 Vλi , i = 1,", s 的
基，它们合起来： α11,",α1t1 ,",αs1,",αsts 就是V的一个基。 σ 在此基下的矩阵为对角矩阵；
−1 0 λ
得
λ1 = λ2 = 1, λ3 = −1
⎛1⎞ ⎛0⎞
把
λ
= 1 代入得方程组⎩⎧⎨−xx11−+xx33==00 ,
其基础解系 η1
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
,η2
⎜⎝ 1⎟⎠
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 0
⎟ ⎟⎟⎠
把 λ = −1
代入得方程组
⎧− ⎪ ⎨
x1 − x3 −2x2 =
= 0
0
,
⎪⎩− x1 − x3 = 0
λn
⎟ ⎠
把T按列分块写成 T = (T1,T2 ,",Tn ), 则
⎛ ⎜
λ1
A(T1,T2 ,",Tn
)
=
(T1,T2 ,",Tn
)
⎜ ⎜
λ2
%
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎝
λn
⎟ ⎠
于是得 ATi = λiTi , i = 1, 2,", n, 即 λi 是A的特征值。而矩阵T
的第i列就是A的属于特征根 λi 的一个特征向量，于是，数域F
因此得
ks1αs1 + " + k α sts sts = 0
又 αs1,",αsts 线性无关，故 ks1 = " = ksts = 0, 因此当 k = s 时，
α11,",α1t1 ,",αs1,",αsts 线性无关，故结论成立。
第七章 线性变换
在定理7.5.3的条件上，令 ti = dimVλi , i = 1, 2,", s 则有
。
第七章 线性变换
的线性无关的特
第七章 线性变换
定理7.5.3 设V是n维线性空间，如果 λ1, λ2 ,", λs 是 L(V )
中线性变换 σ 的全部不同特征值，而 αi1,αi2 ,",αiti 是属于特
征值 λi 的线性无关的特征向量，i = 1, 2,", s, 则向量组 α11 ,",α1t1 ,",αs1 ,",αsts 线性无关。
求可逆矩阵T，使 T −1 AT 为对角形。
λ − 3 −2 1 令
解： λ E − A = 2 λ + 2 −2 = (λ − 2)2(λ + 4) = 0,
−3 −6 λ + 1
得
λ1 = λ2 = 2，λ3 = −4
⎛ −1
把
λ
= 2代入得方程组
⎜ ⎜
2
−2 4
1 −2
⎞ ⎟ ⎟
⎛ ⎜ ⎜
x1 x2
当线性变换 σ 有n个不同特征根时，σ 可对角化的问题
已得到完满解决。但在线性变换没有n个不同特征根的情况， 要判别这个线性变换能不能对角化，这个问题如何解决呢？
第七章 线性变换
二、特征子空间与矩阵的对角化
定义2 设 σ ∈ L(V ), λ ∈ F 是 σ 的一个特征值，则集合
Vλ = {ξ ξ ∈V , λ ∈ F , σ (ξ ) = λξ } 称为 σ 的属于特征值 λ 的特征子空间。
§7.5 线性变换的对角化
§7.5 线性变换的对角化
一、线性变换可对角化 的条件 二、特征子空间与矩阵的对角化 三、矩阵对角化的方法
第七章 线性变换
究竟哪一些线性变换的矩阵在一个适当的基下可以是对角
矩阵，或者说，n阶矩阵在什么时候可以与一个对角矩阵相似， 本节就来讨论这个问题。
一、线性变换可对角化的条件
矩阵第A七在章F线n 中性变有换n个线性无关的特征向量。
属于不同特征值的特征向量之间是线性相关还是线性无关？ 定理7.5.2 属于不同特征值的特征向量必线性无关的。
证明：（对特征值的个数用归纳法证明）。
当 m = 1, 即特征值只有一个，由于特征向量不为零，而
单个非零特征向量必线性无关，所以结论成立。
因为，Vλ 非空，它包含了属于 λ 的全部特征向量和零向 量。 ∀α , β ∈Vλ , ∀k, l ∈ F , 有
σ (kα + lβ ) = kσ (α ) + lσ (β ) = kλα + lλβ = λ(kα + lβ )
