高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册4.3二、空间中的距离问题(课件)
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（1） 平面 外一点 到平面 的距离，就是点 与平面内一点 所成向量 的长度. ( )
×
（2） 若直线 平面 ，则直线 到平面 的距离就是直线 上的点到平面 的距离. ( )
√
（3） 若平面 ，则两平面 ， 的距离可转化为平面 内某条直线到平面 的距离，也可转化为平面 内某点到平面 的距离.( )
方法总结 求点 到直线 的距离的步骤：第一步，建系，在直线 上任取一点 （注意：选择便于计算的特殊点），求“参考向量 （或 ）”的坐标；第二步，依据图形先求出直线 的单位方向向量 ；第三步，代入公式求解.
若在棱长为1的正方体 中， 为 的中点，则点 到直线 的距离是_ _____.
3.已知直线 平面 ，平面 的法向量为 ，平面 内一点 的坐标为 ，直线 上点 的坐标为 ，则直线 到平面 的距离为_ ____.
[解析] 由于直线与平面平行，故直线 到平面 的距离可转化为点 到平面 的距离，又 ，所以点 到平面 的距离 .
4.在棱长为 的正方体 中， 是 的中点，求点 到平面 的距离.
空间中的距离问题
跳伞运动是指跳伞员乘飞机、气球等器械升至高空后跳下，或者从陡峭的山顶、高地上跳下，借助空气动力和降落伞在开伞前和开伞后完成各种规定动作，并利用降落伞减缓下降速度，最后在指定区域安全着陆的一项体育运动.它因自身的惊险和挑战性，被世人誉为“勇敢者的运动”.如图，已知跳伞员的起始高度和跳伞速度.
如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截得到的，建立如图所示的空间直角坐标系，已知 （ ， ， ）， ， ， ， ， .若 为平行四边形，则点 到平面 的距离为( ).
A. B. C. D.
D
[解析] 为平行四边形， ， ， ，设平面 的法向量为 ,则 令 ，得平面 的一个法向量 ，又 ， 到平面 的距离 .
方法总结 用向量法求点到平面的距离的步骤
（1）建系:建立恰当的空间直角坐标系.
（2）求点坐标:写出（求出）相关点的坐标.
（3）求向量:求出相关向量的坐标（ ，平面 的法向量 ）.
（4）求距离: . 提醒:用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距.
探究2 线面距离
正方体是立体几何中最常见的几何体，立体几何中许多概念、定理都可以用正方体中的点、线、面的关系说明，因此正方体有“百宝箱”的美称，是考查立体几何知识的主要载体.如图，根据图形回答下列问题.
问题1：.图中， 到平面 的距离，是 与 之间的距离吗？
[答案] 不是.
问题2：.如何求 到平面 的距离？
√
2.已知直线 的方向向量为 ，点 在直线 上，则点 到直线 的距离为( ).A. B. C. D.
D
[解析] 由已知得 ，因为直线 的方向向量为 ，所以点 到直线 的距离为 .
3.若平面 的一个法向量为 ，点 ， ， ， ，则点 到平面 的距离为( ).A. B. C. D.
则 所以 令 ，则 ， ，所以平面 的一个法向量为 ，所以点 到平面 的距离 .
（2） 直线 到平面 的距离.
[解析] 因为 ，所以直线 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等，又因为由（1）知 ，所以点 到平面 的距离 .
探究3 点到直线的距离
如图，在空间中任取一点 ，作 ， ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，回答下列问题.
[解析] 以 为原点， ， ， 所在直线分别为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 ， , ， , , .
设平面 的一个法向量为 ，则 得 ∴点 到平面 的距离为 .
[解析] 如图所示，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，所以 ， ，所以向量 在 方向上的投影向量的长度为 ，所以点 到直线 的距离 .
1.已知平面 的一个法向量 ，点 （ ， ， ）在平面 内，则点 到平面 的距离为( ).A. B. C. D.
， .设平面 的法向量为 ，
则 取 ，得平面 的一个法向量 ，∵由题意可知平面 的一个法向量为 ，又 ，∴平面 平面 .（2）由（1）知 ，所以 ，设平面 的法向量为 ，
则 取 ，得平面 的一个法向量 ，∴点 到平面 的距离 .∴三棱锥 的高为 .
