高考数学考前100个提醒之欧阳学文创作

回归课本:高考数学考前
100个提醒
欧阳学文
高三三轮复习资料
一、集合与简易逻辑
1、区分集合中元素的形式，如{}x y x lg |=，{}|ln y y x =，{}(,)|x y y kx b =+.
解题时要利用数形结合思想尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具；
2、已知集合A 、B ，当A
B =∅时，切记要注意到“极端”情
况：∅=A 或∅=B ；
求集合的子集时别忘记∅；φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、含n 个元素的有限集合的子集个数为0122n n n n n n C C C C =+++⋅⋅⋅+,
真子集为，12-n 其非空子集、非空真子集的个数依次为，
12-n .22-n 4、反演律(摩根律)：(),()u u u u u u C A
B C A C B C A B C A C B ==. 容斥原理:card （A B ）=card （A ）+ card （B ） card （A B ）.
5、A∩B=A ⇔A∪B=B ⇔A ⊆B ⇔CUB ⊆CUA ⇔A∩CUB=∅⇔CUA ∪B=U.
6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题(正难则反)。

7、原命题: p q ⇒;逆命题: q p ⇒;否命题: p q ⌝⇒⌝；
逆否命题: q p ⌝⇒⌝；
要注意利用“互为逆否的两个命题是等价的”来解题.
8、若p q ⇒且q p ≠>，则p 是q 的充分非必要条件（或q 是p 的必要非充分条件）;
9、注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别:
命题的否定只否定结论；否命题是条件和结论都否定.
命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝.
10、要熟记真值表噢！常见结论的否定形式如下：
二、函数与导数 11、函数f : A B →是特殊的对应关系．特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点,但
与y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个．函数的三要素：定义域,值域,对应法则．
研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则．
12、一次函数:0 0 R .y kx b k R k =+>↑<↓，，
；，(k≠0), b=0时是奇函数;
依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题.
二次函数：①三种形式:一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠(轴b/2a,
顶点?); b=0为偶函数;顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠(轴?);零点式12
()()()(0)f x a x x x x a =--≠; ②区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系;
③实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
反比例函数:)0x (x c y ≠=平移⇒c y b x a =+
-的对称中心为(a, b). 13、指数式、对数式：
m
n a =1m
n m n a a -=，01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51
+=，log ln e x x =，log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，
log a N a N =(对数恒等式). 要特别注意真数大于零，底数大于零且不等于1，字母底数还需讨论的呀.
对数的换底公式及它的变形，
log log ,log log ,log log log n m n n c a a a a a c b n b b b b b a m
===. 14、你知道函数()0,0>>+=b a x b a x y
吗？该函数在(,-∞
或
)+∞
上单调递增；在[
或上单调递减，求导易证，这可是一个应用广泛的函数！ 对号函数a y x x
=+是奇函数,0,(0),(0)a <-∞+∞时在区间，，上为增函数;
0,(0a >时在递减
,()-∞+∞在，递增.要熟悉其图像噢.
15、确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等．
注意：①. 0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。

如函数3)(x x f =
在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是
)(x f 为增函
数的充分不必要条件。

②. 单调区间是最大范围，注意一定不能写成“并”.
③.复合函数由同增异减判定、图像判定.作用:比大
小,解证不等式.
16、奇偶性：f(x)是偶函数⇔()()(||)f x f x f x =-=，脱号性，避免
讨论;
f(x)是奇函数⇔f(x)=f(x);定义域含零的奇函数必
定过原点(f(0)=0);
定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必
要而不充分条件。

奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；
偶函数则为相反的单调性；
注意：既奇又偶的函数有无数个 (如()0f x =，只要定义域关于原点对称即可)．
17、周期性:①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数；②若1()(0)()
f x a a f x +=±≠恒成立，则2T a =；
③满足条件()()f x a f x a +=-的函数的周期2T a =.
18、图象变换: “左加右减”（注意是针对x 而言）、 “上加下减”(注意是针对()f x 而言).
①函数()a x f y +=的图象是把()x f y =的图象沿x 轴向左)0(>a 或向右)0(<a 平移a 个单位得到的；②函数()x f y =+a 的图象是把()x f y =的图象沿y 轴向上
)0(>a 或向下)0(<a 平移a 个单位得到的；③函数()ax f y =)0(>a 的图象
是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a
1倍得到的；④
函数()x af y =
)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的.
19、函数的对称性:①满足条件()()f a x f a x +=-的函数的图象关于直线x a =对称；
②点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；③点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；④函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=；
⑤点(,)x y 关于直线y x =的对称点为(,)y x ；曲线(,)0f x y =关于
直线y x =的对称曲线的方程为(,)0f y x =；点(,)x y 关于直线y x =-的对称点为(,)y x --；曲线(,)0f x y =关于直线y x =-的对称曲线的方程为(,)0f y x --=.
区别:若()()f a x f b x +=-,则()f x 图像关于直线2
a b x +=对称（自对称）;
函数
()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线
2a b
x +=互对称； 两函数()y f a x =+与()y f b x =
-关于直线2b a x -=互对称.(由a x b x +=-确定).
⑥如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有
b x a f x a f 2=-++）（）（， ⑦形如(0,)ax b y
c a
d bc cx d
+=≠≠+的图像是双曲线，对称中心是点(,)d a c c
-. ⑧|()|f x 的图象、(||)f x 的图象你会画吗？
20、几类常见的抽象函数模型：借鉴模型函数进行类比探究。

①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ()()()f x y f x f y ±=±；
②幂函数型：2()f x x = ()()()f xy f x f y =，()()()
x f x f y f y =； ③指数函数型：()x f x a = ()()()f x y f x f y +=，()()()f x f x y f y -=； ④对数函数型：()log a f x x =
()()()f xy f x f y =+，()()()x f f x f y y
=-； ⑤三角函数型：()tan f x x = ()()()1()()
f x f y f x y f x f y ++=-。

21、反函数:求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你别忘记注明该函数的定义域哟！
①函数存在反函数的条件是一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数；
③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数；④互为反函数的两函数具有相同的单调性；⑤f(x)定义域为A,值域为B,则有还原性：1[()]()f f x x x B -=∈,
1[()]()f f x x x A -=∈；⑥单调函数必有反函数，但反之不然，如1y x
=. 原函数与反函数图象的交点不全在y=x 上（如：单调递减函数x
y 1=），但单调递增函数则交点都在y=x 上；()1y f x a -=+只能理解为()x f y 1-=在x+a 处的函数值。

22、题型方法总结
Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同.
Ⅱ求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法――已知所求函数的类型.
（2）代换（配凑）法――已知形如(())
f g x的表达式，求f x的表达式。

()
这里值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()
f x的定义域应是()
g x的值域。

（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，得到关于()
f x及另外一个函数的方程组。

Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?偶次根式被开方数?对数真数?底数?零指数幂的底数?)实际问题有意义;若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x∈[a,b]时g(x)的值域；
Ⅳ求值域:①配方法；②逆求法（反求法）；③三角有界法；
④单调性法；⑤数形结合；
⑥换元法：运用换元法时，要特别注意新元t的取值范围；
⑦分离参数法;
⑧不等式法――利用基本不等式
a b a b R+
,)
+≥∈求函数的最值。

⑨判别式法；⑩导数法.
Ⅴ解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.
Ⅵ恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的
分布问题.
a≥f(x)恒成立⇔a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立⇔a≤[f(x)]min; Ⅶ利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、
递推法、反证法等）进行逻辑探究。

如：若x R ∈，()f x 满足
()()f x y f x +=()f y +，
则()f x 的奇偶性是______（答：奇函数）； 23、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是指：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处
切线的斜率,即0
()k f x '=,切线方程为()()000y y f x x x '-=-.
24、常见函数的导数公式:0C '=(C 为常数)；1()()n n x nx n Q -'=∈．
25、导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条;
⑵研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f/(x)≥0得增区间;
解不等式f/(x)≤0得减区间;注意f/(x)=0的点; ⑶求极值、最值步骤:求导数;求0)(='x f 的根;检验)(x f '在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值.
特别提醒：（1）0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导
数异号，而不仅是
()0f x '＝0，()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不
充分条件。

