高考新题型——数学多选题专项练习及答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数()sin sin x
x
f x e e
=+，以下结论正确的是（ ）
A ．()f x 是偶函数
B ．()f x 最小值为2
C ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
上单调递减
D ．()()2
g x f x x π
=-
的零点个数为5
【答案】ABD 【分析】
去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】
∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；
因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变
化情况.()sin sin sin 2,01
,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪
=⎨+<≤⎪⎩
， 当0x π≤≤，()sin 2cos x
f x xe '=，则()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，此时()[]
2,2f x e ∈； 当2x ππ≤≤时，()(
)sin sin cos x
x f x x e
e -'=-，则()
f x 在3,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在
3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上单调递减，此时()12,f x e e ⎡
⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =，
B 正确. 因()f x 在,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭上单调递
增，故C 错误. 对于D ，转化为()2
f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在3,
2
ππ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递增，在3,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，2
2x π
<，()2
f x x π=
无实根.()3,x π∈+∞时，
()max 2
62x e f x π
>>=，()2
f x x
π
=
无实根，3,
2x ππ⎡
⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
，显然x π=为方程之根.()sin sin x x
f x e e -=+，
()()sin sin cos 0x x f x x e e -'=->，3123322f e e π
ππ⎛⎫=+>⨯=
⎪
⎝⎭
，单独就这段图象，()302
f f π
π⎛⎫'='=
⎪⎝⎭，()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化趋势为先快扣慢，故()g x 在3,2ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
内有1个零点，由图像知()g x 在3,32ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
内有3个零点，又5252
f e π
⎛⎫
=> ⎪⎝⎭
，结合图象，知D 正确.
故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：研究函数性质往往从以下方面入手： （1）分析单调性、奇偶性、周期性以及对称性；
（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个容易画出图象的函数，将两个函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，利用数形结合的方法求解.
2．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下列说法中正确的是（ ）
A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈
B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1
C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]
1,4 D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】BC 【分析】
首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】
对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；
对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1， 故选项B 正确；
对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]
1,4，故选项C 正确；
对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点
()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当
1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，
故选：BC 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3．若定义在R 上的函数()f x 满足()
()
0f x f x ，当0x <时，
23
()22
f x x ax a =++(a ∈R )，则下列说法正确的是（ ）
A ．若方程()2
a
f x ax =+
有两个不同的实数根，则0a <或48a <<
B ．若方程()2
a
f x ax =+有两个不同的实数根，则48a << C ．若方程()2
a
f x ax =+有4个不同的实数根，则8a > D ．若方程()2
a
f x ax =+有4个不同的实数根，则4a > 【答案】AC 【分析】
由题知()f x 是R 上的奇函数，则由0x <时的解析式可求出()f x 在R 上的解析式.先讨论特殊情况0x =为方程的根，则可求出0a =，此时方程化为()0f x =，而函数()f x 为R 上的减函数，则方程仅有一个根.当0x ≠时，由分段函数分类讨论得出0x <时，
1(1)2(1)a x x =-++
+-+，0x >时，4
242
a x x =-++-.利用数形结合思想，画出图
象，则可得知方程()2
a
f x ax =+不同的实数根个数分别为2个和4时，参数a 的取值范围. 【详解】 因为()
()
0f x f x 所以()()f x f x -=-，
所以()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =， 当0x >时，0x -<，2
3
()22
f x x ax a -=-+， 所以2
3()()22
f x f x x ax a =--=-+-
， 综上2
232,02()0,03
2,0
2x ax a x f x x x ax a x ⎧++<⎪⎪
==⎨⎪⎪-+->⎩
，
若0x =是方程()2
a
f x ax =+的一个根， 则0a =，此时()2
a
f x ax =+
，即()0f x =， 而22,0()0,0,0x x f x x x x ⎧<⎪
==⎨⎪->⎩
，在R 上单调递减，
当0a =时，原方程有一个实根. 当0x <时，2
3222
a x ax a ax ++
=+，
所以20x ax a ++=，当1x =-时不满足，
所以21
(1)21(1)
x a x x x =-
=-++++-+， 当0x >时，2
3222
a
x ax a ax -+-
=+， 所以220x ax a -+=，当2x =时不满足，
所以24
2422
x a x x x ==-++--，如图：
若方程()2
a
f x ax =+有两个不同的实数根， 则0a <或48a <<；
若方程()2
a
f x ax =+有4个不同的实数根，则8a >. 故选：AC 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是将方程()2
a
f x ax =+进行参数分离，再借助数形结合法，求出对应的参数的取值范围.