故
kα + lβ ∈Vλ
Vλ 是V的子空间，其维数等于属于 λ
征向量的个数。
第七章 线性变换
⎛3 0 0 ⎞
例7.5.1
判断C上的矩阵
A
=
⎜ ⎜
0
2
−5
⎟ ⎟
能否对角化。
⎝⎜ 0 1 −2⎠⎟
解：A的特征多项式是
λ−3 0 0 f (λ ) = λ E − A = 0 λ − 2 5 = (λ − 3)(λ 2 + 1)
0 −1 λ + 2
由于 f (λ ) 在C上没有重根，故 σ 可以对角化。
定义1 设 σ 是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，如
果存在V的一个基，使在这个基下的矩阵是对角形矩阵，则称线
性变换可对角化。 本定义用矩阵语言可叙述为：
定义 1′ 设A是数域F上的一个n阶矩阵，如果A与F上的对角
矩阵相似，即存在可逆阵T，使 T −1 AT 为对角阵，则称A在F上
可对角化。
不是任一个矩阵都可以对角化，例如
证明：（1）当 k = 1时，α11,",α1t1 是属于特征值 λ1 的线性
无关的特征向量，结论显然成立。
假设当 k = s − 1 时，结论成立。即分别属于特征值 λ1,", λs−1 线性无关的特征向量 α11 ,",α1t1 ;";α(s−1)1 ,",α(s−1)ts−1 也线性无关。
则当 k = s 时，αk1,",αktk 是属于特征值 λk 的线性无关的特
现假设属于 m − 1 个不同特征值的特征向量 ξ1,ξ2 ,",ξm−1 线性无关。下面证明属于 m 个不同特征值 λ1,", λm−1, λm 的 特征向量 ξ1,ξ2 ,",ξm 也线性无关。假设有关系式：
k1ξ1 + k2ξ2 + " + ξ km−1 m−1 + kmξm = 0
（7.5.1）
使得
⎛ ⎜
λ1
σ
(α1 ,α 2
,",αn
)
=
(α1
,α2
,",αn
)
⎜ ⎜
λ2
%
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎝
λn
⎟ ⎠
则 σαi = λiαi , 即 αi 是 σ 属于 λi 的特征向量，i = 1, 2,", n
定理7.5.1用矩阵语言可以叙述为：
定理7.5. 1′ 数域F上一个n阶矩阵A可以对角化的充要条件是
第七章 线性变换
上n阶矩阵对角化的方法如下： 1、求出矩阵A的全部特征根；
2、如果A的特征根全在F内，则对每一特征值 λ 求出齐次 线性方程组 (λ E − A)Χ = 0 的一个基础解系；
3、如果对于每一特征值 λ 来说，相应齐次线性方程组的基 础解系所含解向量的个数等于λ 的重数，则A可对角化；
4、以这些解向量为列作成一个n阶矩阵T，则 T −1 AT 就是 对角形矩阵且对角线上元素就是相应的特征根。
第七章 线性变换
⎛0 0 1⎞
例7.5.2
R上矩阵
A=
⎜ ⎜
0
1
0 ⎟⎟
能否对角化？若能对角化，
⎜⎝ 1 0 0⎟⎠
求出可逆方阵T，使 T −1 AT 为对角形。
λ 0 −1
解： λ E − A = 0 λ − 1 0 = (λ − 1)2(λ + 1)
若 t1 +" + ts < n, σ 没有n个线性无关的特征向量，由定 理7.5.1知，σ 不能对角化。
第七章 线性变换
三、矩阵对角化的方法
若矩阵A可以对角化，则存在可逆矩阵T，使
⎛ ⎜
λ1
T −1 AT
=
⎜ ⎜
λ2
%
⎞
⎟
⎟ ⎟
,
⎛ ⎜
λ1
或
AT
=
⎜ ⎜
λ2
%
⎞ ⎟ ⎟⎟ T
⎜ ⎝
λn
⎟ ⎠
⎜ ⎝
⎛1
⎜ ⎝
0
第七章 线性变换
1⎞ 1⎟⎠
就不能对角化。
若σ 可对角化，则对角矩阵中对角线上的元素应是
σ 的特征根。请看以下定理
定理7.5.1 设 σ 是F上n维向量空间V的一个线性变换，则
σ 可对角化的充要条件是：σ 是有n个线性无关的特征向量。
证明：充分性显然。
必要性。设 σ 可对角化，则存在V的一个基 α1,α2 ,",αn ,