（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既
考虑0()0f x '=，又要考虑
检验“左正右负”(“左负右正”)的转
化，否则条件没有用完，
这一点一定要切记！千万别上当噢.
三、数列
26、11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,注意一定要验证a1是否包含在an 中,
从而考虑要不要分段.
27、
111()2(2,*,)n n n n n n a a a d a a a n n N -+-⇔-=⇔=+≥∈｛｝等差常数等差中项 ,,,?a b A B =;在等差数列中1212112121n n n n n n a a a S b b b T ----+==+;n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
仍成等差数列；
28、首项为正的递减(或首项为负的递增)等差数列前n 项和
最大(或最小)问题,
转化为解不等式组)0
0(0011⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++n n
n n a a a a 或,或用二次函数处理;(等比前n 项积?……).
29、等差数列1(1)n a a n d =+-;11(1)(1)()222
n n n a a n n n n s n na d na d +--==+=+-;
等比数列中11n n a a q -=;当q=1,Sn=na1；当q≠1,Sn=
q
q a n --1)1(1=q
q a a n
--11
.
30、常用性质：等差数列中：()n m a a n m d =+-；若q p n m +=+，则q p n
m a a a a +=+；
等比数列中：n m n m a a q -=； 若q p n m +=+，
则q p n m a a a a ⋅=⋅；
31、常见数列：{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
n b 1、{anbn}、⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
n n b a 等比;{an}等差,则
{}n
a c (c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0且c ≠1)等
差.
32、三数等差可设为,,a d a a d -+;四数3,,,3a d a d a d a d --++;
等比三数可设
,,a
a aq q
；四个数成等比的错误设法：
3
3
,,,a a aq aq q q
(为什么？ q2>0)
33、等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列Sm 、S2mSm 、S3mS2m 、S4m S3m 、……
仍为等差数列,公差为2m d ；等比数列{}n a 的任意连续m 项的和（且不为零时）
构成的数列Sm 、S2mSm 、S3mS2m 、S4m S3m 、……仍为
等比数列,公比为m q .
注：公比为1，n 为偶数时就不对，此时4S 、8S 4S 、12S 8S 、…
不成等比数列？
34、等差数列{}n a ,①项数2n 时,S 偶S 奇＝nd;项数2n1时,S 奇
S 偶＝an ;
②项数为n 2时，则q S S
=奇
偶
;项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶.
35、求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减法、倒序相加法.关键是要找准通项结构.
在
等
差
数
列
中
求
12121............n n m m n S a a a a a a a a +=+++=----+++；
在应用等比数列求前n 项和时，需要分类讨论：1=q 时，
1na S n =；
1≠q 时，q
q a S n n --=
1)
1(1.在等比数列中你还要时刻注意到0≠q . 常见和：(1)
1232
n n n ++++
+=
，222112(1)(21)6n n n n +++=++， 33332
(1)123[]2n n n ++++
+=；122123...1n n n =-+++++. (1) 你还记得常用裂项形式(拆项消去法)吗？ 如：
11
(1)!!(1)!
n n n n =-++；
111(1)1n n n n =-++；1111()()n n k k n n k =-++；22222111(1)(1)n n n n n +=-++; 111111111
[][()()](1)(2)2(1)(1)(2)2112n n n n n n n n n n n =-=---++++++++
；
222
1211
111111
n n n n n +=+=+----+;
=;
常见放缩公式：212=<
=．
36、求通项常法: （1）已知数列的前n 项和n S ,你现在会求通项n a 了吗？（2）先猜后证;
（3）叠加法(迭加法)：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+；
叠乘法(迭乘法)：
1
223322111a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅=----- . （4）构造法(待定系数法):形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为
常数）的递推数列。

（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决. （6）倒数法形如1
1n n n a a ka b
--=+的递推数列都可以用倒数法求通项。