4．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[]
,m n 上的值域也是
[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是
（ ） A ．()f x x =B ．()222f x x x =-+
C ．()1f x x x
=+
D ．()1f x x
=
【答案】ABD 【分析】
根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[]
,m n ，则()f x 存在“和谐区
间”[]
,m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪
⎨
=⎪⎩或()()
f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解
,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.
【详解】
解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[]
,m n ，则()f x 存在“和谐区间”[]
,m n ， 可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪
⎨
=⎪⎩或()()
f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
A ：(
))0f x x =≥，若(
)(
)f m m
f n n
⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，
所以(
)f x =
“和谐区间”[]0,1；
B ：()()2
22f x x x x R =-+∈，若 ()()
22
2222f m m m m f n n n n ⎧=-+=⎪
⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩， 所以()2
22f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；
C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m m
f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010
m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；
若()()11f m m n
m
f n n m
n
⎧
=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩
，即 21111m n m m m n n m n ⎧
+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩
，化简得：22
10(1)m m m m ++=+， 即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1
f x x x
=+
不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，， 单调递减，则 ()()11f m n m
f n m
n ⎧
==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
， 不妨令122
m n ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩，
所以()1f x x =
存在“和谐区间”1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.
5．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1
222
a b -<<
B ．34a b ==a b
ab
+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-
D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是
1
(,2)(2,)4
-+∞ 【答案】ACD 【分析】
由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求
a b ab
+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3
y x x =-有三个交点，即可知2
()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】
A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1
222
a b -<<；
B 选项，34a b ==log a =4log b =121211
2(log 3log 4)2a b ab a b
+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、
121
3
x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，
所以22
12121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；
D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2
()h x x x k =--有两个零点即可
∴
140
(1)20
k
h k
∆=+>
⎧
⎨
-=-≠
⎩
，解得
1
(,2)(2,)
4
k∈-
+∞
故选：ACD
【点睛】
本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.
6．已知函数()
()
()
5
2
log1,1
22,1
x x
f x
x x
⎧-<
⎪
=⎨
--+≥
⎪⎩
，则方程
1
2
f x a
x
⎛⎫
+-=
⎪
⎝⎭
的实根个数可能为（）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】ABC
【分析】
以()1
f x=的特殊情形为突破口，解出1
x=或3或
4
5
或4
-，将
1
2
x
x
+-看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可.
【详解】
由基本不等式可得
1
20
x
x
+-≥或
1
24
x
x
+-≤-，
作出函数()
()
()
5
2
log1,1
22,1
x x
f x
x x
⎧-<
⎪
=⎨
--+≥
⎪⎩
的图像，如下：
①当2
a>时，
1
224
x
x
+-≤-或
1
021
x
x
<+-<，
故方程
1
2
f x a
x
⎛⎫
+-=
⎪
⎝⎭
的实数根个数为4；
②当2
a=时，
1
224
x
x
+-=-或
1
021
x
x
<+-<或
1
22
x
x
+-=，
故方程
1
2
f x a
x
⎛⎫
+-=
⎪
⎝⎭
的实数根个数为6；
③当12
a
<<时，
1
2424
x
x
-<+-<-或
1
021
x
x
<+-<或
1
122
x
x
<+-<
或1
223x x
<+
-<， 故方程12f x a x ⎛⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为8； ④当1a =时，124x x +-=-或1021x x <+-<或1
21x x +-=或123x x
+-=，
故方程12f x a x ⎛
⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为7； ⑤当01a <<时，1420x x -<+-<或1
324x x
<+-<， 故方程12f x a x ⎛
⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为2； ⑥当0a =时，120x x +
-=或1
324x x
<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫
+-=
⎪⎝⎭
的实数根个数为3； ⑦当0a <时，1
23x x
+->， 故方程12f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝
⎭
的实数根个数为2； 故选：ABC 【点睛】
本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.
