大学第一附属中学、黄石二中、孝感高中、荆州中学等八校2019届高三上学期第一次联考文数试题解析(解析版)

第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合2
{|}A x y x ==，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B =（ ）
A ．[0,2]
B ．[0,2)
C ．(,2]-∞
D ．(,2)-∞ 【答案】D 【解析】
试题分析：由已知A R =，又20x ->得2x <，即(.2)B =-∞，所以(,2)A B =-∞，故
选D ．
考点：集合的运算．
2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B
考点：复数的几何意义．
3．已知()sin f x x x =-+，命题:0,
2p x π⎛
⎫
∀∈ ⎪⎝
⎭
，()0f x <，则（ ） A ．p 是假命题，:0,
,()02p x f x π⎛⎫
⌝∀∈≥ ⎪⎝
⎭
B ．p 是假命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫
⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭
C ．p 是真命题，:0,
,()02p x f x π⎛⎫
⌝∀∈≥ ⎪⎝
⎭
D ．p 是真命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫
⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭
【答案】D
考点：命题的真假，命题的否定．
4．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论错误的是（ ）
A ．0d <
B ．70a =
C ．95S S >
D ．6S 与7S 均为n S 的最大值 【答案】C 【解析】
试题分析：6565S S a S =+>⇒60a >，67S S =7760a S S ⇒=-=，
8787S S a S =+<80a ⇒<，870d a a =-<，
从而当8n ≥时，都有80a <，6S 与7S 均为n S 的最大值，由70a =，得680a a +=，所以856785S S a a a S =+++=，而9898S S a S =+<，即95S S <，所以C 错误，故选C ． 考点：等差数列的性质．
【名师点睛】求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法： ①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨
⎪⎧
a m ≥0，a m ＋1≤0
的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；
②当a 1<0，d >0时，满足⎩
⎪⎨⎪⎧
a m ≤0，
a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .
5．若偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，2(log 3a f =），4(log 5)b f =，32
(2)c f =，则,,a b c 满足（ ）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．c b a << 【答案】B 【解析】
试题分析：由已知()f x 在[0,)+∞上单调递增，42
2log 5log log 3=<，所以b a <，又
3
2
22log 3log 422<=<=，所以a c <，即b a c <<，故选B ．
考点：比较大小，函数的单调性． 6．已知正数,x y 满足20
350
x y x y -≤⎧⎨
-+≥⎩，则2z x y =--的最小值为（ ）
A ．2
B ．0
C ．-2
D ．-4 【答案】D
考点：简单的线性规划问题．
7．在等腰ABC ∆中，4BC =，AB AC =，BA BC ⋅=（ ） A ．4- B ．4 C ．8- D ．8 【答案】D 【解析】
试题分析：cos BA BC BA BC ABC ⋅=∠cos BA ABC BC =∠⋅2211
4822
BC ==⨯=，故选D ．
考点：向量的数量积． 8．要得到函数()cos(2)3f x x π
=+的图象，只需将函数()sin(2)3
g x x π
=+的图象（ ） A ．向左平移2
π
个单位长度 B ．向右平移2
π
个单位长度 C ．向左平移4
π
个单位长度 D ．向右平移
4
π
个单位长度
【答案】
C
考点：三角函数图象变换．
9．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A
．60++ B
．60++ C
．60+ D
．60+ 【答案】A 【解析】
试题分析：题设三视图是下图中几何体ABCDEF 的三视图，由三视图中的尺寸，知其表面积为
142ADE S ∆=⨯⨯=4624ABCD S =⨯=,1
(63)4182ABFE DCFE S S ==⨯+⨯=
,
1
42
BCF S ∆=⨯=，
4第9题图
所以ABFE DCFE ABCD ADE BCF S S S S S S ∆∆=+++
+60=++，故选A ．
F
E
D
C
B
A
考点：几何的表面积．
10．函数2
22,1,
()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩且()3f a =-，则(5)f a -=（ ）
A ．74-
B ．54-
C ．34-
D ．1
4
- 【答案】
A
考点：分段函数．
11．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（ ）
B
C
D
A
O
P
O
P
O
P
P
O
【答案】
C
考点：函数的图象问题．
【名师点睛】本题考查实际问题的函数图象表示．作函数的图象，不管有没有函数的解析式，我们都能够通过研究函数的一些性质，描出函数的大致图象，研究函数定义域，函数图象与坐标轴（横、纵轴）的交点，对称性（对称轴、对称中心），单调性，周期性，极值（最值），凹凸性等等．