37、“分期付款”中的单利问题、复利问题你熟悉吗？ 四、三角
38、一般说来，周期函数加绝对值或平方，其周期减半．（如
2sin sin y x y x ==，
的周期都是π, 但x x y cos sin +=的周期为2
π，x y tan =的周期
为π）．
弧长公式||l R α=,扇形面积公式
2
11||22
S lR R α==,1弧度
57.305718'≈=.
39、函数y=++⋅)sin(ϕωx A b （0,0>>A ω）①五点法作图;②振幅?相
位?初相?周期T=ωπ2,频率?ϕ=kπ时奇函数;ϕ=kπ+2π时偶函数.③对称轴处y 取最值,对称中心处y 为0;
（问问自己：正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的对称轴、
对称中心你熟记了吗？）
求单调区间：①确保x 系数为正；②让角进入单调区间; ④变换:ϕ正左移负右移；b 正上移负下移;
1
||
sin sin()sin()y x y x y x ϕω
ϕωϕ=−−−−−→=+−−−−−−−→=+横坐标伸缩到原来的倍
左或右平移1
||
sin sin sin()y x y x y x ϕω
ω
ωωϕ=−−−−−−−→=−−−−−→=+横坐标伸缩到原来的倍
左或右平移;
||sin()sin()A b y A x y A x b ωϕωϕ−−−−−−−→=+−−−−−→=++纵坐标伸缩到原来的倍上或下平移.
40、解斜三角形ABC ∆,易得：A B C π++=,
①sin sin A B A B =⇔=;sin sin a b A B A B >⇔>⇔>;
sin 2sin 22
A B A B A+B π
=⇔==
或;
②锐角ABC ∆中,90sin cos ,cos sin ,tan cot A B A B A B A B +>⇒><>, 222a b c +>; 类比得钝角ABC ∆结论．
③tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅,射影定理cos cos a b C c B =+； ④正弦定理:
2sin sin sin a b c
R A B C
===; 内切圆半径r=c
b a S
ABC
++∆2;
⑤余弦定理：222
22
2
22
()222cos ,cos 1b c a
b c a
bc
bc
a
b c bc A A +-+-=+-=
=
-;
⑥11
sin 224ABC
a abc S ah a
b C pr R
∆=
====?p =
⑦术语:坡度、仰角、俯角、方位角、方向角. 41、在三角中， x x x x 2222tan sec cos sin 1-=+=tan cot tan 4x x π
=⋅=sin
2
π
=
cos0==
这些统称为1的代换，常数“1”的代换有着广
泛的应用．
42、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视a 为锐角)
记住奇,偶,象限指什么？三角函数“正号”记忆口诀：
“一全正二正弦,三两切四余弦”．
43、重要公式：如21cos 2sin 2
αα-=；21cos 2cos 2
αα+=；
sin 1cos 1sin cos tan
2
1cos sin 1sin cos α
αααα
αααα
-+-====+++;
22
2
2
2
2
1tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan α
αααααα
-=-=-=-=+; 333sin 33sin 4sin ,cos 4cos 3cos αααααα=-=-.
巧变角(角的拆拼)：如()()ααββαββ=+-=-+，
()(),βαβααβα=+-=-+
2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22
αβ
αβ++=⋅，
(
)()2
2
2αβ
β
ααβ+=-
--
等.
44、辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的
象限由a,
b 的符号确定，θ角的值由a
b =θtan 确定)在求最值、化简
时起着重要作用.
在用反三角函数表示直线的倾斜角、两向量的夹角、两条异面直线所成的角等时，
你要注意到它们各自的取值范围及意义：①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是
]
,0[],2,0[,2,0πππ⎥⎦
⎤
⎝⎛；
②直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角的取值范围依次是]2
,0[),,0[),,0[πππ；
③向量的夹角的取值范围是[0,]π. 五、平面向量
45、向量定义、向量模、零向量、单位向量、逆向量、共线
向量、相等向量、平行向量.
注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量
可以平移）
46、加、减法的平行四边形与三角形法
则:AB BC AC +=;AB AC CB -=.
47、a b a b a b -≤±≤+,向量数量积的性质：设两个非零向量a ，,其夹角为θ,则：
①0a b a b ⊥⇔•=;若11(,)a x y =，22(,)b x y =,则//,a b ⊥的充要条件要熟记.
②222
,a a a a a a =•==；||||||a b a b •≤. 48、想一想如何求向量的模？a 在b 方向上的投影是什么？(是个实数,可正可负可为零!). 49、 若
→
1
e 和
→
2
e 是平面一组基底,则该平面任一向量
→
→
→
+=2211e e a λλ(21,λλ唯一).
特别：OP ＝1
2
OA OB λλ+则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的
充要条件。

