《薛定谔方程》PPT课件

1993年 用STM 技术镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表 面的扫描隧道显微镜照片。Fe 原子形成“电子围栏” （半径7.13nm），可看到围栏中的同心圆状驻波， 直观地证实了电子的波动性。
由于这一贡献，宾尼、罗赫尔和鲁斯卡 三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。
前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者， 第三人是 1932年电子显微镜的发明者， 这里是为了追朔他的功劳。
没有向-x方向的
可以想见，原来在Ⅰ区的粒子也可以在势垒 的另一边Ⅲ 区出现！这在经典物理是不可想象的！
这称为“量子隧道效应”。
计算结果表明（不证）， 粒子的穿透率为
T e
2a
2m(U0 E)
若 m、a、( U0 – E ) 越小，则穿透率 T 越大。
实验完全证实了“量子隧道效应”现象的存在。 例如，★ 放射性核的 粒子衰变 ★ 隧道二极管 ★ 扫描隧穿显微镜
1 2
2
x
2
，
Hn是厄密（Hermite）多项式， 最高阶是 (x)n，
上两式相加得 2 (l1 l2 ) π l π
式中 l 也是整数。 所以有 l π
2 l 0 时，有 o Asin kx --奇函数 l 1 时，有 e Acos kx --偶函数
l 的其他数值所对应的解都不是独立的，
因为它们和 0、 e 的形式一样，只可能有正负 的区别，这并不影响 2 ,即概率密度的分布不变。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧 道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通 过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。
0 10
30
50
70
90
硅晶体表面的STM扫描图象
(nm)
神经细胞的STM扫描图像
搬运单个原子 用原子操纵写出“100”、“中国”
扫描隧道显微镜
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于 表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。
只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作 为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们 的表面电子云就可能重叠。
若在样品与针尖之间加一微小电压Ub ，电子就会穿 过电极间的势垒形成隧道电流。
和经典概念相符。
由于 区的 U(x)= 0，因此该区薛定谔方程为
2 d2
2m
d x2
E
令
k2
2m 2
E
则有
d2
d x2
k 2
d2
d x2
k 2
0
这一方程的通解为波动解
Asinkx
(可将此通解代入上面方程证明之)
A、、k ……可由波函数应满足的条件来决定：
有限、单值……自然满足。 连续……………？
Ⅰ a Ⅱ
2
aⅢ x
2
区域的势能为无穷大）。
无限深方势阱
我们来具体求出微观粒子在此势阱中的波函数解。 按照一维定态薛定谔方程
2 2m
d2
d x2
U
E
……（★）
2 2m
d2
d x2
U
E
……（★）
由于在 I、 III 两区的 U(x)＝ ，
显然应 = 0;
= 0，否则方程就无意义
了这也。说明粒子不可能在这两个区域出现，
宾尼
罗赫尔
鲁斯卡
2.4 谐振子
2.4 谐振子
如果微观粒子的势能函数是
U(x)
U( x ) 1 kx2 2
就应该解一维定态薛定谔方程
2m
d2 d x2
