2017-2018学年宁夏石嘴山市第三中学高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2017-2018学年宁夏石嘴山市第三中学
高二下学期期末考试数学（文）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘
贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
1．已知集合则
A ． {0,1}
B ． {−1,0,1}
C ． {−2,0,1,2}
D ． {−1,0,1,2}
2．在复平面内，复数对应的点位于
A ． 第一象限
B ． 第二象限
C ． 第三象限
D ． 第四象限
3．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
A ． (0，1)
B ． (1，2)
C ． (2，4)
D ． (4，+)
4．已知函数
A ． 偶函数，且在R 上是增函数
B ． 奇函数，且在R 上是增函数
C ． 偶函数，且在R 上是减函数
D ． 奇函数，且在R 上是减函数
5．函数导函数图像如下图，则函数的图像可能是
A ．
B ．
C ．
D ． 6．若 ，则 A ．
B ．
C ．
D ．
7．执行下面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n= A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 8．函数f (x )=sin(x +)+cos(x −)的最大值为 A ．
B ． 1
C ．
D ．
9．（2018年全国卷Ⅲ文）函数的最小正周期为 A ．
B ．
C ．
D ．
此卷只装订不密封
班
级
姓
名
准
考证
号
考场
号
座位
号
10．若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值
A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关
11．下列说法正确的是
A．函数的图象的一条对称轴是直线
B．若命题：“存在”，则命题p的否定为：“对任意”
C．
D．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
12．在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O为始边，OP 为终边，若，则P所在的圆弧是
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．函数的图像可由函数的图像至少向右平移________个单位长度得到．14．在中，，，，则．
15．函数的值域为________．
16．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是
__________．
三、解答题
17．已知函数
, .
（1）如果点
是角终边上一点,求的值；
（2）设,用“五点描点法”画出的图像（）.
18．已知函数.
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）设函数.当时，，求的取值范围.
19．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，直线过点且倾斜角为，并与圆交于两点．
（1）求的取值范围；
（2）求的轨迹的参数方程．
20．已知函数.
（1）求曲线在点（0,f(0)）处的切线方程；
（2）求函数在区间[0，
]上的最大值和最小值.
21．已知函数，.
（1）求的单调递增区间；
（2）设△ABC为锐角三角形，角A 所对边，角B 所对边，若，求△ABC的面积.
22．设函数，．
（1）求的单调区间和极值；
（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．
2017-2018学年宁夏石嘴山市第三中学
高二下学期期末考试数学（文）试题
数学答案
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
首先求得集合A,然后结合交集的定义整理计算即可求得最终结果.
【详解】
求解绝对值不等式可得：，
结合交集的定义可知：{−1,0,1}.
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．A
【解析】
试题分析：，故复数对应的点位于第一象限
考点：复数的概念
3．C
【解析】
因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)．选C
4．B
【解析】
【分析】
由题意结合函数的解析式分别考查函数的单调性和函数的奇偶性即可确定正确选项.
【详解】
函数的定义域为，关于坐标原点对称，
解析式，则，据此可知函数为奇函数，
且，均为单调递增函数，故函数是增函数，
综上可得：是奇函数，且在R上是增函数.
本题选择B选项.
【点睛】
正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．5．D
【解析】
【分析】
结合导函数与原函数图象之间的关系排除错误选项即可确定正确选项.
【详解】
由导函数在上的图象可知原函数在区间上先单调递减，再单调递增，则选项AC错误；
由导函数在上的图象可知原函数在区间上先单调递增，然后单调递减，再单调递增，则选项B错误；
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查原函数图象与导函数图象之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．D
【解析】
.
分子分母同时除以，即得：.
故选D.
7．B
【解析】
试题分析：模拟执行程序, 可得,执行循环体,,不满足条件,执行循环体,, 不满足条件,执行循环体
,
, 不满足条件,执行循环体,,
不满足条件
,退出循环, 输出的值为,故选B.
考点：1、程序框图；2、循环结构.
8．A
【解析】 由诱导公式可得，
则, 函数的最大值为.
所以选A.
【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
9．C
【解析】
分析:将函数进行化简即可 详解：由已知得 的最小正周期
故选C.
