6.3.1角的概念 (课件)人教版(2024)数学七年级上册

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••••
地面上的方向顺序相同.
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2. 方位角的描述 一般地，方位角是以第一个方向(正南 或正北)为角的始边向第二个方向转动所形成的角.
特殊方位角： (1)东北方向表示以正北为角的始边，向东转4 5 °时的
射线的方向，又叫北偏东4 5°； (2)东南方向为南偏东4 5°； (3)西南方向为南偏西4 5°； (4)西北方向为北偏西4 5°.
知4－讲
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知4－讲
特别提醒 1.在平面图上方向为“上北，下南，左西，右东”. 2.方位角大都用射线与正北或正南方向的夹角来表示，所
以把南或北写在前，把东或西写在后，用两个方向表示 (如北偏东60°).
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知4－练
例 4 在图6.3－5 中画出表示下列方向的射线：
(1)北偏东30°；(2)北偏西65°；(3)南偏西25°.
综合应用创新
(3)如图6.3－9 ③，在∠ AOB 的内部画3 条射线OC， OD，OE，则图中有___1_0__个不同的角； 解题秘方：从OA 边至OB 边按顺序数，可以找出角的 个数与角内部射线的条数的关系. 对于在∠ AOB 的内 部画n 条射线的情况，应从特殊情况总结出一般结论. 解：如图6 .3－9 ③，在∠ AOB 的内部画3 条射线OC， OD，OE，则图中有4 ＋3＋2 ＋1 =1 0(个)不同的角.
叫作周角，如图6.3－2 . 可逆时针，也可顺时针.
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特别解读
知1－讲
1.构成角的要素是顶点、两边，且两边都是射线.
2.角的大小与所画边的长短无关，只与构成角的两边
张开的幅度有关.
3.平角的两边成一条直线，但不能说平角就是一条直
线；周角的两边重合形成一条射线，但不能说周
角就是一条射线.
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解：①是错误的，因为若两条射线无公共端点，则 构成的图形不是角； ②是错误的，因为角的大小与所画边的长短无关； ③是正确的； ④是错误的，因为直线和平角是两个不同的概念， 平角有顶点和两边，它与直线不同. 故说法正确的有1 个. 答案：A
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1-1.下列语句正确的是____③____(只填序号).
综合应用创新
方法 2 从特殊到一般探究角的个数
例 6 (1)如图6.3－9①，在∠AOB的内部画1条射线OC，
则图中有___3___个不同的角； 解题秘方：从OA 边至OB 边按顺序数，可以找出角的个数 与角内部射线的条数的关系. 对于在∠ AOB 的内部画n 条射 线的情况，应从特殊情况总结出一般结论.
解：如图6 .3－9 ① ，在∠ AOB 的内部画1 条射线OC，则图 中有2 ＋1 =3(个)不同的角.
综合应用创新
(2)如图6.3－9 ②，在∠ AOB 的内部画2 条射线OC，OD， 则图中有___6__个不同的角； 解题秘方：从OA 边至OB 边按顺序数，可以找出角的 个数与角内部射线的条数的关系. 对于在∠ AOB 的内 部画n 条射线的情况，应从特殊情况总结出一般结论. 解：如图6 .3－9 ②，在∠ AOB 的内部画2 条射线OC， OD，则图中有3 ＋2 ＋1 =6(个)不同的角.
综合应用创新
(4)若在∠ AOB 的内部画10 条射线OC，OD，OE，…，OL，则图中 有__6_6__个不同的角； 解题秘方：从OA 边至OB 边按顺序数，可以找出角的个数与角内 部射线的条数的关系. 对于在∠ AOB 的内部画n 条射线的情况，应 从特殊情况总结出一般结论. 解：若在∠ AOB 的内部画1 0 条射线OC，OD，OE， …， OL，则图中有11 ＋10 ＋9＋8 ＋… ＋2 ＋1 =66(个)不同的角.知4Fra bibliotek练课堂小结
角的概念
定义
度量单位
角
表示方法
角度的换算
方位角
综合应用创新
方法 1 方程思想探究角度
例 5 从6 时到7 时，这1 个小时内钟表表面的时针与分针何 时的夹角为60°？ 思路引导：
综合应用创新
解：时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，分两种 情况：① 设分针从1 2 出发，在追上时针前的夹角是 60 ° 时的时刻为6 时x 分，如图6.3－7 . 根据题意，得6x＋60 =0 .5x＋180，
解得x=21191，
类比行程问题中的追 及问题列方程.