征向量，k = 1, 2,", s 。
设有 k11α11 + " + k α 1t1 1t1 + " + ks1αs1 + α "ksts sts = 0 （7.5.4） 两边同时施行线性变换 σ 得
第七章 线性变换
k11λ1α11 + " + k1t1 λ1α1t + " + ks1λsαs1 + "ksts λsαsts = 0 （7.5.5）
由归纳假设知 α11 ,",α1t1 ,",α(s−1)1 ,",α(s−1)ts−1 线性无关，
故 kij (λi − λs ) = 0, i = 1, 2,", s − 1, j = 1, 2,", ti
由于 λi ≠ λs , i = 1, 2,", s − 1, 于是
kij = 0, i = 1, 2,", s − 1, j = 1, 2,", ti
⎞ ⎟ ⎟
=
⎛ ⎜ ⎜
0 0
⎞ ⎟ ⎟
,
第七章 线性变换
⎜⎝ −3 −6 3 ⎟⎠ ⎜⎝ x3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0⎟⎠
⎛ −2⎞
⎛1⎞
其基础解系为
η1
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,
η2
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
。
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1⎟⎠
⎛ −7
把λ
= −4
代入得方程组
⎜ ⎜
2
−2 −2
1 −2
⎞ ⎟ ⎟
⎛ ⎜ ⎜
x1 x2
⎛1⎞
其基础解系 η3
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
⎜⎝ −1⎟⎠
第七章 线性变换
⎛1 0 1 ⎞
⎛1
⎞
故A可对角化。令
T
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 1
1 0
0 −1
⎟ ⎟⎟⎠
,
则
T −1 AT
=
⎜ ⎜
⎜⎝
1
⎟ −1⎟⎟⎠
。
⎛ 3 2 −1⎞
例7.5.3 设
A
=
⎜ ⎜
−2
−2
2
⎟ ⎟
,
A能否对角化？若能对角化，
⎜⎝ 3 6 −1⎟⎠
对（7.5.1）式两边同时施行变换 σ 得
k1σξ1 + k2σξ2 + " + km−1σξm−1 + kmσξm = 0
第七章 线性变换
于是得： k1λ1ξ1 + k2λ2ξ2 + " + λ ξ km−1 m−1 m−1 + kmλmξm = 0 （7.5.2） 用 λm 乘（7.5.1）式两边得：
把（7.5.4）式两边同乘以 λs 得： k11λsα11 + " + k1t1 λsα1t + " + ks1λsαs1 + "ksts λsαsts = 0 （7.5.6）
（7.5.5）-（7.5.6）得
k11(λ1 − λs )α11 + " + k1t1 (λ1 − λs )α1t1 + " +k(s−1)1(λs−1 − λs )α(s−1)1 λ + "k ( (s−1)ts−1 s−1 λ α − )s (s−1)ts−1 = 0
把（7.5.2）减去（7.5.3）得：
k1(λ1 − λm )ξ1 + k2 (λ2 − λm )ξ2 + " + km−1(λm−1 − λm )ξm−1 = 0 由假设知，ξ1,ξ2 ,",ξm−1 线性无关，故得
⎞ ⎟ ⎟
=
⎛ ⎜ ⎜
0 0
⎞ ⎟ ⎟
,
⎝⎜ −3 −6 −3⎠⎟ ⎝⎜ x3 ⎠⎟ ⎝⎜ 0⎠⎟
其基础解系为
⎛1⎞
η3
=
⎜ ⎜
−2
⎟ ⎟
⎜⎝ 3 ⎟⎠
⎛ −2 1 1 ⎞
⎛2 0 0 ⎞
故A可对角化，令
T
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 0
0 1
−2 3
⎟ ⎟⎟⎠
,
则
T ′AT
