简支梁桥有载频率分析

收稿日期:2003211225
作者简介:唐贺强(1978-),男,硕士研究生.
文章编号:025822724(2004)0520628205
简支梁桥有载频率分析
唐贺强,沈锐利
(西南交通大学土木工程学院,四川成都610031)
摘　要:根据桥梁固有频率的定义求解桥梁振动微分方程,给出了列车荷载作用下简支梁桥有载频率的解析表达式.研究表明,桥梁有载频率与其上作用车辆的简化模型、过桥车辆数、行车速度以及桥梁跨度等有关:1辆车简化为4个或2个轮对时,桥梁有载频率很接近,比较符合实际情况;车辆总长超过桥梁跨度时,桥梁有载频率呈稳定的周期性变化;桥梁有载频率随时间变化,与车辆在桥上的位置有关,且行车速度越快,频率变化越快.关键词:简支梁;车桥耦合;微分方程;固有频率
中图分类号:U441+.3;U448.21+7 文献标识码:A
Analysis of Loaded Frequency of Simply 2Supported Beam Bridge
T ANG He 2qiang ,SHEN Rui 2li
(School of Civil Eng.,S outhwest Jiaotong University ,Chengdu 610031,China )
Abstract :Based on the definition of natural bridge frequency ,the analytical expression of loaded frequency of a sim ply 2supported beam bridge under train loads was given through s olving the vibration differential equation for bridges .The research shows that the loaded frequency of a bridge is in relation to the sim plified m odels of a vehicle ,the number of vehicles passing the bridge ,train speed ,bridge span and s o on.The loaded frequency obtained is very proximate to the actual value when a vehicle is sim plified as 4or 2wheelsets.It varies periodically when the total length of a train is larger than the bridge span.Furtherm ore ,the loaded bridge frequency changes with time ,relative to the location of vehicles on a bridge ,and the faster a train m oves ,the m ore quickly the frequency varies.
K ey w ords :sim ply 2supported beam ;vehicle 2bridge coupling ;differential equation ;natural frequency 研究桥梁在移动(车辆)荷载作用下的强迫振动时,其有载频率是非常重要的参数,只有知道了桥梁的有载频率,才能正确分析其共振条件.高速铁路线上简支梁桥桥梁与车辆的共振速度问题[2]、车桥耦合振动系统中采用移动力、移动质量和移动振动系统3类模型对振动计算结果的影响等问题[3]都与桥梁有载频率有关.
文献[1]将移动荷载简化为一个移动质量块,将其固定在梁上某一位置,用传递矩阵法计算有附加质量块的简支梁的频率,将其作为简支梁的有载频率,并讨论了质量块固定在不同位置时各阶频率和振型的变化.文献[1]的分析方法并不适合于桥梁,特别是铁路桥梁有载频率的分析.因为,(1)通过铁路桥梁的列车是由多辆车辆组成的,车辆是连续通过桥梁结构的,不能将其简化为一个单一的集中质量块;(2)列车是快速移动的,多辆车辆过桥将形成一个稳定的桥梁有载频率区间,这种有载频率区间比按固定质量块位置算出的有载频率更能反应桥梁结构在列车通过时的动力性能.
本文将列车简化为移动的集中质量列,给出了列车荷载作用下简支梁桥有载频率的解析表达式,并讨第39卷　第5期2004年10月 西　南　交　通　大　学　学　报JOURNA L OF S OUTHWEST J I AOT ONG UNI VERSITY
V ol.39　N o.5Oct.2004
论了列车通过不同跨度的简支梁桥时桥梁有载频率的变化规律.
1　匀速移动质量作用下简支梁的有载频率
如图1,以匀速v 向右运动的多个时变荷载F i 通过简支梁桥.假设在t =0时刻,荷载F 1位于桥梁左端支承处;在时刻t 时,荷载F 1移动到距离梁左端支承vt 处.假定简支梁为Euler 2Bernoulli 梁[4],即不考虑剪切变形和转动惯量的影响,且假设该梁为匀质等截面梁,也不考虑阻尼的影响
.图1　简支梁上匀速通过多个移动荷载
Fig.1　M ovable loads passing a sim ply 2supported beam at a uniform velocity 简支梁在多个外荷载F i 作用下的振动微分方程为[5,6]
EI 54y (x ,t )54x +m 52y (x ,t )52t =∑i
δ(vt -x i )F i u vt -x i L ,(1)式中:EI 为梁的抗弯刚度,假定为常数;m 为梁单位长度上的质量,也假定为常数;y (x ,t )为x 处时刻t 的位移;δ为Dirac 函数;x i 为第i 个荷载到第1个荷载的距离,x 1=0;L 为简支梁的跨度;u (ξi )为分段函数,其中ξi =(vt -x i )/L.
u (ξi )=10≤ξi ≤1,0其它.