12．若函数()y f x =对任意(,)22
x ππ
∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>，则下列不等式成
立的是（ ） A ．
()()34f f ππ-<- B
()()34
f ππ
<
C ．(0)2()3
f f π
> D
．(0)()4
f π
>
【答案】A 【解析】
试题分析：设()()cos f x g x x =
，则2
'()cos ()sin '()cos f x x f x x
g x x
+=，由题意'()0g x >，所以()g x 是增函数，又34ππ-<-，所以()()34g g ππ-<-，即
()()34cos()cos()34
f f ππ
ππ--<--，即
()()34
f ππ
-<-，故选A ．
考点：导数与函数的单调性．
【名师点睛】本题考查函数的导数与单调性的关系．解此类题的关键是构造一个函数，使其导数与已知不等式相关（如能相等进最好的了），象本题一样构造出函数()
()cos f x g x x
=
， 2'()cos ()sin '()cos f x x f x x
g x x
+=
，这样由已知可得'()0g x >，从而得出新函数()g x 的单调
性，利用单调性得出所要的结论．
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知平面直角坐标系中，角α终边过点(2,1)P ，则2cos sin 2αα+的值为 ． 【答案】
85
考点：三角函数的定义，二倍角公式．
14．已知向量(2,1)a =，(2,3)b =-，且()(3)ka b a b -+，则实数k 等于 ．
【答案】13
- 【解析】
试题分析：由已知(22,3)ka b k k -=-+，3(8,8)a b +=-，由()
(3)ka b a b -+得
8(22)8(3)k k --=+，解得1
3
k =-．
考点：向量平行的坐标表示．
15．函数21y ax =-在[0,2]上的最大值是7，则指数函数x
y a =在[0,3]上的最大值与最小值之和为 ． 【答案】9
【解析】
试题分析：显然21y ax =-在[0,2]上是单调的，0x =时，1y =-，所以417a -=，2a =，函数2x
y =在[0,3]上的最小值为021=，最大值为328=，和为9． 考点：函数的最值．
【名师点睛】1．一次函数()f x ax b =+不是增函数就是减函数，所以其在闭区间上的最值一定在区间端点处取得．
2．指数函数x
y a =(01)a a >≠且与对数函数log a y x =(01)a a >≠且在01a <<时是减函数，在1a >时，是增函数，所以这两类函数的单调性要按a 分类． 16．埃及数学中有一个独特现象：除2
3
用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如
211
5315
=+，能够这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得11
315+．形
如2(5,7,9,11,)n n =的分数的分解：2115315=+，2117428=+，2119545=+，按此规律，211= ；2
n
= (5,7,9,11,)n =． 【答案】11666
+；11
1(1)22
n n n +
++
考点：归纳推理，合情推理．
【名师点睛】1.归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.
2.归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的.
特别提醒：归纳推理所得结论未必准确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，公比1q >，22a =，前三项和37S =．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，12
1
n n n c b b ++=
⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
【答案】（1）12n n a -=；（2）
1
n
n +．
(Ⅱ)由(Ⅰ)中, 12n n a -=,122log log 21n n n b a n -===-…………8分
∴121111
()(n 1)1
n n n c b b n n n ++=
==-⋅⋅++ ………………10分
∴1
111)111()3121()211(21+=
+-=+-++-+-=+++=n n
n n n c c c T n n ……12分 考点：等比数列的前n 项和，裂项相消法求和．
18．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，60CAB ∠=，
4AC =
，BC = （1）求ABC ∆的面积；
（2）若函数()sin()f x M x ωϕ=+(0,0,)2
M π
ωϕ>><
的图象经过A 、
C 、B 三点，且A 、B 为()f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，求()f x 的解析式．
【答案】（1
）；（2）()4sin(
)63
f x x π
π
=+．
第18题图
)3
6sin(4)(π
π+=∴x x f ． ………………12分 考点：三角形的面积，余弦定理，三角函数的解析式．
【名师点睛】确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤：
1.求A,b ,确定函数的最大值M 和最小值m ,
则A=,b=. 2.求ω,确定函数的周期T ,则ω=.
3.求φ,常用方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b 已知)或代入图象与直线y=b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
(2)五点法：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=;“第五点”为ωx+φ=2π.