50、三角形中向量性质：①AB AC
+过
BC
边的中点：
||
||
||
||
()()AB AC AB AC AB AC AB AC +⊥-；
②13
()0PG PA PB PC GA GB GC G =++⇔++=⇔为ABC ∆的重心；
222
GA GB GC ⇔++最小;
③H 为ABC ∆的垂心HA HB HB HC HC HA ⇔⋅=⋅=⋅,
2
2
2
2
22
HA BC HB CA HC AB
⇔==＋＋＋；
④
||||||0BC PA CA PB AB PC P
++=⇔为
ABC
∆的内心；向量
()||||
AC AB AB AC λ+
(0)λ≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直
线)；
外心2
22
O OA
OB OC ⇔==;
⑤向量面积公式你记住了吗？设
(,),(,)A A B B A x y B x y ,12
AOB A B B A
S x y x y ∆=
-．
222
1
1||||sin ||||()2
ABC S AB AC A AB AC AB AC ∆=
=-⋅．
51、定比分点公式中P 分2
1P P 的比为λ,则P P 1
=λ2P P ,λ＞0内分;λ
＜0且1-≠λ外分.
OP ＝
12
1OP OP λλ
++;若λ＝1 则OP ＝2
1(1OP +2OP );设P(x,y),P1(x1,y1),
P2(x2,y2)则12
1211x x x y y y λλλλ
+⎧=⎪⎪
+⎨
+⎪=⎪+⎩;中点121222
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨
+⎪=⎪⎩ ； 重心
1231
233
3G G x x x x y y y y ++⎧
=⎪⎪⎨
++⎪=⎪⎩
; 52、平移公式你记住了吗?（这可是平移问题最基本的方法）. 六、不等式
53、如果不等式两边同时乘以一个代数式，如果正负号未定，要注意分类讨论噢!
54、比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、
配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法； （4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法；(8)图象法。

55
2
(,0)112a b a b a b
+≥≥≥>+;
111()9(,,0)a b c a b c a b c ⎛⎫
++++≥> ⎪⎝⎭
.
利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式2
2⎪
⎭
⎫
⎝⎛+≤b a ab 等求函数
的最值时，你要注意
到a ，b +∈R ，且“等号成立”时的条件？积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值。

注意：①一正二定三等；②积定和最小,和定积最大。

常用的方法为：拆、凑、平方.
56、||||a b a b a b -≤±≤+(何时取等号？)；|a|≥a；|a|≥－a. 57、证法:①比较法:差比:作差变形(分解或通分配方)定号.另:商比、平方差比；
②综合法—由因导果;③分析法执果索因．基本步骤：要证…需证…,只需证…；④反证法正难则反。

⑤放缩法：
将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的： ⑴添加或舍去一些项，如：
a
a >+12；n n n >+)1(.
⑵将分子或分母放大（或缩小），如：221111
,(1)(1)
n
n n n n n <
>-+.
⑶利用基本不等式，如：
2
lg3lg5lg3lg5(
)lg 42
+⋅<==；.
⑷利用常用结论：
2)
1()1(++<
+n n n n ， Ⅰ、k
k
k k k 2111
1<
++=
-+；
Ⅱ、
k
k k k k 111)1(112--=-< ；
111)1(112
+-=+>k k k k k
（程度大）
Ⅲ、)11
11(21)1)(1(11112
2
+--=+-=-<
k k k k k k ； （程度小）
⑥换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。

如：
已知222a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==；
已知122≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )；
⑦最值法,如：方程()k f x =有解k D ⇔∈(D 为()f x 的值域)；
()a f x ≥恒成立[()]a f x ⇔≥最大值,()a f x ≤恒成立[()]a f x ⇔≤最小值．
58、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方;④公式法.
不等式的解集的规范书写格式是一般要写成集合的表达式!
解指对不等式应该注意指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.
59、分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法（穿线法）.注意偶次式与奇次式符号.
奇穿偶回。

在解含有参数的不等式时，是要进行讨论的（特别是指数和对数的底
<a或1>a）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等0<
1
式的解是…．
七、立几
60、位置：①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法;
②直线与平面呢? ③平面与平面呢?
61、你知道三垂线定理的关键是一面四直线，垂线是关键，垂直三处见，故曰三垂线.
62、求空间角：①异面直线所成角θ的求法：（1）范围：(0,]2
π
θ∈；
（2）求法：
平移以及补形法、向量法。

用“平移法”时要注意平移后所得角是所求角或其补角。

②直线和平面所成的角：（1）范围[0,90]；（2）斜线与平面中所有直线所成角中
最小的角。

（3）求法：作垂线找射影或求点线距离 （向量法）；
③二面角的求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影
法、法向量法。

