2019届高三数学备考冲刺140分问题39二项式定理与其他知识的交汇问题含解析20190426248

问题39 二项式定理与其他知识的交汇问题
一、考情分析
二项式定理是高考高频考点,基本上每年必考,难度中等或中等以下,二项式定理作为一个工具,也常与其他知识交汇命题,如与数列交汇、与不等式交汇、与定积分交汇等．因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理,还要考查其他知识,其解题的关键点是它们的交汇点,注意它们的联系． 二、经验分享
1.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .
(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .
(4)二项式的系数从C 0
n ，C 1
n ，一直到C n －1n ，C n
n .
2.求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．
3.整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．
4.二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式． 三、知识拓展
1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．
2.若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝
()()112f f +-，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝()()
112
f f --.
四、题型分析
(一) 二项式定理与函数的交汇
【例1】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1x ）6，x <0，
－x ，x ≥0，
则当x >0时,f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )
A ．－20
B ．20
C ．－15
D ．15 【答案】A
【解析】x ＞0时,f (x )＝－x ＜0,故f [f (x )]＝f (－x )＝(－x ＋1
x )6,其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r
6·(－x )
6－r
·(1
x )r ＝(－1)
6－r
·C r 6·(x )
6－2r
,由6－2r ＝0,得r ＝3,故常数项为(－1)3·C 3
6＝－20.
【点评】解决本题的关键是当x >0时,将f [f (x )]表达式转化为二项式．
【小试牛刀】设()f x 是2
6
1()2x x +
展开式的中间项,若()f x mx
≤
在区间2⎣上恒成立,则实数m 的取值范围是（ ）
A ．（－∞,5）
B ．（－∞,5] C．（5,＋∞） D ．[5,＋∞） 【答案】D
【解析】由题意可知()
36
363
1
5()22f x C x x x =⋅
=
,由35()2f x x mx =≤得252m x
≥
在区间2⎣上恒成立,所以5m ≥,故选D ． (二) 二项式定理与数列的交汇
【例2】将211n
x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
（n +∈N ）的展开式中4x -的系数记为n a ,则232015111a a a ++⋅⋅⋅+= ． 【答案】
4028
2015
【解析】211n
x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
（n +∈N ）的展开式的通项为()21211r
r r r r
r n n T C C x x -+⎛⎫=-=- ⎪
⎝⎭ ,由题意可知2r =,此时,2
(1)2
n n n n a C -==
,所以
12112()(1)1n a n n n n ==---,所以 232015111111
1114028
2[(1)()(
)]2(1)223
2014201520152015
a a a ++⋅⋅⋅+=-+-+-=-=． 【小试牛刀】设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n n (∈N *)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n 、
b n ,则a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n ＝
( ) A ．2n －1＋3 B ．2(2n －1＋1) C ．2n ＋1
D ．1
【答案】C
【解析】由题意知a n ＝2n
成等比数列,令x ＝1则b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
也成等比数列,所以a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋1,故选C.
(三) 二项式定理与不等式的交汇
【例3】若变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+0
20202x y x y x ,22-+=y x n ,则n 取最大值时,n
x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12二项展开式
中的常数项为 . 【答案】240
【解析】画出不等式组表示平面区域如图,由图象可知当动直线22++-=n x y 经过点)4,2(A 时,
22-+=y x n 取最大值6.当6=n 时,故由二项式展开式的通项公式
r r
r r r r
r r x C x
x C T ----+==2
66666
12)1
()
2(,由题设
02
6=--r r
可得2=r ,所以展开式中的常数项是2402264=C ,故应填答案240.
【小试牛刀】已知的展开式中与的项的系数之比为，则的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】在二项式的展开式中项的系数是
，在二项式
的展开式中项的系数是。

由题设可得
，即
，所以
（当且仅当
取等
号），应选答案C 。

(四) 二项式定理与定积分的交汇
【例4】【2017届福建福州外国语学校高三理适应性考试三】已知6
1()x ax
+
展开式的常数项是540,则由曲线2y x =和y x α
=围成的封闭图形的面积为 ．
【答案】
512
【解析】二项式61()x ax +
展开式的通项66216611()()r r r r r r r T C x C x ax a
--+==,令620,3r r -==,所以有3361()540C a =,求出13a =,所以13y x x α==,联立2
13y x y x
⎧=⎪⎨⎪=⎩,交点坐标为(0,0),(1,1),所以由曲线2
y x =和
y x α
=围成的封闭图形的面积142333
1131315()()0043
4312S x x dx x x =-=-=-=⎰.