19．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，AB =AD =
，M 为DC
的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．
（1）求证：AD BM ⊥； （2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，三棱锥E ADM -的体积与四棱锥D ABCM -的体积之比为1:3？
第19题图
【答案】（1）证明见解析；（2）E 为DB 的中点．
考点：面面垂直的性质，线线垂直，棱锥的体积．
20．（本小题满分12分）小明同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1所示，网球场前半区、后半区总长为23.77米，球网的中间部分高度为0.914米，发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直．为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算，发射器和网球大小均忽略不计．如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上的球场中轴线上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1米．已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程2211(1)(0)280
y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向相关．发射器的射程是指网球落地点的横坐标．
（1）求发射器的最大射程；
（2）请计算k 在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标a 最大为多少？并请说明理由．
【答案】（1）20米；（2）1922
k <<，击球点的横坐标 a 最大为14．
(Ⅱ)网球发过球网，满足8x =时1y >． 所以244(1)15
k k -+>，即242090k k -+<， 第20题图
所以1922
k << ………………8分 依题意：关于k 的方程
2211(1) 2.55280ka k a -+=在19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上有实数解 即222402040a k ak a -++= ………………9分
22240204(0)a k ak a a -++≠
()222160042040a a a ∆=-+≥
得14a ≤， ………………11分 此时107
k =，球过网了， 所以击球点的横坐标 a 最大为14 ………………12分
考点：函数的应用．
21．（本小题满分12分）已知函数(),x
f x e x R =∈．
（1）若直线y kx =与()f x 的反函数的图象相切，求实数k 的值；
（2）若0m <，讨论函数2()()g x f x mx =+零点的个数． 【答案】（1）1e
；（2）当2(,)4e m ∈-∞-时，函数()g x 有三个零点； 当24e m =-时，函数()g x 有两个零点；当2
(,0)4
e m ∈-时函数()g x 有一个零点．
(Ⅱ) 函数2()()g x f x mx =+的零点的个数即是方程2
()0f x mx +=根的个数， 等价于两个函数2()x
e h x x
=与函数y m =-图象交点的个数．
当2(,)4e m ∈-∞-时，曲函数2()x
e h x x
=与函数y m =-图象交点的个数为3.…………11分
综上所述，当2
(,)4
e m ∈-∞-时，函数()g x 有三个零点； 当2
4
e m =-时，函数()g x 有两个零点； 当2
(,0)4
e m ∈-时函数()g x 有一个零点．………………12分 考点：利用导数求曲线的切线，函数的零点．
【名师点睛】曲线()y f x =“在点00(,)P x y 处的切线”与“过点00(,)P x y 的切线”的区别与联系：
①曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线是指P 为切点，切线斜率为0'()k f x =的切线，是唯一的一条切线．
②曲线()y f x =过点00(,)P x y 的切线，是指切线经过P 点．点P 能够是切点，也能够不是切点，而且这样的直线可能有多条．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4-1 几何证明选讲
如图，BC 是圆O 的直径，点F 在弧BC 上，点A 为弧BF 的中点，作AD BC ⊥于点D ，BF 与AD 交于点E ，BF 与AC 交于点G ．
（1）证明：AE BE =；
（2）若9AG =，7GC =，求圆O 的半径．
【答案】（1）见解析；（2）10．
（2）由ABG ACB ∆∆知2916AB AG AC =⋅=⨯
12AB = ……………8分
直角ABC ∆中由勾股定理知20BC = ……………9分
圆的半径为10 ……………10分
考点：圆周角定理，相似三角形的性质．
23．（本小题满分10分）选修4-4 极坐标与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，曲线13cos :2sin x C y αα
=⎧⎨
=⎩（α为参数）． （1）求曲线1C 的普通方程；
（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．
【答案】（1）22
194
x y +=；（2．
（2）曲线C 的普通方程是：2100x y +-= ……………5分
设点(3cos ,2sin )M αα，由点到直线的距离公式得：
)10d αϕ--其中34cos ,sin 55ϕϕ==………9分
0αϕ∴-=时，min d =98(,)55M
………10分 考点：椭圆的参数方程，坐标变换，点到直线距离公式．
24．（本小题满分10分）选修4-5 不等式证明选讲 已知函数()1020f x x x =-+-，且满足()1010f x a <+()a R ∈的解集不是空集．
（1）求实数a 的取值范围；
（2）求2
4a a +的最小值． 【答案】（1）0a >；（2）3
考点：不等式有解问题，基本不等式．。