7．设函数()f x 是定义在区间I 上的函数，若对区间I 中的任意两个实数12,x x ，都有
1212()()(
),22x x f x f x f ++≤则称()f x 为区间I 上的下凸函数.下列函数中是区间(1,3)上的下凸函数的是（ ） A ．()21f x x =-+ B ．()2f x x =-- C ．3()5f x x =+ D ．21
()1
x f x x +=
- 【答案】ACD 【分析】
根据函数的解析式，求得1212()()
(
)22
x x f x f x f ++=，可判定A 正确；根据特殊值法，可判定B 不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C 、D 正确. 【详解】
对于A 中，任取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，则12
12(
)()12
x x f x x +=-++， 121212()()1
(2121)()122
f x f x x x x x +=-+-+=-++，
可得1212()()(
)22x x f x f x f ++=，满足1212()()
()22
++≤x x f x f x f ，所以A 正确； 对于B 中，取1235
,22x x =
=，则1222
x x +=， 可得3
51()()22
2f f ==-，所以
12()()1
22f x f x +=-，12()(2)02
x x f f +==， 此时1212()()
(
)22
x x f x f x f ++>，不符合题意，所以B 不正确； 对于C 中，函数3
()5f x x =+，
由幂函数3
y x =的图象向上移动5个单位，得到函数3
()5f x x =+的图象， 如图所示，
取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()
2
D f x f x y +=， 因为D C y y >，所以1212()()
(
)22
++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；
对于D 中，函数213()211
x f x x x +==+-- 由函数3
y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到21()1
x f x x +=-的图象，
如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12
(
)2
C x x f y +=，
12()()
2
D f x f x y +=，
因为D C y y >，所以1212()()
(
)22
++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；
【点睛】
本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.
8．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈，使得
()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确
的命题是（ ）
A ．常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-；
B ．若(01)x y a a =<<为回旋函数，则1t >；
C ．函数2()f x x =不是回旋函数；
D ．若()f x 是2t =的回旋函数，则()f x 在[0]4030，
上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【分析】
A.利用回旋函数的定义即可判断；
B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；
C.利用回旋函数的定义，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，推得矛盾；
D.根据回旋函数的定义，推得()()22f x f x +=-，再根据零点存在性定理，推得零点的个数. 【详解】
A.若()f x a =，则()f x t a +=，则0a ta +=，解得：1t =-，故A 正确；
B.若指数函数()01x
y a a =<<为回旋函数，则0x t x a ta ++=，即0t a t +=，则0t <，
故B 不正确；
C.若函数()2
f x x =是回旋函数，则()2
20x t tx ++=，对任意实数都成立，令0x =，则
必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，显然0t =不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C 正确；
D. 若()f x 是2t =的回旋函数，则()()220f x f x ++=，对任意的实数x 都成立，即有
()()22f x f x +=-，则()2f x +与()f x 异号，由零点存在性定理得，在区间(),2x x +上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x =⨯，则函数()f x 在[]
0,4030上至少存在2015个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】
本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.
9．定义在R 上的函数()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--,若()f x 在区间
[1,)-+∞上为增函数,且存在20t -<<,使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式一定成立的是( )
A ．2
1(1)()2
f t t f ++> B ．(2)0()f f t ->> C ．(2)(1)f t f t +>+
D ．(1)()f t f t +>
【答案】ABC 【分析】
先由()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--推出()f x 关于1x =-对称，然后可得出B 答案成立，对于答案ACD ，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可 【详解】
因为()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--
所以(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+= 所以()f x 关于1x =-对称，所以(0)(2)f f =- 又因为()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数，20t -<< 所以(0)(2)()f f f t =-> 因为(0)()0f f t ⋅<
所以()0,(2)(0)0f t f f <-=> 所以选项B 成立
因为2
2311
20224
t t t ⎛⎫++-=++> ⎪⎝⎭
所以21t t ++比
1
2
离对称轴远 所以2
1(1)()2
f t t f ++>，所以选项A 成立
因为()()22
32250t t t +-+=+>
所以32t t +>+，所以2t +比1t +离对称轴远 所以(2)(1)f t f t +>+，即C 答案成立
因为20t -<<，所以()()2
2
2123t t t +-+=+符号不定 所以2t +，1t +无法比较大小，所以(1)()f t f t +>不一定成立 所以D 答案不一定成立 故选：ABC 【点睛】
本题考查的是函数的性质，由条件得出()f x 关于1x =-对称是解题的关键.
10．已知21,1,()ln ,
1,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则关于x 的方程2
[()]()210f x f x k -+-=，下列正
确的是（ ）
A ．存在实数k ，使得方程恰有1个不同的实数解；
B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实数解；
C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实数解；
D ．存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实数解； 【答案】ACD 【分析】
令()0f x t =≥，根据判别式确定方程2210t t k -+-=根的个数，作出()f x 的大致图象，根据根的取值，数形结合即可求解. 【详解】
令()0f x t =≥，则关于x 的方程2
[()]()210f x f x k -+-=，
可得2210t t k -+-=， 当5
8k =时，()14210k ∆=--=，此时方程仅有一个根12
t =； 当5
8
k <
时，()14210k ∆=-->，此时方程有两个根12,t t ， 且121t t +=，此时至少有一个正根； 当5
8
k >
时，()14210k ∆=--<，此时方程无根； 作出()f x 的大致图象，如下：
当5
8k =时，此时12
t =，由图可知()f x t =，有3个不同的交点，C 正确； 当5
8
k <
时，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根， 当()10,1t ∈、()20,1∈t ，且12t t ≠时，()f x t =，有6个不同的交点，D 正确； 当方程有两个根12,t t ，一个大于1，另一个小于0， 此时()f x t =，仅有1个交点，故A 正确；
当方程有两个根12,t t ，一个等于1，另一个等于0，()f x t =，有3个不同的交点，
当5
8k >
时，()14210k ∆=--<，此时方程无根. 故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化为2210t t k -+-=，根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.
