2007年高考数学试题数列分类汇编
2007-2018新课标高考真题汇编之数列(理科)(K12教育文档)
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1．（2007年新课标第4题）已知{}n a 是等差数列,1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =（ ） Ａ．23-Ｂ．13-Ｃ．13Ｄ．232．(2007年新课标第7）已知0x >,0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．43．（2008年新课标第4题）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =( ） A 。
2B. 4C 。
152D.1724．(2008年新课标第17题）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-． （1）求数列{}n a 的通项n a ;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值．5．(2009年新课标第7题）等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ,22a ,3a 成等差数列,若1a =1，则4s =（ ) (A ）7（B ）8（C ）15（D ）166．（2009年新课标第16题）等差数列{}n a 前n 项和为n S ．已知211210,38m m m m a a a S -+-+-==,则m=_______．7．(2010年新课标第17题)设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=． （1)求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S ．8．（2011年新课标第17题）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==．（1）求数列{}n a 的通项公式;（2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．9．（2012年新课标第5题）已知{}n a 为等比数列，472a a +=,568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -710．(2012年新课标第16题）数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为____________．11．(2013年新课标1第7题）设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m =（ ） A.3B 。
历年高考真题考点归纳2007年数列的应用
一、选择题2.（2007福建）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（ ） A ．1B ．56C ．16D ．130答案 B 3.（2007宁夏）已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ）Ａ．3Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2- 答案 B二、填空题7.（2007重庆）设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程03842=+x x 的两根，则=+20072006a a _____.答案 188．（2006广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数，则(3)_____f =；()_____f n =（答案用n 表示）.答案 =)3(f 10，6)2)(1()(++=n n n n f 三、解答题11.(2007湖南)已知()n n n A a b ，（n ∈N*）是曲线xy e =上的点，1a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，…． （I ）证明：数列2n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2n ≤）是常数数列； （II ）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列；（III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N*）的斜率随n 单调递增解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …… ①于是213(1)n n S S n ++=+． ……②由②－①得163n n a a n ++=+． …… ③于是2169n n a a n +++=+． …… ④由④－③得26n n a a +-=， …… ⑤ 所以2262n n n n a a a n a n b e e e b e ++-+===，即数列2(2)n n b n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭≥是常数数列． （II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有3215a a +=，4321a a +=，所以332a a =+，4182a a =-．而 ⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列， 所以226(1)k a a k =+-，2136(1)k a a k +=+-，2246(1)()k a a k k +=+-∈N*， 数列{}n a 是单调递增数列12a a ⇔<且22122k k k a a a ++<<对任意的k ∈N*成立． 12a a ⇔<且2346(1)6(1)6(1)a k a k a k +-<+-<+-1234a a a a ⇔<<<9151223218244a a a a a ⇔<-<+<-⇔<<． 即所求a 的取值集合是91544M a a ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭． （III ）解法一：弦1n n A A +的斜率为1111n na a n n n n n n nb b e e k a a a a ++++--==-- 任取0x ，设函数00()x x e e f x x x -=-，则0020()()()()x x x e x x e e f x x x ---=- 记00()()()xx x g x e x x e e =---，则00()()()x x x x g x e x x e e e x x '=-+-=-， 当0x x >时，()0g x '>，()g x 在0()x +∞，上为增函数，当0x x <时，()0g x '<，()g x 在0()x -∞，上为减函数，所以0x x ≠时，0()()0g x g x >=，从而`()0f x '>，所以()f x 在0()x -∞，和0()x +∞，上都是增函数．由（II ）知，a M ∈时，数列{}n a 单调递增，取0n x a =，因为12n n n a a a ++<<，所以11n n a a n n n e e k a a ++-=-22n na a n ne e a a ++-<-． 取02n x a +=，因为12n n n a a a ++<<，所以12112n n a a n n n e e k a a +++++-=-22n n a a n n e e a a ++->-． 所以1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增． 解法二：设函数11()n a x n e e f x x a ++-=-，同解法一得，()f x 在1()n a +-∞，和1()n a ++∞，上都是增函数， 所以111111lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++-+++--=<=--→，211111211lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a ++++++++++--=>=--→． 故1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．12.（2007浙江）已知数列{n a }中的相邻两项21k a -、2k a 是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++⋅= 的两个根，且21k a -≤2k a (k ＝1，2，3，…)． (I)求1357,,,a a a a 及2n a (n ≥4)(不必证明)；(Ⅱ)求数列{n a }的前2n 项和S 2n ．(I)解：方程2(32)320k kx k x k -++⋅=的两个根为123, 2k x k x ==． 当k ＝1时，123,2x x ==，所以12a =；当k ＝2时，126,4x x ==，所以34a =；当k ＝3时，129,8x x ==，所以58a =；当k ＝4时，1212,16x x ==，所以712a =；因为n ≥4时，23nn >，所以22 (4)n n a n =≥（Ⅱ）22122(363)(222)n n n S a a a n =+++=+++++++＝2133222n n n +++-． 