高考数学一轮单元复习 第50讲 曲线与方程课件

a2x2－4b2x＋a2b2＝0 应有等根． ∴Δ＝16b4－4a4b2＝0，即 a2＝2b.
y＝2x， 由ay22－xb22＝1
得(4b2－a2)x2－a2b2＝0.
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第50讲│要点探究
由弦长公式得
2 5＝ 1＋22 x1＋x22－4x1x2
＝5
－44－b2a－2ba22.
即 a2b2＝4b2－a2.
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第50讲│规律总结
(2)无论用哪种方法求轨迹方程，都应注意轨迹方程的 完备性和纯粹性，求出的轨迹方程中若有的解不符合轨迹 条件，从而使轨迹图形上有不符合轨迹条件的点存在，则 该方程及其曲线不满足纯粹性；求出的轨迹方程所表示的 曲线若不是所有适合条件的点的集合，即曲线之外还有适 合条件的点存在，则该方程及其曲线不满足完备性．求解 轨迹问题时要避免轨迹方程不满足纯粹性和完备性的错 误．
x′＝fx，y， y′＝gx，y
(2)求得另外一相关点的轨迹方程，然后代入这一轨迹方 程．中点的轨迹方程常用此法求解．
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第50讲│要点探究
变式题 如图 50－4，从双曲线 x2－y2＝1 上一点 Q 引直线 x＋y＝2 的垂线，垂足为 N，求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程．
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第50讲│要点探究
∴2c＝6,2a＝12.∴c＝3，a＝6， ∴b2＝36－9＝27， ∴圆心轨迹方程为3x62＋2y72 ＝1，轨迹为椭圆．
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第50讲│要点探究
► 探究点3 相关点法求轨迹方程 例 3 已知点 A(－1,0)，B(1,4)，在平面上动点 Q 满足
QAQB ＝4，点 P 是点 Q 关于直线 y＝2x－8 的对称点，求 动点 P 的轨迹方程．
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第50讲│要点探究
► 探究点2 定义法求轨迹方程 例 2 如图 50－2，已知圆 A：(x＋2)2＋y2＝1 与点 A(－
2,0)，B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点 P 的轨迹方程．
图 50－2
(1)△PAB 的周长为 10； (2)圆 P 与圆 A 外切(P 为动圆圆心)且过点 B.
【解析】 设动点 P 的坐标为(x, y)，点 Q 的坐标为(x1,
y1)，则 N 点的坐标为(2x －x1, 2y－y1)．
∵N 在直线 x＋y＝2 上，
∴2x－x1＋2y－y1＝2.①
又∵PQ 垂直于直线 xபைடு நூலகம்y＝2，
∴xy－－yx11＝1，
即 x－y＋y1－x1＝0.②
①、②联立，解得x1＝32x＋12y－1，
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第50讲│要点探究
【思路】根据题意，先找出等价条件，再根据条件判定 曲线类型，最后写出曲线方程．
(1)|PA|＋|PB|＝10－|AB|＝6. (2)|PA|－|PB|＝1.
【解答】 (1)根据题意，知三角形的周长：|PA|＋|PB| ＋|AB|＝10，所以|PA|＋|PB|＝6＞4＝|AB|，故 P 点的轨 迹是椭圆，且 2a＝6,2c＝4，即 a＝3，c＝2，b＝ 5，因 此其方程为x92＋y52＝1(y ≠0)．
【点评】 解题时应注意动点的几何特征，这是使用 定义法求曲线方程的关键．若盲目进行代数运算则会导 致繁琐的化简与计算．在求出轨迹方程后要注意去除不 符合条件的杂点．
定义法求轨迹方程主要针对已知的几种圆锥曲线， 比如圆、椭圆、双曲线和抛物线，例如下面变式题：
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第50讲│要点探究
变式题 一动圆与圆 x2＋y2＋6x＋5＝0 外切，同时 与圆 x2＋y2－6x－91＝0 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程， 并说明它是什么样的曲线．
2．求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上
任意一点 M 的坐标；
(2)写出适合条件 P 的点 M 的集合：P＝{M|P(M)}；
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第50讲│知识梳理
(3)用坐标表示条件 P(M)，列出方程 f(x，y)＝0； (4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 一般的，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不 写，如有特殊情况，可以适当说明． 3．几种常见求轨迹方程的方法 (1)直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满 足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方 程，这种方法叫直接法． (2)定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物
有|O1M|＝R＋2，① 当动圆与圆 O2 相内切时， 有|O2M|＝10－R，② 将①②两式相加，得
|O1M|＋|O2M|＝12>|O1O2|， ∴动圆圆心 M(x，y)到点 O1(－3,0)和 O2(3,0)的距离 和是常数 12.
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第50讲│要点探究
所以点 M 的轨迹是焦点为 O1(－3,0)、O2(3,0)，长轴 长等于 12 的椭圆．
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第50讲│知识梳理
(5)待定系数法 若已知是何种曲线，再求曲线方程，一般采用待定系数法．求 圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程时常用待定系数法．
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第50讲│要点探究
要点探究
► 探究点1 直接法求轨迹方程
例 1 [2009·湖南卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与它到直线 x＝2 的距离的 3 倍之 和记为 d，当 P 点运动时，d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和， 求点 P 的轨迹 C.
