13.4课题学习-最短路径问题-2023-2024学年八年级数学上册同步课件 练习(人教版)

互动新授
人教版数学八年级上册
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′， 所以AC+BC<AC′+B′C′.
A A′
你能证明最此小时a吗AM？＋MN＋NB
M
b
N
B
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在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，
垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜
AM′＋M′N′＋N′B．
A
A ′
a
M M′
b
N
N′ B
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人教版数学小？
a
A
M
b
NB
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（2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，
点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．
a
A
M
b
A′
NB
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？
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人教版数学八年级上册
（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因 此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．
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1.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，
ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.
解:如图，依题意,分别作点P关于ON、OM的对称 点P1、P2,连接P1P2交ON于点B，交OM于点A，依 次连接A、B、P，此时△PAB的周长为最小值. 由四边形内角和360°可得: ∠P1PP2=360°-90°-90°-40°=140° ∵BP=BP1，AP=AP2. ∴∠P1=∠BPP1，∠P2=∠APP2 ∵∠P1+∠P2=180°-140°=40° ∴∠BPP1+ ∠APP2=40° ∴∠APB=∠P1PP2-∠BPP1-∠APP2=100°.
l2
∙P
l1
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如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
作法：过点P分别作关于直线l1，l2的对 称点P1，P2，连接P1P2分别交直线l1，l2于点M， N，则点M，N即为所求.
解析：通过轴对称的原理，把周长最小 值转化为两点间距离最短的问题.△PMN周长 的最小值为PM+MN+PN=P1P2.
选择路线②
C ①D E
A
②
B
两点之间,线段最短.
③
F
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考点一 将军饮马问题
问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马， 然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
B A
l C
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如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点C，使得CA+CB最小.
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如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性 质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=B′C.此时，问 题转化为：当点C在直线l的什么位置时，AB+B′C的值最小？
∙B
你能证明这个结
A∙
论吗？
∙
l
C
∙ B′
容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.
课后作业
人教版数学八年级上册
某中学八（2）班举行文艺晚会，如图所示，OA，OB分 别表示桌面，其中OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖 果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C处， 请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短.
A
∙C
O
B
课后作业
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解析：（1）如图所示，作点C关于OA的对称点C1；
B. (4，0)
C. (2，0)
D. (0，0)
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考点二 造桥选址问题 问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一
座桥MN，桥造在何处可以使得从A到B的路径AMNB最短？（假定 河是平行的直线，桥要与河垂直）
A∙
M
a
b
N
∙B
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这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
P2
l2
N ∙P
l1 M
P1
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考点四 两点两线型问题
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形
PQMN的周长最小.
l2
∙Q ∙P
l1
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如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形
PQMN的周长最小.
作法：分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称 点P1，Q1，连接P1Q1分别交直线l1，l2于点M，N， 则点M，N即为所求.
解析：通过轴对称把周长最小问题转化为 两点间距离最短问题，四边形PMNQ的周长的最
Q1
l2
N ∙Q ∙P
l1 M
小值为PM+MN+NQ+QP=P1Q1+PQ，依据的是两点之
P1
间，线段最短.
课堂检测
人教版数学八年级上册
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄．欲在l上的某处 修建一个水泵站,向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案, 图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( D )
如图所示：将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上 的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置 的时候，AM+MN+NB的值最小？
A∙
M
a
b
N
∙B
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（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM
＋MN＋NB最小．问题可转化为：当点N在直线b的什么位置时，
A∙
那A、B两点在直线
.C
l的同一侧呢？如
l 何确定点C呢？
B∙
解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置， 可以使得AC+BC的值最小.
依据：两点之间，线段最短.
互动新授
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你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在
直线同一侧的问题吗？
∙B A∙
l
分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对 直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直 线两侧的情况”.那么在直线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？
课堂小结
人教版数学八年级上册
1.最短路径问题的类型： (1)两点一线型的线段和最小值问题； (2)两线一点型线段和最小值问题； (3)两点两线型的线段和最小值问题； (4)造桥选址问题. 2.解决最短路径问题的方法： 借助轴对称或平移的知识，化折为直，利用“两点之间，线 段最短”或“垂线段最短”来求线段和的最小值.
C1
（2）作点C关于OB的对称点C2；
A
（3）连接C1C2，分别交OA，OB于点D，E，连接CD，CE. D
所以先到点D处拿橘子，再到点E处拿糖果，最后回到
∙C
点C处，按照这样的路线所走的路程最短.
O
E
B
C2
谢谢聆听
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A∙
由点C′的任意性可知，AC+BC的值是
C′ C
∙B
l
最小的，故点C的位置符合要求.
∙B′
小试牛刀
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1.如图，在平面直角坐标系中，点 A(－2，4)，B(4，2)，在
x 轴上取一点 P，使点 P 到点 A 和点 B 的距离之和最小，
则点 P 的坐标是( C )
A. (－2，0)
课堂检测
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2.如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点， A
E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请找
点E的位置.
解：如图所示，作点D关于线段AB的对称
C
A
点D′，连接CD′交线段AB于点E，则点E即为
所求，也就是使得EC+ED最小的位置.
E DB
E D′
CD B
拓展训练
A′
证明：在△A′N′B中， ∵A′B＜A′N′＋BN′，
N′ N
B
∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．
a b
∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．
即AM＋MN＋BN最小．
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考点三 两点一线型问题 如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
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第13.4课题学习 —最短路径问题
学习目标
人教版数学八年级上册
1.利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2.能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体 会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
情境引入
人教版数学八年级上册
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪 条路最近？你的理由是什么？