63、平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间有什么联系?
三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面外心;
侧棱两两垂直(两对对棱垂直)⇔顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)⇔顶点在底面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则: S 侧cosθ=S 底;正三角形四心?内切外接圆半径?
64、空间距离:①异面直线间距离:找公垂线;②平行线与面间距离(两平行面间
距离)→点到面距离:直接法、等体积、转移法、垂面法、向量法PA n h n
⋅=
.
③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求; 正四面体(设棱长为
a )的性质：高a h 3
6
=，全面积2S =，
体积312
V =
；
相邻面所成二面角13
arccos α=；外接球半径4
R =
；内切球半径
12
r =
.
直角四面体的性质：(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体)．在直角四面体O ABC -
中,,,OA OB OC 两两垂直,令,,OA a OB b OC c ===,则⑴底面三角形ABC 为锐角三角形；
⑵直角顶点O 在底面的射影H 为三角形ABC 的垂心；
⑶2
BOC BHC ABC S S S ∆∆∆=； ⑷2222AOB BOC COA ABC S S S S ∆∆∆∆++=；⑸
2
2
2
2
1111OH
a
b
c
=
+
+
；⑹外接球半径
R =
65、求球面两点A 、B 距离: 关键是求出球心角。

①求|AB|;②算球心角∠AOB 弧度数;
③用公式L 球面距离=θ球心角×R;纬线半径r ＝Rcos 纬度.
球内接长方体222224l R a b c ==++;24S R π=;343
V R π=.
66、平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中
角度、长度不变;
67、立平斜三角余弦公式1
2
cos cos cos θθ
θ
=,你熟练掌握了吗?
68、 常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面
问题;②将空间图展开为平面图;③割补法;④等体积转化;⑤线线平行⇔线面平行⇔面面平行;
⑥线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直;⑦有中点等特殊点线,
用“中位线、重心”转化. 69、长方体:对角线长l =正方体和长方体外接球直
径=体对角线长;
已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,αβγ因此有
22cos cos αβ+2cos 1γ+=或222sin sin sin 2αβγ++=；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,αβγ,则有
222sin sin sin 1αβγ++=
或222cos cos cos 2αβγ++=． 八、解析
70、解析几何的本质是用代数的方法研究图形的几何性质。

要注意，但谁也别忘了它还是几何，要注意画图。

71、倾斜角[0,απ∈）,
arctan 0arctan 0
k
k k
k απ≥⎧=⎨
+<⎩.斜率12012tan ()y y A
k f x x x B
α-'==
=-=-.
当90k α=时不存在，但是直线是存在的.
直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0。

（截距不是距离” ！）
直线方程:点斜式00()y y k x x -=-;斜截式y kx b =+;一般
式:0Ax By C ++=; 两点式:
11
2121
y y x x y y x x --=
--;截距式:1x y a
b
+=(a≠0,b≠0);求直线方程
时要防止由于
零截距和无斜率造成丢解, (由局限性，所以设方程的点斜式或斜截式时，就应该
先考虑斜率不存在的情形）。

直线Ax+By+C=0的方向向量为a =( B, A)=(1,k).
72、两直线平行和垂直你记住了吗?
点线距d =呢
?d =
是什么?
1l 到2l 的角2112tan 1k k k k θ-=
+12(1)k k ≠-;夹角2112
tan 1k k
k k θ-=+12(1)k k ≠-;
73、线性规划：利用特殊点来判断.求
||OP =最值? 求
y b
k x a
-=-范围? 整点问题?（文科）
74、圆:⑴圆的标准方程? ⑵圆的一般方程圆心为2
2
(,)D E --,
⑶圆的参数方程：cos sin x a r y b r θ
θ
=+⎧⎨
=+⎩;⑷圆的直径式方程你会写吗?
75、若2222200()()(,)x a y b r r r -+-<=>，则 P(x0,y0)在222()()x a y b r -+-=内
(上、外).
在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形。