设强迫振动的动力位移y (x ,t )可采用振型叠加的形式表示:
y (x ,t )=
∑N
n =1A n (t )<n (x )　(n =1,2,…,N ),(2)
式中:<n (x )为振型,与时间无关,是系统固有的,对于简支梁,<n (x )=sin (n
πx/L );A n (t )为模态坐标,仅是时间t 的函数;N 为所取振型的阶数.
将式(2)代入式(1),利用振型的正交性,等式两边同乘以<n (x )sin (n
πx/L ),并对x 从0到L 积分,可得到解耦的强迫振动方程
A ¨n (t )+ω20n A n (t )=∑i 2F i mL u vt -x i L sin n π(vt -x i )L
　(n =1,2,…,N ),(3)式中:ω0n 为等截面简支梁的各阶无载固有圆频率,
ω20n =EI
∫L 0
52<n (x )5x 22d x m ∫L 0
<2n (x )d x =
n 4π4EI L 4m . 若作用于简支梁上的荷载F i 由移动质量产生,即考虑移动荷载本身质量的惯性力,则在任一时刻t ,荷载对桥梁的作用力等于重力与其惯性力的合力,即
F i (x ,t )=m i g -m i y ¨i ,
(4)式中:m i 为各移动质量;g 为重力加速度;y ¨i 为各移动质量的加速度.
假定移动质量在移动过程中始终与梁保持接触,则y ¨i 也是各质量作用点处梁的加速度.将式(4)代入式(3),各阶振型的强迫振动微分方程为
A ¨n (t )+ω20n A n (t )=∑i 2(m i g -m i y ¨i )mL u vt -x i L sin n π(vt -x i )L
　(n =1,2,…,N ).(5)926第5期唐贺强等:简支梁桥有载频率分析
由式(2),得
y ¨i =∑N n =1A ¨n (t )sin n π(vt -x i )L
　(n =1,2,…,N ).将上式代入式(5),可得
A ¨n (t )+ω20n A n (t )=
∑i 2m i g -
∑N n =1A ¨n (t )sin n π(vt -x i )L mL ×u vt -x i L
sin n π(vt -x i )L (n =1,2,…,N ).(6) 对简支梁桥,一般1阶频率对振动影响最大,故本文只讨论1阶频率.取N =1,式(6)可化为
1+2mL ∑i m i u vt -x i L sin 2π(vt -x i )L
A ¨1(t )+ω201A 1(t )=2g
mL ∑i m i u vt -x i L
sin π(vt -x i )L ,则ω21=ω2011+2mL ∑
i m i u vt -x i L
sin 2
π(vt -x i )L ,(7)式中,ω1为等截面简支梁1阶有载圆频率(其1阶工程频率f 1=ω1/2π).从式(7)可见,在移动质量荷载作用下,结构的频率随时间变化,与质量在梁上的位置有关.2　算例及分析
上述推导是在假定简支梁的振型<n (x )=sin (n
πx/L )的条件下得到的.一般说来,在外载作用下,简支梁的1阶振型比较符合<n (x )=sin (n
πx/L ),所以,根据式(7)绘出ω1与各量的关系曲线并加以分析.当假设简支梁的振型为其它表达式时,可以仿照上述思路推导出相应的频率表达式.
算例选用我国拟建高速铁路桥梁中采用的双线整孔简支箱梁,参数见表1.采用的车辆荷载为准高速车辆,车体质量为34.0t ,每台转向架构架质量为3.0t ,每一轮对质量为1.4t ;车辆定距之半为
9.0m ,转向架固定轴轴距之半为1.2m ,车体全长(车钩到车钩距)为26.575m.当简化为4个轮对时,每个轮对承受的总质量为m i =11.4t.