13.（2007四川）已知函数f （x ）=x 2－4，设曲线y ＝f （x ）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴的交点为（x n +1,u ）（u ,N +），其中为正实数.（Ⅰ）用x x 表示x n +1； （Ⅱ）若a 1=4，记a n =lg 22n n x x +-，证明数列｛a 1｝成等比数列，并求数列｛x n ｝的通项公式； （Ⅲ）若x 1＝4，b n ＝x n －2，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明T n <3.解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．（Ⅰ）由题可得'()2f x x =．所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是：()'()()n n n y f x f x x x -=-．即2(4)2()n n n y x x x x --=-．令0y =，得21(4)2()n n n n x x x x +--=-．即2142n n n x x x ++=．显然0n x ≠，∴122n n nx x x +=+． （Ⅱ）由122n n n x x x +=+，知21(2)22222n nn n nx x x x x +++=++=，同理21(2)22n n n x x x +--=． 故21122()22n n n n x x x x ++++=--． 从而1122lg 2lg 22n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=．所以，数列{}n a 成等比数列．故111111222lg 2lg 32n n n n x a a x ---+===-． 即12lg 2lg 32n n n x x -+=-． 从而12232n n n x x -+=- 所以11222(31)31n n n x --+=- （Ⅲ）由（Ⅱ）知11222(31)31n n n x --+=-， ∴1242031n n n b x -=-=>- ∴111112122223111113313133n n n n n n b b ----+-==<≤=-+ 当1n =时，显然1123T b ==<． 当1n >时，21121111()()333n n n n b b b b ---<<<< ∴12n n T b b b =+++ 111111()33n b b b -<+++ 11[1()]3113n b -=- 133()33n =-⋅<． 综上，3n T <(*)n N ∈．。
2007年高考数学试题知识分类汇编排列、组合、二项式
2007年高考数学试卷分类汇编排列、组合、二项式1．（全国Ⅰ卷理科第10题）21()nx x -的展开式中，常数项为15，则n = （ D ）A ．3B ．4C ．5D ．62．（全国Ⅰ卷文科第5题）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ C ）A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种3．（全国Ⅱ卷理科第10题）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B ）A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种 4．（全国Ⅱ卷文科第10题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ D ）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种5．（北京理科第5题）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ）Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种6．（北京文科第5题）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ A ）Ａ．()2142610C A 个 Ｂ．242610A A 个 Ｃ．()2142610C个 Ｄ．242610A 个 7．（重庆理科第4题）若n x x )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ）A10 B.20 C.30 D.1208．（重庆文科第4题）()221x -展开式中2x 的系数为（ B ） （A ）15 （B ）60 （C ）120 （D ）2409．（四川理科第10题）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ B ）（A ）288个（B ）240个（C ）144个（D ）126个10．（四川文科第9题）用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ B ）A.48个B.36个C.24个D.18个11．（湖北理科第1题）如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ B ） Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6Ｄ．10 12．（湖北文科第3题）如果2323n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ C ） Ａ．10 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．313．(浙江文科第6题)91()x x -展开式中的常数项是（ C ）(A) －36 (B)36 (C) －84 (D) 84 14．（江西理科第4题）已知33nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ C ）Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7 15．（江西文科第5题）设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为（ A ） Ａ．2- Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．216．（福建文科第12题）某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ C ）Ａ．2000 Ｂ．4096 Ｃ．5904 Ｄ．832017．（广东理科第7题、文科第10题）图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为（ C ） A ．18 B ．17 C ．16 D ．1518．（辽宁文科地第12题）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a =，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法种数为（ B ）A ．18B ．30C ．36D ．48二、填空题1．（全国Ⅰ卷理科第13题）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有___36__种。
2007年高考数学分类汇编详解_____数列
2007年高考数学分类汇编详解_____数列重庆文（1）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 1＝64，，则公比q 为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）8重庆理(21)(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=（1）求{n a }的通项公式；（2）设数列{n b }满足1)12(=-n b n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，求证：*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+（21）（本小题12分）（Ⅰ）解：由)2)(1(611111++==a a S a ，解得a 1＝1或a 1＝2，由假设a 1＝S 1＞1，因此a 1＝2。
又由a n +1＝S n +1- S n ＝)2)(1(61)2)(1(6111++=++++n n n n a a a a ， 得a n +1- a n -3＝0或a n +1＝-a n因a n ＞0，故a n +1＝-a n 不成立，舍去。
因此a n +1- a n -3＝0。
从而｛a n ｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛a n ｝的通项为a n ＝3n -2。
（Ⅱ）证法一：由1)12(=-b n a 可解得133log 11log -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n na b z n z z ； 从而⎪⎭⎫⎝⎛-=+++=133··56·23log 21n n b b b T z n n 。
因此23n 2·133··56·23log )3(log 133+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+n n a T z n z n 。