【小试牛刀】【山东省德州市2019届高三模拟】在的展开式中，项的系数等于264，则
等于 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】（a ）12
的展开式的通项为
．
由，得r ＝10．
∴，解得a ＝﹣2（舍）或a ＝2．
∴
（
2x ）dx
（lnx +x 2
）
ln 2+4﹣ln 1﹣1＝ln 2+3．
故选：B ．
(五) 二项式定理与导数的交汇 【例5】()
()()()
()
()
2016
2
2015
2016
01220152016122222x a a x a x a x a x x R -=+-+-+
+-+-∈,则
12342015201623420152016a a a a a a -+-++-=（ ）
A ．1008
B ．2016
C ．4032
D ．0 【答案】C
【解析】设函数2016
)
21()(x x f -=,求导得:20152015
)21(4032)2()
21(2016)(x x x f -⋅-=-⋅-⋅='
又201620162015
20152210)2()
2(...)2()2()(-+-++-+-+=x a x a x a x a a x f ,
求导得2015
20162321)
2(2016...)2(3)2(2)(-++-+-+='x a x a x a a x f ,由
令1=x 得:
=')1(f 12342015201623420152016a a a a a a -+-++-=4032)1(40322015=-⋅-．故选C ．
【小试牛刀】求证123
1C 2C 3C C 2n
n n n n n n n -+++
+=⋅
【证明】由二项式定理可得()1n
x + 012233
=C +C C C C ,n n
n n n n n x x x x +++
+
两边取导数可得()
1
1n n x -+12132
1
=C 2C 3C C ,n n n n n n x x n x -++++
令1x =得123
1C 2C 3C C 2n
n n n n n n n -+++
+=⋅.
(六) 二项式定理与信息迁移题的交汇
【例6】已知m 是一个给定的正整数,如果两个整数a ,b 除以m 所得的余数相同,则称a 与b 对模m 同余,记作a ≡b (mod m ),例如：5≡13(mod 4).若22015
≡r (mod 7),则r 可能等于( )
A.2013
B.2014
C.2015
D.2016 【答案】A 【解析】2
2015
＝22×2
3×671
＝4×8671＝4(7＋1)671＝4(7671＋C 16717670＋…＋C 6706717＋1).因此2
2015
除以7的余数为4.
经验证,只有2013除以7所得的余数为4.故选A.
【小试牛刀】用a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来,如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A.(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5
B.(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5
C.(1＋a )5
(1＋b ＋b 2
＋b 3
＋b 4
＋b 5
)(1＋c 5
) D.(1＋a 5
)(1＋b )5
(1＋c ＋c 2
＋c 3
＋c 4
＋c 5
) 【答案】A
【解析】分三步：第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,…,5个,则有(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)种不同的取法；第二步,5个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有(1＋b 5)种不同的取法；第三步,5个有区别的黑
球中任取0个,1个,…,5个,有(1＋C 15c ＋C 25c 2＋C 35c 3＋C 45c 4＋C 55c 5)＝(1＋c )5种不同的取法,所以所求为(1＋a
＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5
,故选A. 四、迁移运用
1．【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】在
的展开式中，项的系数为，则
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】因为
，
展开式的通项为
，
所以在
的展开式中，项的系数为
，即
；
所以.
故选C 2．已知为满足
（
）能被整除的正数的最小值，则的展开
式中，系数最大的项为（ ） A ．第项 B ．第项 C ．第项 D ．第项和第项
【答案】B 【解析】由于
，所以
，从而
的
展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第项，其系数为负，则
第项系数最大．
3．已知ξ服从正态分布2
(1,),N a R σ∈，则“()0.5P a ξ>=”是“关于x 的二项式3
21()ax x
+
的展开式的常数项为3”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分又不必要条件 D ．充要条件
【答案】A
【解析】由()0.5P a ξ>=，知1a =．因为二项式321()ax x +
展开式的通项公式为31321()()r r r r T C ax x
-+=＝3333r r r a C x --，令330r -=，得1r =，所以其常数项为212333a C a ==，解得1a =±，所以
“()0.5P a ξ>=”是“关于x 的二项式3
21()ax x
+的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选A ． 4．已知
（
），设
展开式的二项式系数和为，
（
），与的大小关系是（ ）
A ．
B ．
C ．为奇数时，，为偶数时，
D ．
【答案】C 【解析】由
可令得；
可令
得；
，
，而二项式系数和
则比较易得；为奇数时，
，为偶数时，
5．【山东K12联盟2018届高三模拟】已知，在
的展开式中，记
的系数为
，
则
（ ）
A.
B. C.
D.
【答案】A
【
解
析
】
，
所
以
，由已知有
指的系数，指的系数，所以
，选A.
6．将二项式6
)2(x
x +
展开式各项重新排列,则其中无理项互不相邻的概率是（ ）
A ．
72 B ．351 C. 358 D ．24
7 【答案】A
【解析】
由366216
62r r
r
r r r
r T C x
C x --+==,知当0,2,4,6r =时为有理项,则二项式6)2(x x +展开式中有4项有理项,3项无理项,所以基本事件总数为7
7A ,无理项互为相邻有43
45A A ,所以所求概率
434577A A P A =＝7
2,
故选A ．
7．若sin()2cos παα-=,则6
tan ()x x
α+展开式中常数项为（ ） A ．
52 B ．160 C ．5
2
- D ．160- 【答案】B
【解析】因为sin()2cos παα-=,所以sin 2cos ,tan 2x x x ==,6
6tan 2()x x x x α⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,常数项为
3
33336622160C x C x ⎛⎫
=⨯= ⎪⎝⎭
,故选B.