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2 0
0 −4
⎟ ⎟⎟⎠
ki (λi − λm ) = 0, i = 1, 2,", m − 1 。 又由于 λi ≠ λm , i = 1, 2,", m − 1, 故得 ki = 0, i = 1, 2,", m − 1 代入（7.5.1）得 kmξm = 0, 又 ξm ≠ 0, 故 km = 0 。
因此 ξ1,ξ2 ,",ξm 线性无关。
结论（1） 若 dimV = t1 + t2 + " + ts , 则 σ 可对角化； （2）若 t1 + t2 +" + ts < dimV , 则 σ 不可对角化。
因为 若 t1 + t2 + " + ts = n, 则取每个 Vλi , i = 1,", s 的
基，它们合起来： α11,",α1t1 ,",αs1,",αsts 就是V的一个基。 σ 在此基下的矩阵为对角矩阵；
−1 0 λ
得
λ1 = λ2 = 1, λ3 = −1
⎛1⎞ ⎛0⎞
把
λ
= 1 代入得方程组⎩⎧⎨−xx11−+xx33==00 ,
其基础解系 η1
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
,η2
⎜⎝ 1⎟⎠
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 0
⎟ ⎟⎟⎠
把 λ = −1
代入得方程组
⎧− ⎪ ⎨
x1 − x3 −2x2 =
= 0
0
,
⎪⎩− x1 − x3 = 0
λn
⎟ ⎠
把T按列分块写成 T = (T1,T2 ,",Tn ), 则
⎛ ⎜
λ1
A(T1,T2 ,",Tn
)
=
(T1,T2 ,",Tn
)
⎜ ⎜
λ2
%
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎝
λn
⎟ ⎠
于是得 ATi = λiTi , i = 1, 2,", n, 即 λi 是A的特征值。而矩阵T
的第i列就是A的属于特征根 λi 的一个特征向量，于是，数域F
因此得
ks1αs1 + " + k α sts sts = 0
又 αs1,",αsts 线性无关，故 ks1 = " = ksts = 0, 因此当 k = s 时，
α11,",α1t1 ,",αs1,",αsts 线性无关，故结论成立。
第七章 线性变换
在定理7.5.3的条件上，令 ti = dimVλi , i = 1, 2,", s 则有
。
第七章 线性变换
的线性无关的特
第七章 线性变换
定理7.5.3 设V是n维线性空间，如果 λ1, λ2 ,", λs 是 L(V )
中线性变换 σ 的全部不同特征值，而 αi1,αi2 ,",αiti 是属于特
征值 λi 的线性无关的特征向量，i = 1, 2,", s, 则向量组 α11 ,",α1t1 ,",αs1 ,",αsts 线性无关。
求可逆矩阵T，使 T −1 AT 为对角形。
λ − 3 −2 1 令
解： λ E − A = 2 λ + 2 −2 = (λ − 2)2(λ + 4) = 0,
−3 −6 λ + 1
得
λ1 = λ2 = 2，λ3 = −4
⎛ −1
把
λ
= 2代入得方程组
⎜ ⎜
2
−2 4
1 −2
⎞ ⎟ ⎟
⎛ ⎜ ⎜
x1 x2
当线性变换 σ 有n个不同特征根时，σ 可对角化的问题
已得到完满解决。但在线性变换没有n个不同特征根的情况， 要判别这个线性变换能不能对角化，这个问题如何解决呢？
第七章 线性变换
二、特征子空间与矩阵的对角化
定义2 设 σ ∈ L(V ), λ ∈ F 是 σ 的一个特征值，则集合
Vλ = {ξ ξ ∈V , λ ∈ F , σ (ξ ) = λξ } 称为 σ 的属于特征值 λ 的特征子空间。
§7.5 线性变换的对角化
§7.5 线性变换的对角化
一、线性变换可对角化 的条件 二、特征子空间与矩阵的对角化 三、矩阵对角化的方法
第七章 线性变换