令23n 2·133··56·23)(3+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n x f ,则 233)23)(53()33(23n 33n ·5323)()1(+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+n n n n n n f n f 。
2007年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(11解析几何初步)
2007年高考中的“解析几何初步”试题汇编大全一、选择题：1.(2007安徽文)若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则a 的值为（ C ）(A)-2或2 (B)2321或 (C)2或0 (D)-2或02.（2007湖北文）由直线y=x +1上的一点向圆(x -3)3+y 2=1引切线，则切线长的最小值为（ C ）A.1B.22C.7D.33.（2007湖北理）已知直线1=+by a x （a,b 是非零常数）与圆x 2+y 2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ A ）A.60条B.66条C.72条D.78条4.（2007上海文）圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ C ）Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y x Ｄ．2)2()3(22=++-y x5.（2007浙江文、理）直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（ D ）(A)x ＋2y －1＝0 (B)2 x ＋y －1＝0（C ）2 x ＋y －3＝0 (D) x ＋2y －3＝06.（2007重庆文）若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°（其中O 为原点），则k 的值为（ A ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73 （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72二、填空题：1．（2007湖南文、理）圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是22(1)(1)2x y -+-=2．（2007山东文、理）与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 22(2)(2)2x y -+-= ．3．（2007江西理）设有一组圆C k ：(x －k ＋1)2＋(y －3k)2＝2k 4 (k ∈N *)．下列四个命题：A ．存在一条定直线与所有的圆均相切B ．存在一条定直线与所有的圆均相交C ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 D ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是 B D ， ．(写出所有真命题的代号)4（2007上海文）直线014=-+y x 的倾斜角θ 4arctan π- ．5.（2007上海理）若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则=m 32- ．6（2007上海理）已知P 为圆1)1(22=-+y x 上任意一点（原点O 除外），直线OP的倾斜角为θ弧度，记||OP d =．在右侧的坐标系中，画出以()d θ，为坐标的点的轨迹的大致图形为7.（2007上海文）如图，A B ，是直线l 上的两点，且=AB l 相切于A B ，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与线段AB 围成图形面积S 的取值范围是π022⎛⎤- ⎥⎝⎦，．8.（2007四川文、理）.已知⊙O 的方程是z 2+y 2-2=0, ⊙O ′的方程是x 2+y 2=8x+10=0. 由动点P 内⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是32x = .9.（2007天津文、理）已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ，两点，则直线AB 的方程是 30x y += ．三、解答题：。
高考数学试题分类汇编——极限
高考数学试题分类汇编——极限一、填空题：某某市浦东新区2007学年度第一学期期末质量抽测2008/11、=++∞→1lim 22n C nn .21某某市静安区2007学年第一学期高三期末质量监控考试数学试题2、（理）已知对于任意正整数n ，都有321n a a a n =+++ ，则)111111(lim 32-++-+-+∞→n n a a a =．31； （文）9412lim+++∞→n n n =．03、若f(n)=234212121212333333n n --+-++-(其中n ∈N*),则lim ()n f n →∞=。
814、若,4)(0='x f 则hh x f h x f h )2()(lim 00--+∞→等于.125、已知∞→x lim （12+x －ax ）=0，则a 的值为. 16.设L n 为（1＋x ）n展开式中x 2的系数，则∞→n lim （21L +31L +41L +…+nL 1）＝_____2______． 7.已知c>0，设命题P ：∞→n lim ＝0；命题Q ：当x ∈[21,2]时，函数f(x)=x+x 1>c1 恒成立，如果P 或Q 为真命题，P 且Q 为假命题，则c 的取值X 围___1≥c 或0<c ≤0.5___． 8.某某市部分重点中学高三第一次联考 等差数列{}n a 前n 项和n S ，已知∞→n lim()081112>-=+a a n S n ，则n S 达到最大值时的n ＝_______________。
4或59.某某市嘉定一中2007学年第一学期高三年级测试（二）n n n n )]111()311)(211([lim +---⋅∞→ =e110.某某市嘉定一中2007学年第一学期高三年级测试（二）若首项为a 1，公比为)1(≠q q 的等比数列1212123)(lim }{a q a a a a n n n ，则满足=-+∞→的取值X围是)3,23()23,0(⋃11.200８年某某市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）设a ，b ∈R ，ibi a 7150+-=+，=+-∞→n n n n x b a b a lim ．－１ 12、已知函数R x f x a x x x x x f 在若)(,1,1,12)(2⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=上连续，则a=，此时=+-∞→)321(lim nan an n 。
2007年高考试题——数学理(山东卷)
2007年高考数学山东卷（理科）详细解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1 若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是 （A ）6π（B ）4π（C ）3π（D ）2π【答案】:D 【分析】：把2π代入验证即得。
2 已知集合{}1,1M =-，1124,2x N xx Z +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂= （A ）{}1,1- （B ） {}1- （C ）{}0 （D ） {}1,0- 【答案】:B 【分析】：求{}1124,1,02x N xx Z +⎧⎫=<<∈=-⎨⎬⎩⎭。
3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（A ）(1),(2) （B ） (1),(3) （C ）(1),(4) （D ） (2),(4)【答案】:D 【分析】：从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案。
4 设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （A ）1,3 （B ） 1,1- （C ）1,3- （D ） 1,1,3-【答案】:A 【分析】：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。
5 函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++的最小正周期和最大值分别为（A ）,1π （B ） π （C ）2,1π （D ） 2π【答案】:A 【分析】：化成sin()y A x ωϕ=+的形式进行判断即cos 2y x =。
6 给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-。
