高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.1 曲边梯形的面积

第一章
导数及其应用
1．5 定积分的概念
课时1 曲边梯形的面积、汽车行驶的路程
①了解求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程的方 作业
法．②了解“以直代曲”“以不变代变”的思想 目标
方法．
作业 设计
限时：40分钟 满分：90分
一、选择题：每小题5分，共30分． 1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值 () A．只能是左端点的函数值f(xi) B．只能是右端点的函数值f(xi＋1) C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1]) D．以上答案均正确
n
D.lim n→∞i＝1
1＋1ni 2·n
解析：将区间n等分后，每个小区间的长度为Δx＝
2 n
，第i个
小区间为2i－n 1，2ni(i＝1,2,3，…，n)，则由求曲边梯形的面积
的步骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为
n
lim
n→∞i＝1
1＋12ni2·2n.
答案：55
9．物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单 位：h，v的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路 程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右 端点)为________ km.
解析：以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度， 可得过剩近似值为
s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．
答案：66
三、解答题：每小题15分，共45分． 10．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路 程为9，求a的值．
解：将区间[0，a]n等分，记第i个区间为 ai－n 1，ani (i＝
(2)近似代替
在区间i－n 1，ni (i＝1,2，…，n)上，以i－n 1的函数值12i－n 12
作为高，小区间的长度Δx＝
1 n
作为底边的小矩形的面积作为第i
个小曲边梯形的面积，即
ΔSi≈12i－n 12·1n.
(3)求和 曲边梯形的面积近似值为
n
n
Sn＝ Δ Si≈
i＝1
5
解析： (yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5
i＝1
＋1)＝y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5.
答案：C
3．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间，每个小区间的长度
为( )
1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
1
A.n
B.n
C.n
D.2n
解析：区间长度为2，n等分后每个小区间的长度都是2n. 答案：B
1 1＋x2
(x∈[0,2])及x轴所围成
的曲边梯形的面积和式的极限形式正确的是( )
n
A.lim n→∞i＝1
1＋1ni 2·2n
n
B.lim n→∞i＝1
1＋12ni2·2n
n
C.lim n→∞i＝1
1＋1 i2·1n
依题意得lim n→∞
a331＋1n1＋21n＝9，
∴a33＝9，解得a＝3.
11．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝
1 2
x2所围成的图形
的面积．
解：(1)分割 将区间[0,1]等分为n个小区间： 0，1n，1n，2n，2n，3n，…，i－n 1，ni ，…，n－n 1，1，每 个小区间的长度为Δx＝ni －i－n 1＝1n. 过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形， 它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
答案：0.33
8．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10 等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则 物体运动的路程近似值为________．
解析：∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函 数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值S＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
解析：作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误差可忽略，所 以f(x)可以是[xi，xi＋1]上任一值f(ξi)．
答案：C
5
2．和式 (yi＋1)可表示为( )
i＝1
A．(y1＋1)＋(y5＋1) B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1 C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5 D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)
4．在求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边三
角形的面积时，把区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个小区间是
()
A.i－n 1，ni
B.ni ，i＋n 1
C.2i－n 1，2ni D.2ni，2i＋n 1
解析：将区间[0,2]等分为n个小区间后，每个小区间的长度 为2n，第i个小区间为2i－n 1，2ni.
答案：C
5．对于由函数y＝x3和直线x＝1，y＝0围成的曲边梯形，把
区间[0,1]三等分，则曲边梯形面积的近似值(每个ξi取值均为小 区间的左端点)是( )
1
1
A.9
B.25
1
1
C.27
D.30
解析：S＝0×13＋133×13＋233×13＝19. 答案：A
6．在等分区间的情况下，f(x)＝
答案：B
二、填空题：每小题5分，共15分． 7．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图 形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的 纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为________．
解析：由题意得 S＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33.
1,2，…，n)，此区间长为an，
用小矩形面积
ai

n

2·an
近似代替相应的小曲边梯形的面积，则
n

i＝1
ani2·an＝an33·(12＋22＋…＋n2)＝a331＋1n1＋21n近似地等于速度
曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．