浙江省嘉兴市2013届高三数学上学期基础测试试题 理 新人教A版

2012年高中学科基础测试
理科数学 试题卷
一选择题（本大题共同10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1． 设全集U=R ，集合[)(,1)
(1,),1,A B =-∞-+∞=-+∞，则下列关系正确的是：
A ．
B A ⊆ B ．U A
C B ⊆ C ．()
U C A B B = D ．A B =∅
２．若a,b 都是实数，则“a-b>0”是“2
2
0a b ->”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ３．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s 值为 A ．26 B ．102
C ．410
D ．614
4．已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的 等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，n N *
∈，则10S 的值为：
A ．-110
B ．-90
C ．90
D ．110 5.已知,αβ
是锐角，且
a ≠45
∥,若
cos(α-β)=sin(α+β), 则tan β等于 A ．2 B ．1 C ．3 D ．
33
6.已知不同的直线l,m,不同的平面,αβ，下命题中：
①若α∥β,,l α⊂则l ∥β ②若α∥β，,;l l αβ⊥⊥则 ③若l ∥α，m α⊂，则l ∥m ④,,l m αβαββ⊥⋂=⊥若则
真命题的个数有
Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个
7.已知不等式组2
10
y x y kx y ≤-+⎧⎪
≤-⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域为面积等于14的三角形，则实数k 的值为
A ．-1 B.12-
C.1
2
D.1 8.已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线过椭圆
221416x x +=和椭圆22
31164
x y +=的交点，则双曲线的离心率是 A.
233 B.2 C.5 D.5
2
9.设函数[] x 0()(1) x<0
x x f x f x ⎧-≥⎪=⎨+⎪⎩其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.3-=-2，[]1.3=1，
则函数11
()44
y f x x =-
-不同零点的个数 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10.从正方形的8个顶点选取4个点，连接成一个四面体，则关于这个四面体的各个面，下列叙述错误的是
A ．有且只有一个面是直角三角形
B ．每个面可能都是等边三角形
C ．每个面可能都是直角三角形
D ．有且只有一个面是等边三角形 第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 11．设复数11,z i =-21z i =+(i 是虚数单位)，则
21
11
z z += 。

12．设5
(2)x -的展开式中3
x 的系数为A ，则A= 。

13．若某空间几何体的三视图如下图所示， 则该几何体的体积是 。

14．已知向量1a =，2b =，()a a b ⊥-，则向量a 与
b 的夹角的大小是 。

15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知1a =1，
12(2)n n n a S S n -=-≥，则n S = 。

16．若44log (2)log (2)1x y x y ++-=，则x y -的最小值是 。

17．已知集合{},,,,A a b c d e =，{}1,2,3B =，定义函数:f A B →满足条件： ①函数f 的值域为B ；②f (a)≠f (b)，则满足条件的不同函数f 的个数 。

三、解答题(本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)
已知函数()3sin 2cos(2)cos(2)133f x x x x π
π=+++--其中,06x π⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
(Ⅰ)求函数f(x)的周期和值域
(Ⅱ)在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若f (B)=0,3
2
BA BC ⋅=
,且a+c=4,求边b 的长。

19．(本小题满分14分)
一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。

(Ⅰ)从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；
(Ⅱ)一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”(每次操作完成后将球放回)，某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

20．(本小题满分14分)
如图，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体，四棱锥
1111
P A B C D -中，
P ∈平面
11
DCC D ，
115
2
PC PD ==。

(Ⅰ)求证：平面11PA B 平面11ABC D ；
(Ⅱ)求直线1PA 与平面11ADD A 所成角的正切值。

21．(本小题满分15分)
如图，11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线2
:2C x py =(p 为正常数，p>0)上的两个动点，直
线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴交于点Q ，且2
124
p y y =
(Ⅰ)求证：直线AB 过抛物线C 的焦点；
P
D1
C1C D
B
A
A1
B1
第20题
(Ⅱ)是否存在直线AB ，使得113?PA PB PQ
+=若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由。

22．(本小题满分15分) 已知函数()32(31)ln a
f x x a x x
=+-
-+(x>0,实数a 为常数) (Ⅰ)a=4时，求函数()f x 在1,3
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上的最小值； (Ⅱ)设
11
32
a <<，求证：不等式：1212()()f x f x x x -<-对于任意不相等的1x ，21,3x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
都成立。