即6 时21191分时，时针与分针的夹角为60°.
综合应用创新
② 设分针从12 出发，追上并超过时针后的夹角为 60 °时的时刻为6 时y 分，如图6.3－8 . 根据题意，得6y－60 =0.5y＋180 ，解得y=43171， 即6 时43171分时，时针与分针的夹角为60°. 综上所述，从6 时到7 时，这1 个小时内钟面表面的时针与分
2. 角的度量方法
知3－讲
使用量角器时，注意量角器的刻度的读数的旋转方向， 即选择内刻度的读数还是外刻度的读数.
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知3－讲
3. 角度制 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.
拓宽视野 其他度量角的单位制还
有：弧度制、密位制等.
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4. 角的换算 1 周角=360°，1 平角=180°， 1°=60′，1′=60″，1′=(610)°，1 ″ = (610)′. 1°=60 ′ =3600 ″ ，1″= (610)′= (36100)°.
第六章 几何图形初步
6．3 角 6．3.1 角的概念
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知识点 1 角的定义
1. 角的定义
知1－讲
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知1－讲
定义
示例
组成元素
有公共端点的两条
“静”态 • • • • • •
射线组成的图形叫
的观点 • •
作角
这个公共端点是角的顶 点，这两条射线是角的 两条边，角的大小与所 画边的长短无关
角可以看作由一条
“动”态 射线绕着它的端• 点• 的观点 • •
旋转而形成的图形
••
起始位置的边叫作 角的始边，终止位置 的边叫作角的终边
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知1－讲
2. 平角与周角 射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起
始位置OA
成一条直线时，所形成的角叫作平角，如图
•••••
••
6 .3－1；继续旋转，当OB 和OA 重合时，所形成的角 ••
(2)以A 为顶点的角； ∠ BAC，∠ BAD，∠ CAD.
(3)小于平角的角. ∠ BAC，∠ B，∠ C，∠ 1，∠ 2，∠ 3，∠ 4 .
知2－练
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2-1. 如图，D，E 是线段BC 上的两点，连接AB，AD，AE， AC．有下列说法：① ∠ DAE 可记为∠ 1；②∠ 2 可 记为∠ E；③图中有且只有两个角可以用一个大写字 母表示；④∠ BDE 是平角. 其中，正确的是_①__③__④___ (填序号)．
针的夹角为6 0 ° 有两个时刻，即6 时21191分和6 时43 171分.
综合应用创新
知识储备 1.时针每小时转36102°=30 °， 每分钟转36102°×60=0.5°； 2.分针每小时转360°，每分钟转36600°=6°.
综合应用创新
解法提醒 示意图法：
涉及钟表的角度问题时，一般先画出示意图，这样便 于分析问题，如本题中分别用图形的方式将两种情况表 示出来.
知3－讲
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5. 度和度、分、秒的相互转化方法
知3－讲
①度化为度、分、秒的方法: 必须先把不足1 度的化为分，
再把不足1 分的化为秒，也就是把角的度量单位由大化
小的过程，每步要乘60′或6 0 ″ .
②度、分、秒化为度的方法: 必须先把秒化为分，然后加
上原有的分，再化为度，也就是把角的度量单位由小化
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(1)将57.32°用度、分、秒表示； 解：57 .32° =57°＋0.3 2°=57°＋0.32×60′ =57°＋19 .2′=57°＋19 ′＋0.2×60 ″ =57°＋19 ′＋12 ″=57°19 ′12 ″.
知3－练
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(2)将10°6′36″用度表示. 解：10°6′3 6 ″ =10°＋6′＋3 6 ″=10°＋6′＋36×(610)′ =10°＋6′＋0 .6′=10°＋6.6′ =10°＋6.6×(610)°=10°＋0 .11°=10 .11°.
顶点处加上弧线表示角的范围，即从哪边到哪边.用此
法表示共顶点、共边的几个角时，应尽量把弧线画的
大小不一，以便于区分.
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例 2 如图6.3－3，写出符合以下条件的角： 解题秘方：先要明确角的表 示方法的“适用范围”，再 根据图形特点将每个角用合 适的方法表示出来.