究竟哪一些线性变换的矩阵在一个适当的基下可以是对角
矩阵，或者说，n阶矩阵在什么时候可以与一个对角矩阵相似， 本节就来讨论这个问题。
一、线性变换可对角化的条件
矩阵第A七在章F线n 中性变有换n个线性无关的特征向量。
属于不同特征值的特征向量之间是线性相关还是线性无关？ 定理7.5.2 属于不同特征值的特征向量必线性无关的。
证明：（对特征值的个数用归纳法证明）。
当 m = 1, 即特征值只有一个，由于特征向量不为零，而
单个非零特征向量必线性无关，所以结论成立。
因为，Vλ 非空，它包含了属于 λ 的全部特征向量和零向 量。 ∀α , β ∈Vλ , ∀k, l ∈ F , 有
σ (kα + lβ ) = kσ (α ) + lσ (β ) = kλα + lλβ = λ(kα + lβ )
故
kα + lβ ∈Vλ
Vλ 是V的子空间，其维数等于属于 λ
征向量的个数。
第七章 线性变换
⎛3 0 0 ⎞
例7.5.1
判断C上的矩阵
A
=
⎜ ⎜
0
2
−5
⎟ ⎟
能否对角化。
⎝⎜ 0 1 −2⎠⎟
解：A的特征多项式是
λ−3 0 0 f (λ ) = λ E − A = 0 λ − 2 5 = (λ − 3)(λ 2 + 1)
0 −1 λ + 2
由于 f (λ ) 在C上没有重根，故 σ 可以对角化。
定义1 设 σ 是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，如
果存在V的一个基，使在这个基下的矩阵是对角形矩阵，则称线
性变换可对角化。 本定义用矩阵语言可叙述为：
定义 1′ 设A是数域F上的一个n阶矩阵，如果A与F上的对角
矩阵相似，即存在可逆阵T，使 T −1 AT 为对角阵，则称A在F上
可对角化。
不是任一个矩阵都可以对角化，例如
证明：（1）当 k = 1时，α11,",α1t1 是属于特征值 λ1 的线性
无关的特征向量，结论显然成立。
假设当 k = s − 1 时，结论成立。即分别属于特征值 λ1,", λs−1 线性无关的特征向量 α11 ,",α1t1 ;";α(s−1)1 ,",α(s−1)ts−1 也线性无关。
则当 k = s 时，αk1,",αktk 是属于特征值 λk 的线性无关的特
现假设属于 m − 1 个不同特征值的特征向量 ξ1,ξ2 ,",ξm−1 线性无关。下面证明属于 m 个不同特征值 λ1,", λm−1, λm 的 特征向量 ξ1,ξ2 ,",ξm 也线性无关。假设有关系式：
k1ξ1 + k2ξ2 + " + ξ km−1 m−1 + kmξm = 0
（7.5.1）
使得
⎛ ⎜
λ1
σ
(α1 ,α 2
,",αn
)
=
(α1
,α2
,",αn
)
⎜ ⎜
λ2
%
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎝
λn
⎟ ⎠
则 σαi = λiαi , 即 αi 是 σ 属于 λi 的特征向量，i = 1, 2,", n
定理7.5.1用矩阵语言可以叙述为：
定理7.5. 1′ 数域F上一个n阶矩阵A可以对角化的充要条件是
第七章 线性变换
上n阶矩阵对角化的方法如下： 1、求出矩阵A的全部特征根；
2、如果A的特征根全在F内，则对每一特征值 λ 求出齐次 线性方程组 (λ E − A)Χ = 0 的一个基础解系；
3、如果对于每一特征值 λ 来说，相应齐次线性方程组的基 础解系所含解向量的个数等于λ 的重数，则A可对角化；
4、以这些解向量为列作成一个n阶矩阵T，则 T −1 AT 就是 对角形矩阵且对角线上元素就是相应的特征根。
第七章 线性变换
⎛0 0 1⎞
例7.5.2
R上矩阵
A=
⎜ ⎜
0
1
0 ⎟⎟
能否对角化？若能对角化，
⎜⎝ 1 0 0⎟⎠
求出可逆方阵T，使 T −1 AT 为对角形。
λ 0 −1
解： λ E − A = 0 λ − 1 0 = (λ − 1)2(λ + 1)