2012年高中学科基础测试 理科数学 参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）
二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分 11．1；12．250-；13．8；14．
3
π；15．12+n ；16．3；17．114．
三、解答题（本大题共5小题,共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（Ⅰ）1)3
2cos()3
2cos(2sin 3)(--
++
+=π
π
x x x x f =1)6
2sin(2-+
π
x ． …3分
周期是π，由⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈0,6πx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+6,662πππx ，值域是[]0,2-． …7分
（Ⅱ）由01)62sin(2)(=-+=πB B f 得21
)62sin(=+πx 由π<<B 0，得3
π=B . …10分
由2
3
=
⋅BC BA ，得23cos =B ac ，得3=ac ．
…12分
再由余弦定理得，ac c a B ac c a b 3)(cos 22222-+=-+=7=．7=b ． …14分 19．（Ⅰ）设从袋子中任意摸出3个球, 摸出的球均为白球的概率是P .30
1
=
C C =
P 310
3
4 …4分 （Ⅱ）由一次”摸球成功”的概率32
=C C C +C =P 3
10
142636. …8分 随机变量ξ服从二项分布)
2
,3(B ,分布列如下 …12分
2=ξE …14分
20．取11C D 的中点H ，连结PH ，AH ．
2
5
11=
=PD PC ,111=C D ,∈P 平面11D DCC ， ∴21
,111=⊥H D C D PH ，∴12121=-=H D PD PH ，
∴A A D D PH 11////， A A PH 1=，
∴四边形AH PA 1为平行四边形，∴AH PA //1， 又⊂AH 平面11D ABC ,⊄1PA 平面11D ABC ， ∴//1PA 平面11D ABC ．
…4分
在正方体ABCD 中， AB B A //11， ∴//11B A 平面11D ABC ，
1111A B A PA = ，∴平面//11B PA 平面11D ABC
…7分
（II ）方法1
以直线1,,DD DC DA 为轴轴轴，z y x ,的如图所示空间直角坐标系，令，则)1,0,1(1A ，,2,21,0⎪⎭⎫ ⎝⎛P )0,0,0(D ∴ ,1,21,11⎪⎭
⎫
⎝⎛--=PA
…8分 ∵ =n （0，1，0）是平面11A ADD 的一个法向量
…10分
设直线1PA 与平面11A ADD 所成角为θ
（第20题）
P
B
D
C
1
B A
1
A 1
C 1
D H
31sin =
=
θ，4
2tan =θ ∴直线1PA 与平面11A ADD 所成角的正切值为4
2
…14分
方法2：
∵AH PA //1，∴直线1PA 与平面11A ADD 所成角等于直线AH 与平面11A ADD 所成角． 正方体1111D C B A ABCD -中，显然⊥1HD 平面11A ADD ， ∴1HAD ∠就是直线AH 与平面11A ADD 所成角．
…10分
在1HAD Rt ∆中，2
1
1=
H D ,21=AD ,42tan 111==∠AD H D HAD
∴直线1PA 与平面11A ADD 所成角的正切值为4
2
． …14分
21．（Ⅰ）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零． 设直线AB 的方程为：b kx y += （0≠k ，0>b ）
由⎩⎨⎧=+=py
x b
kx y 22，得0222=--pb pkx x ． ∴⎪⎩⎪
⎨⎧-==+>+=∆pb x x pk x x pb k p 220842
12122， …4分
∴2
222
12
1214)2(22b p
pb p x p x y y =-=⋅=． ∵4221p y y =，∴422
p b =，∵0>b ，∴2
p b =．
∴直线AB 的方程为：2
p
kx y +=．
抛物线C 的焦点坐标为)2
,
0(p
，∴直线AB 过抛物线C 的焦点．
…8分 （Ⅱ）假设存在直线AB ，使得||3
||1||1PQ PB PA =+, 即
3||||||||=+PB PQ PA PQ ． 作x AA ⊥/轴，x BB ⊥/轴,垂足为/A 、/B ，
∴ 212121//222||||||||||||||||y y y y p y p
y p BB OQ AA OQ PB PQ PA PQ +⋅=+=
+=+ …11分
∵p pk p x x k y y +=++=+2
21212)(，4
221p y y =
∴||||||||PB PQ PA PQ +=4
222
2p
p pk p +⋅=242
+k ． …15分
由3242=+k ，得2
1
±=k ． 故存在直线AB ，使得||3||1||1PQ PB PA =
+．直线AB 方程为221
p x y +±=． …15分
22．（Ⅰ）4=a 时，()222'
4133134
3x x x x x x f +-=-+=2)
4)(13(x
x x --=， …2分 ),4,3
1
(∈x 0)('<x f ，),4(+∞∈x ，0)('>x f ，
即)(x f 在),4,31
(上单调递减，在),4(+∞单调递增 …4分
在区间⎪⎭⎫
⎝⎛+∞,31上，当时，4=x )(x f 有最小值=)4(f .2ln 2613- …6分
（Ⅱ）当,2131<<a ()222'
)13(3133x a x a x x a x a x f ++-=+-+= =2
))(13(x
a x x --， )(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a ,31单调递减，不妨设21x x <，则当⎪⎭
⎫
⎝⎛∈a x x ,31,21时)()(21x f x f >，
故不等式2121)()(x x x f x f -<-等价于2211)()(x x f x x f +<+ …10分 令函数x x f x g +=)()(，则
1)()('
'
+=x f x g =2
22)13(4134x
a
x a x x a x a ++-=+-+ 再令=)(x h a x a x ++-)13(42，对称轴)2
1
(31813<<+=a a x 由于，
,091)31(>=h 0)(2>=a a h ，从而0)(>x h 当⎪⎭
⎫
⎝⎛∈a x ,31时恒成立， 即0)('>x g 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x ,31时恒成立，所以)(x g 在⎪⎭
⎫
⎝⎛a ,31为增函数，
所以2211)()(x x f x x f +<+
从而对于任意的⎪⎭
⎫
⎝⎛∈a x x ,31,21,都有不等式2121)()(x x x f x f -<- …15分。