1.3 标量场的梯度

1 1 R r r 2 R 3 R R R | r r |3
f ( R) f ( R)R
df df R R dR dR R df df R R dR dR R
21:38:25
f ( R) f ( R)R
14
2 2 ( x , y , z ) x y z 描述了空间标量 例4 设一标量函数
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产生场的场源所在的空间位置 点称为源点，记为 ( x, y, z)或r
场所在的空间位置点称为场点， 记为 ( x, y, z )或r 源点到场点的距离为 R | r r | 从源点指向场点的矢量为 R r r x
源点
z
R
场点Leabharlann rory表示对（x, y, z）运算,表示对（x, y, z）运算。
u u u u e x ey ez x y z u gradu
u gradu e l | gradu || el | cos l
标量场u的梯度， 用 gradu 表示
| el | 1
u | gradu | cos l
梯度的定义：在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个， 其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。
同一个温度场中，其等温面 沿不同方向的变化率不同： L1的方向导数为-3/10 L2的方向导数为-3/20 L3的方向导数为-3/8
2
1.3 标量场的梯度
若M0为标量场u(M)中的一点，标 量场u(M)在点M0处沿l方向的方向导数 为
u l
M0
u (r )
M M0
l
u(M ) u(M 0 ) lim l 0 l
l 2 2 x 2y 1 2
对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为
l
21:38:25
P
x 2y 1 2
(1,1,1)
1 2 2 2
16
17
而该点的梯度值为
P (2 x)2 (2 y) 2 (1) 2 3
(1,1,1)
显然，梯度
P
du gradu u dl
max
el
7
式中：el 是场量u变化率最大的方向上的单位矢量。
梯度的性质
标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数
标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率 标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场 增加最快的方向 标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于 梯度在该方向投影
3
1.3 标量场的梯度
2.方向导数的计算公式
设一个标量函数u(x,y,z)，若函数u在点P可微，则 u在点P沿任意方向l的方向导数为
u u x u y u z l x l y l z l 设 l 方向的方向余弦是 cos ,cos ,cos ，即 x y z cos cos cos l l l 则方向导数的计算公式为
R | r r | ( x x)2 ( y y)2 ( z z)2
21:38:25
1 1 例3 求R, R, , , f ( R), f ( R) R R
R R R R e x ey ez x y z
13
1.3 标量场的梯度
21:38:24
?
el
5
1.3 标量场的梯度
u u u u ( e x e y e z ) (cos e x cos e y cos e z ) l x y z
哈密顿算符
( ex ey ez ) x y z
既具有矢量性质， 又具有微分性质
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1.3 标量场的梯度
2.梯度的基本运算公式 1)C 0 (C为常数) 2)(Cu ) Cu
3)(u v) u v
4)(uv) uv vu
5)F (u ) F (u )u u 1 6)( ) 2 (vu uv) v v
F F 7)F (u, v) u v u v 式中： C 为常数；u , v为坐标变量函数； 3.梯度的重要性质
等温线分布
u u u ey e z （记住） 直角坐标系中 gradu u e x x y z
柱坐标系中 球坐标系中
21:38:25
u 1 u u gradu u e e ez z u 1 u 1 u gradu u er e e r r r sin
场。试求： (1)该函数 在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方 向的单位矢量； (2)求该函数沿单位矢量
el ex cos 60 ey cos 45 ez cos 60
方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与 该点的梯度值作以比较，得出相应结论。 解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为
描述了P点处标量函数 的最大
P 恒成立。 l P
变化率，即最大的方向导数，故
21:38:25
u u u u cos cos cos x y z 21:38:24l
4
1.3 标量场的梯度 1.3 标量场的梯度
二、标量场的梯度
标量场在什么方向上变化率最大？其最大的变 化率是多少？ 梯度
1.梯度的概念
标量场u沿指定方向的变化率就是标量场在该方 向的方向导数 u u u u cos cos cos l x y z u u u ( e x e y e z ) (cos e x cos e y cos e z ) x y z
2 2 P (e x + e y y + e z )( x y z ) x z P (e x 2 x e y 2 y e z ) ex 2 e y 2 ez
(1,1,1)
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表征其方向的单位矢量
maxdugradu标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率标量场梯度的方向垂直于等值面为标量场增加最快的方向标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影梯度的性质等温线分布标量场的梯度为矢量且是坐标位置的函数直角坐标系中记住柱坐标系中为常数
1.3 标量场的梯度
对于一个标量场除了了解标量场u的总体分布情况， 还要讨论其等值面随空间的变化。
一、方向导数
1.方向导数的定义 等值面沿某一给定方向l0的变化率，称为该标量场 沿l0方向的方向导数。 例： 温度场
10C 20C 30C
21:38:24
0 C
L3
L1 100米 80米
1
L2 200米
0 C 10C 20C L1 100米
L3
L2 200米
30C
80米
L1：（每米的温度变化为） （0C--30 C）/100m=-3/10 C/m L2：（每米的温度变化为） （0C--30 C）/200m=-3/20 C/m L3：（每米的温度变化为） （0C--30 C）/80m=-3/8 C/m 21:38:24
el
P


P

ex 2 x ey 2 y ez (2 x) 2 (2 y ) 2 (1) 2
(1,1,1)
ex 2 ey 2 ez 1 3 3 3
(2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿 el 方向的
方向导数为 el (ex 2 x ey 2 y ez ) (ex 1 ey 2 ez 1 ) 2
21:38:25
u 0
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1.3 标量场的梯度 1.3 标量场的梯度
例1 三维高度场的梯度
21:38:25
高度场的 梯度与过该
点的等高线
垂直； 数值等于 该点位移 的最大变 化率；
指向地势 升高的方向。
21:38:25
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1.3 标量场的梯度
例2 电位场的梯度
电位场的梯度与过该点的等位线垂直； 数值等于该点的最大方向导数； 21:38:25 指向电位减小的方向。
R | r r | ( x x) 2 ( y y) 2 ( z z ) 2
R x x x R
R y y y R
R z z z R
R R eR R
R R eR R
1 R r r 3 R R | r r |3
l
方向导数的物理意义 u |M0 是标量场u( M )在点M 0处沿l 方向对距离的变化率 l u 1) |M0 >0，标量场u在点M 0沿l 方向是增加的； l u 2) |M0 <0，标量场u在点M 0沿l 方向是减小的； l u 3) |M0 =0，标量场u在点M 0沿l 方向无变化。 21:38:24 l 方向导数与选取的考察方向有关。
矢量——服从矢量运算的规则; 算子——代表一种微分运算，服从微分运算规则;
1) ▽本身无独立意义，只有作用于标量函数或矢量函数时 才代表一种运算。 u A A
21:38:25
2）只对它后边的量起运算作用。不能随便交换▽的位置。
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u u u u ( e x e y e z ) (cos e x cos e y cos e z ) l x y z ( ex ey ez ) x y z