知2－练
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(1)能用一个大写字母表示的角； 解：∠ B，∠ C.
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表示方法 示例
用三个大写 字母表示
用一个大写 字母表示
用数字表示
用希腊字母 表示
记法方法 解读
∠ AOB 或∠BOA
字母O 表示顶点，要写在中间， A，B 表示角的两边上的点，用 该表示法可以表示任何一个角
当以某一个字母表示的点为顶点 ∠ O 的角只有一个时，可用这个顶点
的字母来表示
∠ 1 在靠近角的顶点处加上弧线，并 标上数字或希腊字母. 该表示法
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4-1.[期末· 惠州惠城区] 如图，A 地和B 地都是海上观测站，从 A地发现它的北偏东60°方向 有一艘船，同时，从B 地发现 这 艘 船 在 它 北 偏 东 30 ° 的 方 向上，试在图中确定这艘船 的位置.
知4－练
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解：如图所示，作∠1＝ 60°，∠2＝30°，两射 线相交于P点，则点P即 为所求．
∠α 形象直观
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知2－讲
注意：1 . 角的符号应书写标准，“∠”不可与“<”混 淆.2 . 当以某一点为顶点的角有两个或两个以上时，其中 任何一个角都不能只用一个顶点字母表示.
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知2－讲
特别解读
1.用三个大写字母表示角是通用方法，不受任何条件限制.
2.用数字或希腊字母表示角时，要在角的内部，靠近角的
大的过程，每步要乘(610)′或(610)°.
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要点归纳
知3－讲
1. 角的度、分、秒是60 进制的，这和计量时间的时、分、 秒是一样的.
2. 使用三角尺可以画出30°，45°，60°，90°等特殊角， 使用量角器可以画出任意给定度数的角.
3.
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知3－练
例 3 计算： 解题秘方：利用高级单位和低级单位相互转化的方 法进行计算.
知1－练
①延长一个角的两边；
②周角是一条射线；
③反向延长射线OA 就得到一个以点O 为顶点的平角；
④角的两边的长短决定角的大小．
1-2. 小明用放大镜(10倍放大功能)观察10°的角，小明看
到的角是____1_0_°__.
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知识点 2 角的表示方法
知2－讲
角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种
知1－练
例 1 下列说法：①两条射线组成的图形是角；②角的大 小与所画边的长短有关；③角的两边是两条射线； ④因为平角的两边成一条直线，所以一条直线可以 看成一个平角.其中，说法正确的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
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解题秘方：利用角的相关概念进行几何语言辨析时， 关键要扣住概念中的关键词，如“公共端点”“射线” 等关键词. 对于关键词不能漏掉，还要体会其含义.
知3－练
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知3－练
3-2.[ 期末·邯郸丛台区] 若∠ P=25°12′，∠ Q=25.12°，
∠ R=25.2°，则( C )
A．∠ P ＝∠ Q
B．∠ Q ＝∠ R
C．∠ P ＝∠ R
D．∠ P ＝∠ Q ＝∠ R
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知识点 4 方位角
知4－讲
1. 方位角 用角度和方向表示方位的角，如图6 .3－4 ，与
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知识点 3 角的单位及换算
知3－讲
1. 角的度量单位
度、分、秒是常用的角的度量单位. 把一个周角
360 等分，每一份就是1 度的角，记作1°；把1 度的 •••
角60 等分，每一份叫作1 分的角，记作1 ′；把1 分的 •••
角6•0 等• 分• ，每一份叫作1 秒的角，记作1″.
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解题秘方： “偏”的意思是 “旋转”，如“北偏东”是 指“由正北向东旋转”.
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解：如图6 .3－6. (1)射线OA 表示北偏东30°. (2)射线OB 表示北偏西65°. (3)射线OC 表示南偏西25°.
知4－练
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知4－练
方法技巧：已知方位角画方向线的方法：画方向线 时，以始边(南或北)为准，向偏的方向(东或西)按角 度画出终边，终边即为方向线.
知3－练
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方法点拨:将度用度、分、秒表示的方法：先将度的 小数部分化为分，再将分的小数部分化为秒；将度、 分、秒用度表示的方法：先将秒化为分，再将分化 为度.
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3-1.下列各式中，正确的角度互化是( D ) A.63.5°=63°50′ B.23°12′36″=23.48° C.18°18′18″=18.33° D.22.25°=22°15′