下列函数中不满足其中任何一个等式的是（A ）()3xf x = （B ） ()sin f x x = （C ）2()log f x x = （D ） ()tan f x x = 【答案】:B 【分析】：依据指、对数函数的性质可以发现A ，C 满足其中的一个等式，而D 满足()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，B 不满足其中任何一个等式.7 命题“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”的否定是（A ）不存在x R ∈，3210x x -+≤ （B ）存在x R ∈，3210x x -+≤ （C ）存在x R ∈，3210x x -+> （D ）对任意的x R ∈，3210x x -+>【答案】:C 【分析】：注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定。
2007-2011宁夏高考数学(文)试题分类汇总(全部)
2007-2011高考集合与简易逻辑考题汇总20071．设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A B = （ ） Ａ．{}|2x x >-Ｂ．{}1x x >-|Ｃ．{}|21x x -<<- Ｄ．{}|12x x -<<2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x > Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x > 20081、已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }，N ={ x| x + 1 < 0 }， 则M ∩N =（ ） A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 9、平面向量a,b 共线的充要条件是（ ） A. a,b 方向相同 B. a,b 两向量中至少有一个为零向量C. R λ∃∈， b a λ=r rD. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r2009（1） 已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则A B =(A) }{3,5 (B) }{3,6 (C) }{3,7 (D) }{3,9 （4）有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ,x y R ∃∈, sin()sin sin x y x y -=-3p : ∀x ∈[]0,πsin x = 4p : sin cos 2x y x y π=⇒+= 其中假命题的是（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p 31p ，3p （4）2p ，3p 2010（1）已知集合2,,4,|A x x x R B x x Z =≤∈=≤∈，则A B =（A ）（0，2） （B ）[0，2] （C ）|0，2| （D ）|0，1，2| 2011（1）已知集合{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,M N P M N === 则P 的子集共有（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个2007-2011高考复数考题汇总200715．i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 20083、已知复数1z i =-，则21z z =-（ ） A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i2009 2 复数3223ii+=- （A ）1 （B ）1- （C ）i (D)i - 20103已知复数z =，则z = (A)14 （B ）12（C ）1 （D ）22复数512ii=- （A ）2i - （B ）12i - （C ）2i -+ （D ）12i -+2007-2011高考程序框图考题汇总20075．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ）Ａ．2450 Ｂ．2500Ｃ．2550 Ｄ．265220086、右面的程序框图，如果输入三个实数a 、b 、c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（） A. c > x B. x > c C. c > b D. b > c 2009（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于 （A ）3 （B ） 3.5 （C ） 4 （D ）4.5（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于 （A ）54（B ）45（C ）65（D ）562011（5）执行右面得程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 （A ）120 （B ）720（C ）1440 （D ）50402007-2011高考平面向量考题汇总20074．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)，20085、已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b λ+r r 与a r垂直，则λ是（ ）A. －1B. 1C. －2D. 22009（7）已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为 （A ）17-（B ）17 （C ）16- （D ）16 20102.a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于 （A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）1665- 2011（13）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量ka-b 垂直，则k= 。
高考数学试题分类汇编 数列
历年高考数学试题分类汇编数列(理)一． 选择题：1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．232.（上海卷14） 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．543.（北京卷6）已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ） A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-4.（四川卷7）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞5.（天津卷4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）156.（江西卷5）在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 7.（陕西卷4）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ）A ．64B ．100C ．110D ．1208.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为A.63B.64C.127D.1289.（广东卷2）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ） A ．16B ．24C ．36D ．4810.（浙江卷6）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a = （A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）332（n --41） （D ）332（n --21） 11.（海南卷4）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ ） A. 2B. 4C.152D.172二． 填空题：1.（四川卷16）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为___________。
2007年高考数学试题及答案(共37份)