圆的几何性质别忘了。

76、处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆
的方程联立，判别式法。

一般来说，前者更简捷。

弦长公式
l =
77、圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半
径之间的关系．设两圆的圆心距为d ,两圆的半径分别为
,r R ：相离d R r ⇔=+⇔公切线有
4条；外切d R r ⇔=+⇔公
切线有3条；相交||R r d R r ⇔-<<+⇔公切线有2条；内切
||d R r ⇔=-⇔公切线有
1条；内含d R r ⇔<-⇔没有公切线；
0d =⇔两圆同心．
78、直线系方程系：过定点、平行、垂直的直线系方程你会
设吗？推广:椭圆、双曲线、抛物线?过曲线f1(x,y)=0与曲线f2(x,y)=0交点的曲线系方程为: f1(x,y)+λf2(x,y)=0.
过圆1
C ：
221110x y D x E y F ++++=,2
C ：222220x y
D x
E y
F ++++=交点的圆(相交弦)系方程为2222111222()()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=．
1λ=-时为两圆相交弦所在直线方程，
即两圆方程相减可得相交弦所在直线方程；
79、圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心).
圆
222
x y r +=上一点
00(,)
P x y ,则过点
P
的切线方程为：
200x x y y r +=；
圆222()()x a y b r -+-=上点0
(,)P x y 切线方程为
200()()()()x a x a y b y b r --+--=.
过圆x2+y2=r2外点P(x0,y0)作切线后切点弦方程:x0x+y0y=r2;
过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直ｘ轴.
80、椭圆:①方程22221(0)x y a b a b +=>>;参数方程⎩⎨
⎧==θ
θ
sin b y cos a x ;
②定义:1212||||2||PF PF a F F +=>;
注意：当122||a F F =轨迹为线段F1F2;122||a F F <轨迹为φ;
③e=2
2
a
b 1a c
-=
,222a b c =+，
2
椭圆有何特性？④长轴长为2a ，
短轴长为2b; ⑤焦半径：1
020,PF
a ex PF a ex =+=-(“左加右减”);左焦点弦
12||2()AB a e x x =++,
右焦点弦1
2||2()AB a e x x =-+; ⑥通径(最短焦点弦)
a
b 22,焦准距
p=c b 2
;
⑦2
1F PF S
∆=2
tan
b
2
θ
,当P 为短轴端点时∠PF1F2最大,近地点ac,
远地点a+c;
⑧点00(,)P x y 在椭圆22
22
00222211x y x y a b a b
+=⇔+<内.
81、双曲线:①方程22
221(0,0)x y a b a b
-=>>;等轴双曲线
a=b,e =
②定义:12||||||22PF PF a c -=<,注意：
122||a F F =是两射线;122||a F F >无轨迹.
③e=2
2
a b 1a c
+=
,222c a b =+;④四点坐标？x,y 范围?实虚轴、渐近
线交点为中心;
00(,)P x y 在不含焦点的区域2200
221x y a b
⇔-<.共轭双曲线有何结
论？
⑤焦半径1010||||,||||PF ex a PF ey a =+=+;2020||||,||||PF ex a PF ey a =-=-、 焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦点不同);到焦点距离常化为到准线距离; ⑥通径(最短焦点弦)
2
2b a
,焦准距
p 2b c
=
;⑦2
1F PF S
∆=2
cot
b
2
θ;
⑧渐近线22
220x y a b -=或b y x a
=±,令“1”为
0即可;焦点到渐近
线距离为b ;
82、抛物线:①方程22(0)y px p =>;②定义:||PF d =; ③顶点为焦点到准线垂线段中点;
范围?轴？焦点,02
p F ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
,准线2
p x =-;④焦半径02
||p
PF x =+，112
||||AF BF p
+=， 焦点弦22||sin p AB θ
=12|x x p =++;2
21p y y -=，4221p x x =
；
⑤通径2p(最短的弦),焦准距p. 点P 在内部20020y px -<； ⑥已知A 、B 是抛物线y2=2px 上的两点，且.OA OB ⊥则直线AB 过定点M （2p ，0）.
83、你会用相关点法来求有关的对称问题吗？如：
求对称点:(,)P a b 关于直线00:0(,)l Ax By C P x y '++=对称点？
84、相交弦问题:在用圆锥曲线与直线联立求解消元后要注
意：二次项的系数是否为零？判别式0≥∆的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在0>∆下进行）。