点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题
10．B
【解析】 因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B ． 【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 11．B 【解析】 【分析】 由题意逐一考查所给的命题的真假即可. 【详解】 逐一考查所给命题的真假： 当时，，函数在处无法取得最值，则不是函数的对称轴，选项A 说法错误； 特称命题的否定为全称命题，则若命题p ：“存在”，则命题p 的否定为：“对任意”，选项B 说法正确； 当时，，选项C 说法错误； 当时，直线与直线互相垂直，选项D 说法错误； 本题选择B 选项. 【点睛】 当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假. 12．C 【解析】 【分析】 将原问题转化为三角函数比较大小的问题，然后在同一个直角坐标系中绘制三角函数的图象即可确定正确的选项. 【详解】 题中的问题等价于在区间上确定的角终边的范围，
在同一个直角坐标系中绘制函数的函数图象如图所示，
观察可得，满足题意的的取值范围是：，
则其对应的P 所在的圆弧是.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，三角函数图象的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．
【解析】
试题分析：因为，所以函数的的图像可由函数的
图像至少向右平移个单位长度得到．
【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式
【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．
14．
【解析】
由正弦定理，得，即，所以，所以.
考点：正弦定理.
15．
【解析】
试题分析：由时，，当时，，∴的值域．
考点：函数值域．
16．
【解析】
∵函数的定义域为，恒成立，即等价于，令，则，令，则在
上恒成立，∴在上单调递增，，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，则，故，故答案为.
17．（1）；（2）（）.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知
, ,结合两角和差正余弦公式可得.
（2）由题意结合辅助角公式可得：（）,据此结合函数的定义域五点绘图绘制函数的图象即可.
【详解】
（1）因为点（）是角终边上一点, 所以
, ,则：
（）
.
（2）
（）, 绘制表格如下：
描点绘制函数图象如图所示：
【点睛】本题主要考查两角和差正余弦公式，辅助角公式，三角函数图象的应用等知识，意在
考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）当
时；（2）由
等价于
，解之得.
试题解析：（1）当
时，.
解不等式，得.
因此，的解集为.
（2）当时，，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ①
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是.
考点：不等式选讲.
19．（1）；（2）（为参数，）
【解析】
【分析】
（1）当时满足题意，否则，圆心到直线的距离小于半径时满足题意，据此讨论计算可得的
取值范围是；
（2）由题意结合直线参数方程的几何意义和中点公式可得中点的轨迹的参数方程为
（为参数，）
【详解】
（1）的直角坐标方程为．
当时，与交于两点．
当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得
或，即或．
综上，的取值范围是．
（2）的参数方程为为参数，．
设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．
于是，．又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是为参数，．
【点睛】
本题主要考查直线参数方程的几何意义，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．（1）（2）最大值为最小值为.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得,
则，，切线方程为.
（2）令，解得
.据此计算极值点处的函数值和区间端点处的函数值可得函数的最大
值为，最小值为.
【详解】
（1）因为，所以,.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（2）令，解得
.
又
故求函数在区间[0，
]上的最大值为和最小值.
【点睛】
在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
21．（1）;（2）
【解析】
试题分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．
试题解析：（1）函数
由，解得
时，，可得的增区间为
（2）设△ABC为锐角三角形，
角A 所对边，角B所对边b=5，
若，即有
解得，即
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A，
化为c2﹣5c+6=0，
解得c=2或3，
若c=2，则
即有B为钝角，c=2不成立，
则c=3，
△ABC 的面积为
22．（1）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（2）证明详见解析.
【解析】
试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先对求导，令解出，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当
时，函数取得极小值，同时也是最小值；（Ⅱ）利用第一问的表，知为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值，从而解出，下面再分情况分析函数有几个零点.
试题解析：（Ⅰ）由，（）得
.
由解得
.
与在区间上的情况如下：
所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；
在处取得极小值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为. 因为存在零点，所以，从而. 当时，在区间上单调递减，且，
所以是在区间上的唯一零点.
当时，在区间上单调递减，且，，
所以在区间上仅有一个零点.
综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.
考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.。