8.已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ,则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n 展开式中x 2项的系数为( )
A ．15
B ．－15
C ．30
D ．－30
【答案】A
【解析】因为函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为4－(－2)＝6,即n ＝6.展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6x
6
－k
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x k ＝C k 6x 6－2k
(－1)k ,由6－2k ＝2,得k ＝2,所以T 3＝C 2
6x 2(－1)2＝15x 2,即x 2项的系数为15,选A. 9.设复数x ＝2i
1－i (i 是虚数单位),则C 12 015x ＋C 22 015x 2＋C 32 015x 3＋…＋C 2 0152 015x 2 015
＝( ) A ．i B ．－i C ．－1－i D ．1＋i
【答案】C
【解析】x ＝2i
1－i ＝－1＋i,C 12 015x ＋C 22 015x 2＋…＋C 2 0152 015x 2 015
＝(1＋x )2 015－1＝i 2 015－1＝－i －1. 10．已知
()
4
22
0121x a a x a x +=+++
+7
8
78a x a x +,则从集合,i j a M x x x R a ⎧⎫⎪⎪
==∈⎨⎬
⎪⎪⎩⎭
（0,1,2,,8;i =0,1,2,
,8j =）到集合{}1,0,1N =-的映射个数是（ ）
A ．6561
B ．316
C ．2187
D ．210 【答案】A
【解析】242468
(1)1464x x x x x +=++++,所以0826413571,4,6,,0a a a a a a a a a =========,
所以集合M 中有0、1、4、6、
23、32、14、1
6
,从M 到N 的映射共有823816561==个．选A ． 11．设n a ,0≠是大于1的自然数,n
a x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+1的展开式为n
n x a x a x a a ++++ 2210.若点)
2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示,则______=a
.
【答案】3
【解析】由图易知0121,3,4a a a ===,则122
12113,()4n n a C a C a a ====,即23(1)42n
a n n a
⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,解得
3a =.
12．【河南省新乡市2019届高三下学期第二次模拟】已知
，
则
___________.
【答案】
【解析】对等式
两边求导，得
，令
，则
.
13．【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】已知的展开式中含项的系数
为-14，则
______．
【答案】
【解析】根据乘法分配律得
，
，
.
，
，表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分.当
时，
，故
. 14．【河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四)】已知
，记
，则
的展开式中各项系数和为
__________． 【答案】
【解析】根据定积分的计算，可得
，
令，则
，
即
的展开式中各项系数和为.
15．复数
1i
2i a +-（,i a R ∈为虚数单位）为纯虚数,则复数i z a =+的模为 .已知231
(1)()()n x x x n N x
*+++∈的展开式中没有常数项,且28n ≤≤,则n = .
【答案】5,5
【解析】由题意设
)0(21≠=-+t ti i ai
,则t ti ai +=+21,所以⎩⎨⎧==t
a t 21,即2=a ,故i z a =+的模为514=
+.因n x
x )1(3
+
的通项公式r
n r n r r n r n r x C x x C T 431---+=⋅=,故当2,1,04--=-r n 时存在常数项,即24,14,4--=r r r n ,故8,7,6,4,3,2=n 时为常数项,所以当5=n 时没有常数项符合题设,故应填
5,5.
16.【辽宁省辽南协作校2017-2018学年高三下学期第一次模拟】二项式
的展开式中只有第3项
的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则无理项都互不相邻的排列总数为__________．（用
数字作答）
【答案】72 【解析】因为二项式
的展开式中只有第3项的二项式系数最大，所以展开式共5项，，其通项为，当时项为有理项，所以无理项有2个，先把有理项排好有
种，从4个空中取两个排上无理项有种排法，所以共有种排法. 17．
已知52x ⎛ ⎝
的展开式中的常数项为T ,()f x 是以T 为周期的偶函数,且当[0,1]x ∈时,()f x x =,若在区间[1,3]-内,函数()()g x f x kx k =--有4个零点,则实数k 的取值范围是______________． 【答案】1
04
k ≤＜．
【解析】2510231551(r r r r r r r r T C x r C x ---+==-（）（），令10-2r-3r=0,得r=2, ∴常数项25125
T C =⨯=；∴f （x ）的周期为2,且是偶函数,∵当x ∈[0,1]时,1[]0f x x x =∴∈-（），，时,f （x ）=-x ；∴在区间[-1,3]内,画出函数y=f （x ）和y=kx+k 的图象,如图所示；结合图象知,直线y=kx+k 过定点A （-1,0）,且()11314
AB k ==--；∴函数g （x ）=f （x ）-kx-k 在[-1,3]内有4个零点时,实数k 的取值范围是104k ≤＜．
18.求证：3n >(n ＋2)·2n －1(n ∈N *
,n >2)． 【证明】因为n ∈N *,且n >2,所以3n ＝(2＋1)n 展开后至少有4项．
(2＋1)n ＝2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C n －1n ·2＋1≥2n ＋n ·2
n －1＋2n ＋1>2n ＋n ·2n －1＝(n ＋2)·2n －1, 故3n >(n ＋2)·2n －1(n ∈N *,n >2)．。