第50讲│曲线与方程
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第50讲│知识梳理
知识梳理
1．一般的，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种
条件的点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元
方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
【思路】 用直接法求解轨迹方程．
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第50讲│要点探究
【解答】设点 P 的坐标为(x，y)， 则 d＝4 x－32＋y2＋3|x－2|＝x＋18，① 当 x>2 时，由①得 x－32＋y2＝6－12x， 化简得3x62＋2y72 ＝1. 当 x≤2 时，由①得 x－32＋y2＝3＋x， 化简得 y2＝12x，
【思路】利用两圆的相切，得到动圆圆心与已知两圆 圆心间的关系，再利用定义验证曲线的类型．
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第50讲│要点探究
【解答】 设动圆的圆心为 M(x，y)，半径为 R，设
已知圆的圆心分别为 O1、O2，将圆的方程分别配方得： (x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100，当动圆与圆 O1 相外切 时，
即xy＝＝3545yy′′＋－4535xx′′－＋135562，，
代入 x2＋y2－4y－5＝0 得
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第50讲│要点探究
(x′－8)2＋(y′＋2)2＝9，所以点 Q 的轨迹方程为 (x－8)2＋(y＋2)2＝9.
【点评】用相关点代入法求轨迹方程的关键是：(1)根据 已知条件寻找所求点与另外一点的横纵坐标之间的关系式：
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第50讲│要点探究
故点 P 的轨迹 C 是椭圆 C1：3x62＋2y72 ＝1 在直线 x＝2 的右侧部分与抛物线 C1：y2＝12x 在直线 x＝2 的左侧部分 (包括它与直线 x＝2 的交点)所组成的曲线(参见图 50－1)．
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第50讲│要点探究
【点评】用定义法求动点轨迹时要注意它的完备性和 纯粹性，化简过程破坏了方程的同解性，因此要注意补充 遗漏的点或删除多余的点．当题目中含有变量时注意对不 同类型曲线的讨论．
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第50讲│要点探究
(2)设圆 P 的半径为 r，则|PA|＝r＋1， |PB|＝r，因此|PA|－|PB|＝1. 由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支， 且 2a＝1,2c ＝4，即 a＝12，c＝2，b＝ 215， 因此其方程为 4x2－145y2＝1x≥12.
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第50讲│要点探究
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第50讲│知识梳理
线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义 法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或 差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．
(3)相关点法 若动点 P(x，y)随已知曲线上的点 Q(x0，y0)的变动而变动， 且 x0、y0 可用 x、y 表示，则将 Q 点坐标表达式代入已知曲线方 程，即得点 P 的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)． (4)参数法 如果轨迹动点 P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，也没有 相关点可用时，可先考虑将 x、y 用一个或几个参数来表示，消 去参数得轨迹方程．参数法中常选角、斜率等为参数．
【思路】因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴 上，所以可设双曲线的标准方程，联系它们的对称性， 可得联立的方程组有等根，可得a，b的一个关系，又由 弦长得另一关系，解方程组可求．
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第50讲│要点探究
【解答】设所求双曲线方程为ay22－xb22＝1，将 y2＝4x 代 入此方程整理得
a2x2－4b2x＋a2b2＝0， ∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称 性，这两个点的横坐标应相等，因此方程
③
y1＝12x＋32y－1.
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第50讲│要点探究
又点 Q 在双曲线 x2－y2＝1 上． ∴x21－y21＝1.④ ③代入④，得动点 P 的轨迹方程为 2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.
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第50讲│要点探究
► 探究点4 待定系数法求轨迹方程
例 4 已知抛物线 y2＝4x 和以坐标轴为对称轴、实轴在 y 轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线 y＝2x 被双曲线截 得线段长等于 2 5，求此双曲线方程．
2．解析几何研究的两类问题 一是根据条件确定曲线方程，二是利用方程研究曲线 的几何性质．本讲属于第一类问题．确定曲线的方程，总 体上又分两类：一类是确定已知曲线的方程，主要是待定 系数法和基本量运算；另一类是确定未知曲线的方程．
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第50讲│规律总结
3．求轨迹应注意的几个问题． (1)直接法是求轨迹方程的基本方法；定义法求轨迹的 关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活应用定义； 用代入法即相关点法求轨迹的关键是寻求关系式：x′＝f(x， y)，y′＝g(x，y)，然后代入已知曲线．而求对称曲线(轴对 称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解 题．用几何法挖掘图形的几何属性，建立适当的等量关系 求轨迹，常能大大减少运算量，收到事半功倍的效果．
【思路】容易求出点Q的轨迹方程，设出点P和点Q的 坐标，根据两点关于直线y＝2x－8对称，得到两点坐标之 间的关系，然后利用相关点代入法求得Q点的轨迹方程．
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第50讲│要点探究
【解答】设 Q(x，y)，P(x′，y′)，由 QAQB ＝4 得(－1－x，0－y)·(1－x,4－y)＝4， 即 x2＋y2－4y－5＝0. 又 P，Q 两点关于 y＝2x－8 对称， 所以得到xyy＋－－2 yyx′′′＝＝2－·x12＋，2 x′－8，
由aa22b＝2＝2b4，b2－a2， 得ab22＝＝21，，
∴双曲线方程为y22－x2＝1.
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第50讲│要点探究
【点评】两个二元二次方程组成的方程组，不能仅 以x或y的不同解来判断其交点个数，还应结合曲线的对 称性加以判断．
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第50讲│规律总结
规律总结
1．求曲线的方程与求轨迹是不同的，若是求轨迹则不 仅要求出方程，而且还要说明所求轨迹的图形的位置、形 状等信息．
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