二、导数及其应用多选题
11．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()3
2
1f x x x =-+
B ．()21x
f x e x =--
C ．()3ln 1,0()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨
>⎩
D ．4()sin f x x x =
【答案】BC
【分析】
运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论． 【详解】
解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；
0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0
()0x f x <⎧⎨'<⎩
；
当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，
即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()3
2
1f x x x =-+，()2
132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由
()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得2
3
x ≥
，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；
B 中，()21x
f x e x =--，()21x
f x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0
x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②， ∴函数()21x
f x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，
令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，
∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”； C 中，由函数()3ln 1,0()2,
x x f x x x ⎧-+≤=⎨
>⎩，当0x <时，31
()01
f x x =
<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，
∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1
()201
F x x '=
-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，
∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；
D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，
而4()sin cos f x x x x '=+
()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】
本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．
12．对于函数2
ln ()x
f x x =，下列说法正确的是（ ） A
．函数在x =
12e
B ．函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C ．()f x 有两个不同的零点 D
．(2)f f f <<
【答案】ABD 【分析】
求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A 选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD 选项. 【详解】
函数的定义域为()0,∞+，求导
2
43
1ln 212ln ()x x x
x x f x x x ⋅-⋅-'==
， 令()0f x '=
，解得：x =
所以当x =
2f
e
=
，故A 正确； 对于BCD ，令()0f x =，得ln 0x =，即1x =，当x →+∞时，ln 0x >，20x >，则()0f x >
作出函数()f x 的抽象图像，如图所示：
由图可知函数的值域为1,2e ⎛⎤
-∞ ⎥⎝⎦
，故B 正确；函数只有一个零点，故C 错误；又函数()f x 在
)
,e +∞32e π<<<，则(2)3)f f f π<<，故D
正确； 故选：ABD 【点睛】
方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：
（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[]
,a b 上是连续不断的曲线，且
()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才
能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
13．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'
()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）
A ．(4)(3)f ef >
B ．2(4)(2)f e f ->-
C ．3(4)41f e >-
D ．2(4)41f e -<--
【答案】ACD 【分析】
由已知构造得'
()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦
，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；
()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.
【详解】 因为当0x >时，()'
()1f
x f x ->，所以()'()10f x f x -->，即
()[]
'()+10x
f x f e x ->，所以'
()+10x x e f ⎡⎤
>⎢⎥
⎣⎦
， 令()()+1x
f x
g x e
=
，则当0x >时，()'
>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43
(4)+1(3)+1
>f f e e ，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；
()()4>2g g ，即
42
(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；
()()4>1g g ，即
4
(4)+1(1)+1>f f e e
，又(1)3f =，化简得3
(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2
(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所
以2
(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】
关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.
14．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2y
x 上两个不同点,A B 横坐标
分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）
A ．若A
B 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上
B ．若阿基米德三角形PAB 为正三角形，则其面积为
4
C ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值
14
D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积2
12||4
x x S -=
【答案】ABC 【分析】
设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方
程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.
A ：把抛物线焦点的坐标代入直线A
B 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即
可；
B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；
C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；
D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】
由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，
由题意可知：点22
1122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，
由2'2y
x y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：
22
1112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，
两方程联立得：21112
2222()2()
y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12
122x x x y x x +⎧
=⎪⎨⎪=⎩
，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，
直线AB 的方程与抛物线方程联立得：
2
12122
0,y kx m x kx m x x k x x m y x
=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 1
4y =-，
因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而121
4
x x m =-=-，
显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；
B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，
= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，
此时2
2
1111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：2
1(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，
112x x =-⇒=， 因此正三角形PAB
， 所以正三角形PAB
的面积为11sin 602224
︒==
， 故本选项说法正确；
C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时，
所以121212
1222
121122122114
PA
PB
x x x x
x x k
k x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：1
4
y kx =+
所以P 点坐标为：1(,)24
k -，点 P 到直线AB 的距离为：
=
||AB ==
=，
因为12121
,4
x x k x x +==-
，所以
21AB k =+， 因此直角PAB
的面积为：
2111(1)224
k ⨯+=≥， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值1
4
，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以
1||AB x x ===-，
点P 到直线AB 的距离为：
212=
= 所以阿基米德三角形PAB
的面积3
2121211224x x S x x -=⋅-=
， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】
关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.