①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦长公式;
注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径公式,
焦点弦长12||||||AB AF BF ed ed =+=+;其它用弦长公
式:
21x AB x x -122
y y k 1
1-⋅+
=
②涉及弦中点与斜率问题常用“差分法”.如: 曲线
1b y a x 2
2
22=±(a,b>0)上A(x1,y1)、
B(x2,y2)中点为M(x0,y0),则KABKOM=2
2
a b ;对抛物线
y2=2px(p≠0)有KAB ＝
2
1y y p 2+.
垂直问题:121200OA OB x x y y OA OB ⊥⇔+=⇔⋅=;
0AMB MA MB ∠⇔⋅<为钝角;0AMB MA MB ∠⇔⋅>为锐角.
85、轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法
(动点P(x,y)依赖于动点Q(x1,y1)而变化,Q(x1,y1)在已知曲线上,用x 、y 表示x1、y1,
再将x1、y1代入已知曲线即得所求方程即相关点法)、参数法、交轨法等.
86、解题注意:①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口
方向,以避免错误;
②求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法; ③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程;
④运用假设技巧以简化计算.如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程
可设为Ax2+Bx2＝1;共渐近线x a
b y ±=的双曲线标准方程可设为λλ(b y a x
2222=-为参数,
λ≠0);抛物线y2=2px 上点可设为(p 2y 20
,y0);直线的另一种假
设为x=my+a;
⑤解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义.
87、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1）给出直线的方向向量(1,)u k =或(,)u m n =．等于已知直线的斜率k 或n m
；
（2）给出OA OB +与AB 相交,等于已知OA OB +过AB 的中点;
（3）给出0PM PN +=,等于已知P 是MN 的中点;
（4）给出()AP AQ BP BQ λ+=+,等于已知,A B 与PQ 的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①//AB AC ；②存在实数
,AB AC λλ=使；③若存在实数
,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共
线;
（6） 给出1OA OB OP λλ
+=+等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即AP PB λ=;
（7） 给出0MA MB ⋅=,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角;
给出0MA MB m ⋅=<,等于已知AMB ∠是钝角;
给出0MA MB m ⋅=>,等于已知AMB ∠是锐角;
（8）给出MA MB MP MA MB λ⎛⎫ ⎪+= ⎪⎝⎭
,等于已知MP 是AMB ∠的平分线; （9）在平行四边形ABCD 中，给出()()0AB AD AB AD +⋅-=，
等于已知ABCD 是菱形; （10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，
等于已知ABCD 是矩形;
（11）在ABC ∆中，给出222OA OB OC ==，等于已知O 是ABC
∆的外心
（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形
三边垂直平分线的交点）；
（12） 在ABC ∆中，给出0OA OB OC ++=，等于已知O 是ABC ∆的重心
（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在ABC ∆中，给出OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆
的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在ABC ∆中，给出0,a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=等于已知O 是ABC ∆的内心
（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形
三条角平分线的交点）；
（15）在ABC ∆中，给出OP OA =+()||||
AB AC AB AC λ+)(+∈R λ 等于已知AP 通过ABC ∆的内心；
（16） 在ABC ∆中，给出()12
AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线.
九、排列、组合、二项式定理
88、计数原理：分类相加，分步相乘；有序排列，无序组合．
89、排列数公式:!!()!(1)(1)(,,*)m n n m n m A
n n n m m n m n N -=--+=≤∈
0!=1; !n n A n =;!(1)!!n n n n ⋅=+-;11--=m n m n nA A ;11-++=m n m n m n mA A A . 90、组合数公式：(1)(1)!()!(1)(2)321!()!m m
n n
A n n n m n C m n m m m m m n m ⋅-⋅⋅⋅--===≤⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅- 01n n n C C ==;;m n m n n C C -=11-++=m n
m n m n C C C ;;C C C C 1r 1n r n r 1r r r +++=+⋅⋅⋅++11k k n n k C nC --⋅=; 91、排列组合主要解题方法：①优先法:特殊元素优先或特殊
位置优先；②捆绑法(相邻问题)；
③插空法（不相邻问题）；④间接扣除法；(对有限制条件的
问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）⑤多排问题单排法;⑥相同元素分组可采用隔板法（适用与指标分配，每部分至少有一个）；⑦先选后排,先分再排(注意等分分组问题)；⑧涂色问题(先分步考虑至某一步时再分类)．⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成n 组问题别忘除以!n ．
92、二项式定理011222()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，
特别地：
(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn ,
22(1)11n n x nx nx c x +≈+≈++.
93、二项展开式通项:1(0,1,2,...,)r n r r r n T C a b r n -+==;作用：处理与指定
项、特定项、常数项、有理项等有关问题。

要注意区别二项式系数与项的展开式系数；二项式定理中，“系数最大的项”、“项的系数的最大值”、“项的二项式系数的最大值”不是同一个概念.
94、二项式系数性质:①对称性: Cnm=Cnn －m.x y n n C C x y =⇔=或x y n +=.
②中间项二项式系数最大:n 为偶数,中间一项;若n 为奇数,中间两项(哪两项?)。