若 t1 +" + ts < n, σ 没有n个线性无关的特征向量，由定 理7.5.1知，σ 不能对角化。
第七章 线性变换
三、矩阵对角化的方法
若矩阵A可以对角化，则存在可逆矩阵T，使
⎛ ⎜
λ1
T −1 AT
=
⎜ ⎜
λ2
%
⎞
⎟
⎟ ⎟
,
⎛ ⎜
λ1
或
AT
=
⎜ ⎜
λ2
%
⎞ ⎟ ⎟⎟ T
⎜ ⎝
λn
⎟ ⎠
⎜ ⎝
⎛1
⎜ ⎝
0
第七章 线性变换
1⎞ 1⎟⎠
就不能对角化。
若σ 可对角化，则对角矩阵中对角线上的元素应是
σ 的特征根。请看以下定理
定理7.5.1 设 σ 是F上n维向量空间V的一个线性变换，则
σ 可对角化的充要条件是：σ 是有n个线性无关的特征向量。
证明：充分性显然。
必要性。设 σ 可对角化，则存在V的一个基 α1,α2 ,",αn ,
征向量，k = 1, 2,", s 。
设有 k11α11 + " + k α 1t1 1t1 + " + ks1αs1 + α "ksts sts = 0 （7.5.4） 两边同时施行线性变换 σ 得
第七章 线性变换
k11λ1α11 + " + k1t1 λ1α1t + " + ks1λsαs1 + "ksts λsαsts = 0 （7.5.5）
由归纳假设知 α11 ,",α1t1 ,",α(s−1)1 ,",α(s−1)ts−1 线性无关，
故 kij (λi − λs ) = 0, i = 1, 2,", s − 1, j = 1, 2,", ti
由于 λi ≠ λs , i = 1, 2,", s − 1, 于是
kij = 0, i = 1, 2,", s − 1, j = 1, 2,", ti
⎞ ⎟ ⎟
=
⎛ ⎜ ⎜
0 0
⎞ ⎟ ⎟
,
第七章 线性变换
⎜⎝ −3 −6 3 ⎟⎠ ⎜⎝ x3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0⎟⎠
⎛ −2⎞
⎛1⎞
其基础解系为
η1
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,
η2
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
。
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1⎟⎠
⎛ −7
把λ
= −4
代入得方程组
⎜ ⎜
2
−2 −2
1 −2
⎞ ⎟ ⎟
⎛ ⎜ ⎜
x1 x2
⎛1⎞
其基础解系 η3
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
⎜⎝ −1⎟⎠
第七章 线性变换
⎛1 0 1 ⎞
⎛1
⎞
故A可对角化。令
T
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 1
1 0
0 −1
⎟ ⎟⎟⎠
,
则
T −1 AT
=
⎜ ⎜
⎜⎝
1
⎟ −1⎟⎟⎠
。
⎛ 3 2 −1⎞
例7.5.3 设
A
=
⎜ ⎜
−2
−2
2
⎟ ⎟
,
A能否对角化？若能对角化，
⎜⎝ 3 6 −1⎟⎠
对（7.5.1）式两边同时施行变换 σ 得
k1σξ1 + k2σξ2 + " + km−1σξm−1 + kmσξm = 0
第七章 线性变换
于是得： k1λ1ξ1 + k2λ2ξ2 + " + λ ξ km−1 m−1 m−1 + kmλmξm = 0 （7.5.2） 用 λm 乘（7.5.1）式两边得：
把（7.5.4）式两边同乘以 λs 得： k11λsα11 + " + k1t1 λsα1t + " + ks1λsαs1 + "ksts λsαsts = 0 （7.5.6）
（7.5.5）-（7.5.6）得
k11(λ1 − λs )α11 + " + k1t1 (λ1 − λs )α1t1 + " +k(s−1)1(λs−1 − λs )α(s−1)1 λ + "k ( (s−1)ts−1 s−1 λ α − )s (s−1)ts−1 = 0