1 2
kx
2
E
E
x 0
d2
d x2
2m 2 (E
1 kx2 )
2
0
… 二阶变系数 常微分方程
可用级数展开法解上述方程。 波函数应满足标准条件（连续、有限、单值、归一）
U
(x)
U= U0
U= 0
x
Ⅰ区 0 Ⅱ区
按经典力学……粒子不可能在 Ⅱ 区出现！
按量子力学……粒子仍有可能在Ⅱ 区出现！
若势能曲线 如图所示：
U
(x)
U= U0
有一个有限 E 宽度的“势垒”。 U= 0
U= 0
x
Ⅰ区是波动解，
0
a
Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区
Ⅱ区是指数解，
Ⅲ区也是波动解，但是只有向+x方向的波；
E
(常数)
可得只含变量 t 和只含变量 x 的两个方程：
一个是变量为t
的方程
i d f f
Edt
可以把它先解出来：
其解为
f
A
e
i
Et
……（★）
（A 是待定复常数； E 有能量量纲,以后可知是
粒子的能量：动能 + 势能，不包括静能）
一个是变量为x 的方程
2 d2
2m d x2
U
E
……（★）
讨论:
1.能量只能取分立值 是解薛定谔方程自然而然得到的结论。 按经典理论……粒子的“能量连续”； 但量子力学……束缚态能量只能取分立值（能级）
2.当 m 很大（宏观粒子）时，
能量连续， 量子 经典。
En
n2
22 2ma 2
,
3.最低能量不为零（称零点能）
22
———符合不确定关系。
E1 2ma 2 0
由于 ( x)在x a / 2和x a / 2处必须连续，
Asinkx
而在I、 III 两区， ( x) 0 ，所以有
Asin( ka ) 0,
2
A
ka sin(
)
0,
2
可得
ka 2
l1
π,
ka 2
l2
π
ka 2
l1
π,
ka 2
l2
π
式中 l1 , l2 是整数。 记作
4 0 r
这时波函数 可以用分离变量法分离为
一个空间坐标的函数和一个时间函数的 乘积。
以一维运动的情况为例，波函数可写成
( x,t ) ( x ) f (t )
将其代入薛定谔方程,得
i d f
dt
2 2m
d2
d x2
U f
两边除以 ，得
i
1 f
df dt
1
2 2m
d2
d x2
U =
下面考虑这样的势场：
U U= U0
0 ( x 0)
E
U ( x) U0 ( x0)
U= 0
x
设微观粒子有一定
能量 E (设0 E
U0
)， Ⅰ区
0 Ⅱ区
我们也应分区求解其波函数：
Ⅰ区：
2 d2
2m
d x2
E
d2
d x2
2m 2
E
0
令
k12
2m 2
E
1 A1 eik1 x B1 eik1x
ka = n， n=1,2,3,4,5, 6,…
ka = n， n=1,2,3,4,5, 6,…
因为
k2
2m 2
E
En
n2
π2 2 2ma 2
,
( E 称为能量本征值, n 称为量子数)
n
所以有 o Asin a x,
e
Acos
n a
x,
n 2,4,6, n 1,3,5,
为了求出 A，我们用波函数的归一化条件，例如
1
e
i
p
x
2
e
i
p
x
所以，有一定能量和一定动量的一维自由运动 微观粒子的波函数有如下两个解:
Ψ1( x, t) 1( x) f (t)
i
Ae
p
x
e
i
E
t
Aeik x ei t
Aei(
tk x)
……沿
+
x
方向的单色平面波
Ψ2( x, t) 2( x) f (t)
Ae
i
p
x
e
i
E
t
Ae ik x ei t
求解超出本课程的范围。结论：
一. 能量
En
(n
1 )
2
(n 0,1,2,)
能量量子化、
E
能级等间距。
E4
能量间隔 h
E3
（与黑体辐射理论同）
E2
但有零点能。
E1
E0
二. 波函数
0
n(x)
(
2n π
)1/ 2 n!
1 2x2
Hn(x)e 2
，
m
n
(
x
)
(
2n
π
n!