新知运用
例1 如图，正三棱柱 （底面为正三角形，侧棱垂直于底面）中，侧棱长 ，底面边长 ， 是 的中点.
（1）求证：平面 平面 .
（2）求三棱锥 的高.
[解析] （1）取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， .依据题意，以点 为原点， ， ， 所在的直线分别为 , , 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ，
[答案] 先证明 ，由线面平行的判定定理得 平面 ，将线到面的距离转化为点到面的距离，即在直线 上随便取一点，求这点到平面 的距离就行了.
新知生成
平行于平面的直线到该平面的距离、相互平行的两个平面间的距离，都可以转化为点到平面的距离.
新知运用
例2 已知正方体 的棱长为 ，点 ， 分别在 ， 上，且 ， .
新知运用
例3 如图所示， 为棱长等于1的正方体，若点 在正方体的内部且满足 ，求点 到直线 的距离.
[解析] 如图所示，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， , ， ， ， ， ， ,
， ， ,∴点 到直线 的距离 .
探究1 点到平面的距离
点到平面的距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度.特殊地，当点在平面内时，该点到平面的距离为0.如图，平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点，过点 作平面 的垂线 ，交平面 于点 ，回答下列问题.
问题1：.点 到平面 的距离是哪一个线段的长度？
问题1：.向量 在向量 上的投影向量是什么？
[答案] .
问题2：.设与 方向相同的单位向量为 ，则向量 在向量 上的投影向量等于什么？
[答案] 投影向量 .
问题3：.在上图中，怎样求线段 的长度？长度的表达式是什么？
[答案] 利用勾股定理， .
新知生成
若点 是直线 外一点， 是直线 的单位方向向量，点 是直线 上任意一点，则点 到直线 的距离 .
1.如果把跳伞运动员看成一个点 ，如何测量他到地面的距离？
[答案] 用他离开飞行器时的高度减去他降落的速度和时间的积.
2.平面 外一点 到平面 的距离，是点 与平面内一点 所成向量 的长度吗？
[答案] 不是， 平面 外一点 到平面 的距离是 在平面 的法向量上投影的绝对值.
D
[解析] ， ， .∵由题意知 ，∴点 到平面 的距离为 .
2.已知 ， ， ，则点 到直线 的距离为( ).A. B. C. D.
A
[解析] 由 ， ， ，可得 ， ，则向量 在 方向上的投影向量的长度为 ，所以点 到直线 的距离为 .
B
[解析] ， ， ， ， 为平面 的一条斜线，且 .∴ 点 到平面 的距离 .
4.已知平面 的一个法向量 ，点 在平面 内，若点 到 的距离为 ，则 ( ).A. B. C. 或 D. 或16
C
[解析] 由点 在平面 内，点 ，可得 ，因为平面 的一个法向量 ，且点 （ ， ， ）到 的距离为 ，所以 ，即 ，解得 或 .
3.几何度量中最基本的距离是什么？
[答案] 两点之间的距离是几何度量中最基本的距离，计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离.
4.归纳求点到面的距离的方法.
[答案] 求点到面的距离可以采用等积变换法或归结为解直角三角形或向量法求解.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）求证： 平面 .
（2）求 与平面 的距离.
[解析] （1）建立如图所示的空间直角坐标系 ，易得 ， ，故 ， ， .
设平面 的法向量为 .则 得
令 ，得平面 的一个法向量 . ， ， 平面 ， 平面 .（2）由（1）得 ， ， .
方法总结 求线面化为直线上一点到平面的距离.
已知正方形 的边长为1， 平面 ，且 ， ， 分别为 ， 的中点.求：
（1） 点 到平面 的距离；
[解析] 建立以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴的空间直角坐标系，如图所示.
则 ， ， ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，
[答案] .
问题2：.从向量投影的角度来看，点 到平面 的距离又是什么？
[答案] 在直线 上的投影向量 的长度.
问题3：.根据向量投影的定义，你能得出点 到平面 的距离的表达式吗？
[答案] .