表1　桥梁参数
T ab.1　The parameters of the bridge
桥梁跨度/m 桥梁截面型式梁高/m
梁单位质量/(t ・m -1)弹性模量/G Pa 惯性矩/m 41阶自振频率/(rad ・s -1)20单箱单室 1.9
16.8735.0 3.095862.532124单箱单室 2.1
20.3035.0 4.557848.033132单箱双室 2.5
20.7035.0 6.789132.655448双箱单室 3.423.4435.513.908619.6605
2.1　有载频率与车辆简化模型的关系
如图2,将每一车辆分别简化为1,2和4个轮对集中质量.采用表1中的桥梁参数,按5辆车匀速过桥绘出的有载频率随车辆位置变化的曲线如图3示.在图3中,各点的x 值为各简化模型的第1个轮对距桥梁左端的距离.从图3可见,简化为2和4个轮对时结果大致相同,这是由于1个转向架中2个车轮距离相近,直接采用2个车轮或将2个车轮合为1个轮对的作用效果相当;而简化为1个轮对时误差较大.
(a )简化为1个轮对(实线) (b )简化为2个轮对(实线) (c )简化为4个轮对
图2　车辆简化模型
Fig.2　The sim plified m odels of a vehicle
036西　南　交　通　大　学　学　报 第39卷
(a )L =20m
(b )L =24m
(c )L =32m (d )L =48m
图3　不同简化模型和跨度时的ω12x 关系
Fig.3　The relation between ω1and x for different sim plified m
odels of a vehicle and beam spans 图3说明,车辆过桥时,桥梁的有载频率呈周期性变化,不是一个定值,变化范围与桥梁跨度、车桥质量比及车辆长度等参数有关.
2.2　有载频率与过桥车辆数的关系
分别按1,2和5辆(多辆)车过桥,每辆车简化为4个轮对集中质量模型,跨度为20和32m 时简支梁
的有载频率曲线如图4.从图4可见,车辆总长超过桥梁跨度时,桥梁有载频率呈稳定的周期性变化.
(a )L =20m (b )L =32m
图4　过桥车辆数不同时的ω12x 关系
Fig.4　The relation between ω1and x for different numbers of vehicles passing a sim ply
2supported beam bridge 2.3　有载频率与桥梁跨度和行车速度的关系
对于跨度为32和48m 的简支梁,行车速度v 分别为41.667,55.556和69.444m/s (分别对应于150,200和250km/h )时,6辆车连续通过简支梁桥,每辆车简化为4个轮对集中质量模型,并设在t =0.5s 时第1辆车辆的第1个轮对开始上桥,有载频率随时间的变化如图5所示.
从图5可以看出:跨度越大,即车桥质量比越小,有载频率的变化幅度越小,比无载频率降低得越少;行车速度越快,有载频率的变化越快.
1
36第5期唐贺强等:简支梁桥有载频率分析
(a )L =32m (b )L =48m
图5　ω12t 曲线
Fig.5　The relation between ω1and t
当把作用在桥梁上的列车简化为匀布质量叠加在桥梁上时,也可以计算出一个有载频率.对于上述的车辆质量和车辆长度,可计算出车辆单位长度的质量为1715.89kg/m ,将其直接叠加到桥梁单位长度的质量中,可计算出跨度为32和48m 时有载频率(简化法)分别为31.3806和18.9780rad/s ,相当于按本文的四轴移动集中质量计算的有载频率的平均值.
3　结论
(1)车辆模型的简化形式对桥梁有载频率有影响,把1辆车简化为4个或2个轮对的集中质量模型比较符合实际情况,二者频率很接近,简化为1个轮对集中质量模型误差较大.
(2)桥上作用的车辆总长超过桥梁跨度时,桥梁有载频率呈稳定的周期性变化.
(3)桥梁有载频率随时间变化,与车辆在桥上的位置有关;车辆运行速度越快,频率变化的速度也越快;桥梁跨度越大,单位长度的质量越大,其有载频率的变化幅度越小.
参考文献:
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(中、英文编辑:付国彬)236西　南　交　通　大　学　学　报 第39卷。