)1/
2
H
n
(x
)
e
1933年薛定谔获 诺贝尔物理奖。
说明：
（1）其它解是波一函个数复数Ψ偏r,微t 分是方一程个；复函数。
（2）它的解满足态的叠 加原理 若 Ψ1(r , t)和 Ψ2 (r , t) 是薛定谔方程的解， 则 c1Ψ1(r , t) c2Ψ2(r , t) 也是薛定谔方程的解。
因为薛定谔方程是线性偏微分方程。
1
a / 2
a / 2 o
2
d
x
A2
a
/
2
s
in2
(
n
x)d
x
a
A2
a / 2
a
2
可得
A 2 a
于是对每一个 n 值，波函数的空间部分为
2 n
on
sin x, aa
2 n
en
cos x, aa
n 0,
｝ n 2,4,6,
n 1,3,5,
xa 2
a x
2
这些波函数也称为能量本征函数。
即可得总波函数 (x, t )。
例.一维自由运动微观粒子的波函数。 电子枪
K
自由运动区
A
U= 0
其定态薛定谔方程为
d2
d x2
2m 2
E
0
2 2m
d2
d x2
U
E
……二阶方程
令 2mE p2 ，P 是动量。
d2
d x2
2m 2
E
0
得
d2
d x2
p2 2
0
它有两个特解:
o Asin kx
e Acos kx
仍利用 ( x)在x a / 2处必须连续来决定 k，
有
o
a 2
A s in
ka
/
2
0
即 ka = n， n=0,2,4,6, … （1）
此外有
e
a 2
A cos
ka
/
2
0
即 ka = (2n+1) ， n=0,1,2,3, …（2
将（1）（2）写成一个式子，为
Aei
(
t
k x)
……沿
-
x
方向的单色平面波
动量有最小的不确定度，坐标就有最大的不确定度。
在自由运动区域，各点粒子出现的概率都相等。
2.2 无限深方势阱中粒子
2.2 无限深方势阱 中的粒子
一.一维无限深方势阱中粒子的 波函数与能量
金属中自由电子的运动,是被限制在一个
有限的范围 …… 称为束缚态。
即波函数“反演变换”变号，称为具有奇宇称，
并以宇称量子数为-1作为标记。
en
2 cos n π x, aa
n 1,3,5,
有 e x e x, --偶函数
即波函数“反演变换”不变号，称为具有偶宇称，
并以宇称量子数为+1作为标记。
2.3 势垒穿透
2.3 势垒穿透
金属中自由电子逸出金属表面时，实际上遇到的 是一个高度有限的势垒。
每个能量有确定值的状态称为粒子的能量本征态。
与 n =1,2,3.4 相应的波函数n 及概率密度 n 2 图
形如下，除两个端点外，驻波的节点数= n -1.
n
En
n 2
束缚态
n,
n
2a n
E4
n
4
, 4
a 2
E3
n
3
, 3
2a 3
E2
n 2 , 2 a
E1
n 1 ,1 2a
a
0
a
x
2 n 呈驻波状 2
还可以得到势阱中粒子的动量和波长。
h
Pn
2mE n n
a
n 2a
n
h Pn
2a n
2a, a, 2a , a ,
32
正说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于 德布罗意波的一个特定波长的驻波。
宇称的概念:
on
2 sin n π x, aa
n 2,4,6,
有 o x o x, --奇函数
（E U ,是波动解）
入射波 反射波
+x方向 -x方向
第二项是 x=0 势垒处反射的波。
Ⅱ区：
d2
d x2
2m 2 (E
U0 )
0
令
k22
2m 2
E
U0
2 C ek2x Dek2x
2 C ek2x Dek2x
“有限”要求 D = 0，
2 C ek2x
E
（E U ,是衰减解）
其解 (x) 与粒子所处的条件（外力场U）有关。
由上面可以看出:
(x, t) 2
(
x
)
e
i
t
2
(x) 2
即定态时，概率密度可以用 (x)2来表示， (x)称为定态波函数， 上面（★）式是 (x)满足的方程，
称为定态薛定谔方程。
小结：对势能函数 U 与时间t 无关的定态问题，
只须解定态薛定谔方程（★）式，再乘上（★）式
4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布 与经典粒子不同。
但是，当 n 很大时，势阱内各处粒子出现的
概率可以说是几乎相同的（忽略有限个节 点） 。
n 2
En
在大量子数的极限情况下，量子体系行为将 趋于与经典行为一致，这称为“对应原理”。
5.由
En
n2
π2 2 2ma 2
,
n =1,2,3,4,5, 6,…
（3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验 检验了它的正确性，地位相当“牛顿定律”。
（4）它是非相对论形式的方程。
二 .定态薛定谔方程
常常遇到微观粒子的势能函数 U 与时间 t
无关的稳定的势场问题，这称为定态问题。 例如：
自由运动粒子…………U = 0
氢原子中的电子…… Ur 1 e2
作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维
无限深方势阱中运动：
U(x)
U=U0
U=U0
U→∞ 简
U→∞
U=0
a
金属
化
x
U=0
Ⅰ a Ⅱ a Ⅲ x
2
2
无限深方势阱
它的势能函数为 0, x a / 2
U( x) , x a / 2
U(x) U→∞
U→∞
这种势场表示粒子可以在
U=0
势阱中运动，但不能越出势阱， （因为 x a / 2,