新知生成
点 到平面 的距离，等于点 与平面 内任意一点 连线所得向量 ，在平面 的单位法向量 方向上所作投影向量的长度，即 .
×
（2） 若直线 平面 ，则直线 到平面 的距离就是直线 上的点到平面 的距离. ( )
√
（3） 若平面 ，则两平面 ， 的距离可转化为平面 内某条直线到平面 的距离，也可转化为平面 内某点到平面 的距离.( )
方法总结 求点 到直线 的距离的步骤：第一步，建系，在直线 上任取一点 （注意：选择便于计算的特殊点），求“参考向量 （或 ）”的坐标；第二步，依据图形先求出直线 的单位方向向量 ；第三步，代入公式求解.
若在棱长为1的正方体 中， 为 的中点，则点 到直线 的距离是_ _____.
3.已知直线 平面 ，平面 的法向量为 ，平面 内一点 的坐标为 ，直线 上点 的坐标为 ，则直线 到平面 的距离为_ ____.
[解析] 由于直线与平面平行，故直线 到平面 的距离可转化为点 到平面 的距离，又 ，所以点 到平面 的距离 .
4.在棱长为 的正方体 中， 是 的中点，求点 到平面 的距离.
空间中的距离问题
跳伞运动是指跳伞员乘飞机、气球等器械升至高空后跳下，或者从陡峭的山顶、高地上跳下，借助空气动力和降落伞在开伞前和开伞后完成各种规定动作，并利用降落伞减缓下降速度，最后在指定区域安全着陆的一项体育运动.它因自身的惊险和挑战性，被世人誉为“勇敢者的运动”.如图，已知跳伞员的起始高度和跳伞速度.
如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截得到的，建立如图所示的空间直角坐标系，已知 （ ， ， ）， ， ， ， ， .若 为平行四边形，则点 到平面 的距离为( ).
A. B. C. D.
D
[解析] 为平行四边形， ， ， ，设平面 的法向量为 ,则 令 ，得平面 的一个法向量 ，又 ， 到平面 的距离 .
方法总结 用向量法求点到平面的距离的步骤
（1）建系:建立恰当的空间直角坐标系.
（2）求点坐标:写出（求出）相关点的坐标.
（3）求向量:求出相关向量的坐标（ ，平面 的法向量 ）.
（4）求距离: . 提醒:用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距.
探究2 线面距离
正方体是立体几何中最常见的几何体，立体几何中许多概念、定理都可以用正方体中的点、线、面的关系说明，因此正方体有“百宝箱”的美称，是考查立体几何知识的主要载体.如图，根据图形回答下列问题.
问题1：.图中， 到平面 的距离，是 与 之间的距离吗？
[答案] 不是.
问题2：.如何求 到平面 的距离？
√
2.已知直线 的方向向量为 ，点 在直线 上，则点 到直线 的距离为( ).A. B. C. D.
D
[解析] 由已知得 ，因为直线 的方向向量为 ，所以点 到直线 的距离为 .
3.若平面 的一个法向量为 ，点 ， ， ， ，则点 到平面 的距离为( ).A. B. C. D.
则 所以 令 ，则 ， ，所以平面 的一个法向量为 ，所以点 到平面 的距离 .
（2） 直线 到平面 的距离.
[解析] 因为 ，所以直线 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等，又因为由（1）知 ，所以点 到平面 的距离 .
探究3 点到直线的距离
如图，在空间中任取一点 ，作 ， ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，回答下列问题.
[解析] 以 为原点， ， ， 所在直线分别为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 ， , ， , , .
设平面 的一个法向量为 ，则 得 ∴点 到平面 的距离为 .
[解析] 如图所示，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，所以 ， ，所以向量 在 方向上的投影向量的长度为 ，所以点 到直线 的距离 .
1.已知平面 的一个法向量 ，点 （ ， ， ）在平面 内，则点 到平面 的距离为( ).A. B. C. D.
， .设平面 的法向量为 ，
则 取 ，得平面 的一个法向量 ，∵由题意可知平面 的一个法向量为 ，又 ，∴平面 平面 .（2）由（1）知 ，所以 ，设平面 的法向量为 ，
则 取 ，得平面 的一个法向量 ，∴点 到平面 的距离 .∴三棱锥 的高为 .