15．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为
该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()sin f x x =有3个不动点
B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点
C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】
根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】
令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；
0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，
所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；
()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，
显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；
因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，
x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2
()x
m x e x x =+-，
()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，
()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，
∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，
min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，
∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】
方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
16．已知函数()2
1ln 2
f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（ ）
A ．()f x 在1,上单调递增
B ．122x x +=
C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫
-∞-- ⎪⎝⎭
D ．若16
3
a =
，则()f x 只有一个零点 【答案】ACD 【分析】
求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在
()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简
()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将
16
3
a =
代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】 由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211
ax ax ax a x x x
f -+=-+='，
则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则21240
1
a a x x a ⎧∆=->⎪
⎨=>⎪⎩
，解得4a >， 当()1,x ∈+∞时，函数2
10y ax ax =-+>，此时()0f x '>，
所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；
因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误； 因为()()221212121112221111ln ln 22
x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+
++-++- 111211
1ln 1ln 22a a a a a a a a
⎛⎫=+
++--=--+ ⎪⎝⎭， 易知函数()11
ln 2h a a a a
=-
-+在()4,+∞上是减函数， 则当4a >时，()()7
42ln 24
h a h <=-
-， 所以()()121212
x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭
，故C 正确；
当16
3a =
时，()1616133f x x x '=
-+，令()0f x '=，得14x =或34
， 则()f x 在10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，在13,44⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 在1
4
x =
取得极大值，且104f ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，()2ln 20f =>， 所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点： ①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；
③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.
17．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()
()f x f x x
'<
，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（ ）
A ．()()()1212f x x f x f x +<+
B ．()()()()21121212
x x
f x f x f x f x x x +<
+ C ．()1
1
2
2
(1)x x f f <
D ．()()()1212f x x f x f x <
【答案】ABC 【分析】
构造()()f x g x x
=，由()
()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各
选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.
【详解】 由()
()f x f x x '<知：
()()0xf x f x x
'-<， 令()
()f x g x x =
，则()()()20xf x f x g x x
'-='<， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即
122112121212()()()()
0()
g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--
当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >；
A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有
1
12112()()x f x x f x x x +<+，2
12212
()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+；
B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有
()()()()21121212
x x
f x f x f x f x x x +<
+； C ：由1
21x >，所以11
1
(2)(1)(2)(1)21
x x x f f g g =<=，整理得()
11
22(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211
x x =
，121
1
1()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，
有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小. 故选：ABC 【点睛】
思路点睛：由()
()f x f x x '<
形式得到
()()0xf x f x x
'-<， 1、构造函数：()
()f x g x x =
，即
()()()xf x f x g x x
'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.
3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.
18．设函数()()1x a
f x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下
列结论正确的有（ ） A ．a e =
B ．()f x 在区间()1,e 单调递增
C ．1x =是()f x 的极大值点
D ．()f e 是()f x 的最小值
【答案】ACD 【分析】
()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()x
h x x
=
的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'
f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'
f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．
【详解】
()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根． 设ln ()x
h x x =
，则21ln ()x h x x
-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，
()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，
max 1()()h x h e e
==
． ∴要使方程
ln ln x a
x a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a
<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；
()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，
1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．
设()(1)ln 1p x e x x =--+，1
()1e p x x
-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，
又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，
01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，
所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为
(1)f ，
又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'
f x 的零点时，利用零点定义解方程，1
()0x
e f x e ex
-'=-=，11x e e x --=，取对数得
1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．
19．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔
离直线”，已知函数()()2
f x x R x =∈，()()1
0g x x x
=
<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在
x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-
D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线
”e y =- 【答案】AD 【分析】
求出()()()m x f x g x =-
的导数，检验在x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又
1
kx b x
≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k
，则隔离直线的方程为
(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.
【详解】
对于选项A ：()()()2
1m x f x g x x x =-=-
，()212m x x x
'=+，
当x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-
在x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又
1
kx b x
≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，
可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；
对于选项D ：函数()f x 和()h x
的图象在x =
()f x 和()h x 的
隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k
，则隔离直线的方程为
(y e k x -=
，即y kx e =-，由(
)f x kx e ≥-，可得
20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤
，只有k =
y e =-
，下面证明()h x e ≤-
，令
()2n ()l G x e h x e x e =--=--，
()x G x x
'=
，当x =
()0'=G x
，当0x <<时，()0'
<G x
，当
x >()0G x '
>
，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所。