新知运用
例1 如图，正三棱柱 （底面为正三角形，侧棱垂直于底面）中，侧棱长 ，底面边长 ， 是 的中点.
（1）求证：平面 平面 .
（2）求三棱锥 的高.
[解析] （1）取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， .依据题意，以点 为原点， ， ， 所在的直线分别为 , , 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ，
[答案] 先证明 ，由线面平行的判定定理得 平面 ，将线到面的距离转化为点到面的距离，即在直线 上随便取一点，求这点到平面 的距离就行了.
新知生成
平行于平面的直线到该平面的距离、相互平行的两个平面间的距离，都可以转化为点到平面的距离.
新知运用
例2 已知正方体 的棱长为 ，点 ， 分别在 ， 上，且 ， .
新知运用
例3 如图所示， 为棱长等于1的正方体，若点 在正方体的内部且满足 ，求点 到直线 的距离.
[解析] 如图所示，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， , ， ， ， ， ， ,
， ， ,∴点 到直线 的距离 .
探究1 点到平面的距离
点到平面的距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度.特殊地，当点在平面内时，该点到平面的距离为0.如图，平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点，过点 作平面 的垂线 ，交平面 于点 ，回答下列问题.
问题1：.点 到平面 的距离是哪一个线段的长度？
问题1：.向量 在向量 上的投影向量是什么？
[答案] .
问题2：.设与 方向相同的单位向量为 ，则向量 在向量 上的投影向量等于什么？
[答案] 投影向量 .
问题3：.在上图中，怎样求线段 的长度？长度的表达式是什么？
[答案] 利用勾股定理， .
新知生成
若点 是直线 外一点， 是直线 的单位方向向量，点 是直线 上任意一点，则点 到直线 的距离 .
1.如果把跳伞运动员看成一个点 ，如何测量他到地面的距离？
[答案] 用他离开飞行器时的高度减去他降落的速度和时间的积.
2.平面 外一点 到平面 的距离，是点 与平面内一点 所成向量 的长度吗？
[答案] 不是， 平面 外一点 到平面 的距离是 在平面 的法向量上投影的绝对值.
D
[解析] ， ， .∵由题意知 ，∴点 到平面 的距离为 .
2.已知 ， ， ，则点 到直线 的距离为( ).A. B. C. D.
A
[解析] 由 ， ， ，可得 ， ，则向量 在 方向上的投影向量的长度为 ，所以点 到直线 的距离为 .
B
[解析] ， ， ， ， 为平面 的一条斜线，且 .∴ 点 到平面 的距离 .
4.已知平面 的一个法向量 ，点 在平面 内，若点 到 的距离为 ，则 ( ).A. B. C. 或 D. 或16
C
[解析] 由点 在平面 内，点 ，可得 ，因为平面 的一个法向量 ，且点 （ ， ， ）到 的距离为 ，所以 ，即 ，解得 或 .
3.几何度量中最基本的距离是什么？
[答案] 两点之间的距离是几何度量中最基本的距离，计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离.
4.归纳求点到面的距离的方法.
[答案] 求点到面的距离可以采用等积变换法或归结为解直角三角形或向量法求解.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）求证： 平面 .
（2）求 与平面 的距离.
[解析] （1）建立如图所示的空间直角坐标系 ，易得 ， ，故 ， ， .
设平面 的法向量为 .则 得
令 ，得平面 的一个法向量 . ， ， 平面 ， 平面 .（2）由（1）得 ， ， .
方法总结 求线面化为直线上一点到平面的距离.
已知正方形 的边长为1， 平面 ，且 ， ， 分别为 ， 的中点.求：
（1） 点 到平面 的距离；
[解析] 建立以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴的空间直角坐标系，如图所示.
则 ， ， ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，
[答案] .
问题2：.从向量投影的角度来看，点 到平面 的距离又是什么？
[答案] 在直线 上的投影向量 的长度.
问题3：.根据向量投影的定义，你能得出点 到平面 的距离的表达式吗？
[答案] .
新知生成
点 到平面 的距离，等于点 与平面 内任意一点 连线所得向量 ，在平面 的单位法向量 方向上所作投影向量的长度，即 .