2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题湖南卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 不等式2x x >的解集是（ ）A (0)-∞，B (01)，C (1)+∞，D (0)(1)-∞+∞ ，，2 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）A EF OF OE =+B EF OF OE =-C EF OF OE =-+D EF OF OE =--3 设2:40p b ac ->（0a ≠），:q 关于x 的方程20ax bx c ++=（0a ≠）有实数，则p是q 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分又不必要条件4 在等比数列{}n a （n ∈N *）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（ ） A 4122-B 2122-C 10122-D 11122-5 在(1)n x +（n ∈N *）的二次展开式中，若只有3x 的系数最大，则n =（ ）A 8B 9C 10D 116 如图1，在正四棱柱1111ABC D A B C D -中，E F ，分别是1A B ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（ ） A E F 与1B B 垂直B E F 与B D 垂直C E F 与CD 异面D E F 与11A C 异面7 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2） 从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ） A 48米 B 49米 C 50米 D 51米CA 18 函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ） A 1B 2C 3D 49 设12F F ，分别是椭圆22221x y ab+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为（c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（ ）A2B12C2D210 设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j =，{123}i j k ∈ 、，，，，），都有m in m inj j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ ） A 10B 11C 12D 13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 把答案填在横线上11 圆心为(11)，且与直线4x y -=12 在A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，c =，π3C =，则A =13 若0a >，2349a =，则14loga =14 设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅ ，频率0 水位（米）图2（1）b 的取值范围是 ；（2）若()x y A B ∈ ，，且2x y +的最大值为9，则b15 棱长为1的正方体1111ABC D A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是 ；设E F ，分别是该正方体的棱1A A ，1DD 的中点，则直线E F 被球O 截得的线段长为三、解答题：本大题共6小题，共75分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 （本小题满分12分）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 求： （I ）函数()f x 的最小正周期； （II ）函数()f x 的单调增区间17 （本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率18 （本小题满分12分）如图3，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，C A C B =，45BAP ∠=，直线C A 和平面α所成的角为30（I ）证明BC PQ ⊥；（II ）求二面角B A C P --的大小19 （本小题满分13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点，点C 的坐标是(10)，（I ）证明C A ，C B为常数；（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程20 （本小题满分13分）设n S 是数列{}n a （n ∈N *）的前n 项和，1a a =，且22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n = ，，，（I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N *）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项21 （本小题满分13分）已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点（I ）求24a b -的最大值；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修+选修Ⅰ）湖南卷 参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 D2 B3 A4 B5 C6 D7 C8 C9 D 10 B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 把答案填在横线上11 22(1)(1)2x y -+-=12π613 314 （1）[2)+∞，（2）9215 3π三、解答题：本大题共6小题，共75分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ))2442x x x =++=+=（I ）函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==；（II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()2f x x=是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）17 解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =（I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯=所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=（II ）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是22430.90.10.243P C =⨯⨯=3人都参加过培训的概率是330.90.729P ==所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C ⨯⨯=3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=18 解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结O B因为αβ⊥，PQ αβ= ，所以C O α⊥， 又因为C A C B =，所以O A O B =而45BAO ∠= ，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=，从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥，所以PQ ⊥平面O BC 因为B C ⊂平面O BC ，故PQ BC ⊥（II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ= ，B O α⊂，所以BO β⊥过点O 作O H A C ⊥于点H ，连结B H ，由三垂线定理知，B H A C ⊥故B H O ∠是二面角B A C P --的平面角由（I ）知，C O α⊥，所以C A O ∠是C A 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，不妨设2A C =，则AO =sin 302O H AO ==在R t O AB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以BO AO ==，于是在R t B O H △中，tan 22BO BH O O H∠===故二面角B A C P --的大小为arctan 2解法二：由（I ）知，O C O A ⊥，O C O B ⊥，O A O B ⊥，故可以O 为原点，分别以直线O B O A O C ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）因为C O a ⊥，所以C A O ∠是C A 和平面α所成的角，则30CAO ∠=不妨设2A C =，则AO =1C O =在R t O AB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以BO AO ==则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，0)B ，，(00)A ，(001)C ，，所以A B =-，(0A C =-，设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n A B n A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00z -=+=⎪⎩，取1x =，得1(11n =易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量设二面角B A C P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，所以1212cos ||||n nn n θ===故二面角B A C P --的大小为arccos19 解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，（I ）当A B 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(2，(2-，，此时(1(11C A C B =-=-，当A B 不与x 轴垂直时，设直线A B 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241kx x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-综上所述，C A C B为常数1-（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)C M x y =-，，11(1)CA x y =- ，， 22(1)CB x y =- ，，(10)C O =-，，由CM CA CB CO =++ 得： 121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，于是A B 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭， 当A B 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-将1212()2y y y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=当A B 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程所以点M 的轨迹方程是224x y -=解法二：同解法一得12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①当A B 不与x 轴垂直时，由（I ） 有2122x x +=…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭ ………………………③由①②③得222x +=…………………………………………………④2y =……………………………………………………………………⑤当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，2x k y+=，将其代入⑤有222224(2)1x yy x y+⨯==+- 整理得224x y -=当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程当A B 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程故点M 的轨迹方程是224x y -=20 解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+= …………………………①于是213(1)n n S S n ++=+ …………………………………………………②由②－①得：163n n a a n ++=+ ……………………………………………③于是2169n n a a n +++=+ ……………………………………………………④由④－③得：26n n a a +-= …………………………………………………⑤即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-由③有1215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N *由题设知，1187n n b -=⨯ 当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N *，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项（注：考生取满足36n a k =-，n k ∈N *的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第126723n a -⨯+-项即可）21 解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则21x x -=2104x x <-≤ 于是04<，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立 故24a b -的最大值是16（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则1x =不是()g x 的极值点而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x < 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x < 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102a h =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--。
2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)及解析
2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）求值sin210°=（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）A．B．C．D．3．（5分）设复数z满足=i，则z=（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．2+i4．（5分）以下四个数中的最大者是（）A．（ln2）2B．ln（ln2）C．ln D．ln25．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣6．（5分）不等式的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．9．（5分）把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）A．e x﹣3+2 B．e x+3﹣2 C．e x﹣2+3 D．e x+2﹣310．（5分）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种11．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为．14．（5分）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为．15．（5分）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2．16．（5分）已知数列的通项a n=﹣5n+2，其前n项和为S n，则=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y （1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）求y的最大值．18．（12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．20．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．21．（12分）设数列{a n}的首项a1∈（0，1），a n=，n=2，3，4…（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证b n＜b n+1，其中n为正整数．22．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：﹣a＜b ＜f（a）2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）求值sin210°=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】通过诱导公式得sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°得出答案．【解答】解：∵sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°=﹣故答案为D2．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】画出y=|sinx|的图象即可得到答案．【解答】解：根据y=|sinx|的图象，如图，函数y=|sinx|的一个单调增区间是，故选C．3．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设复数z满足=i，则z=（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．2+i【分析】将复数z设a+bi，（a，b∈R），代入复数方程，利用复数相等的条件解出复数z．【解答】解：设复数z=a+bi，（a，b∈R）满足=i，∴1+2i=ai﹣b，，∴z=2﹣i，故选C．4．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）以下四个数中的最大者是（）A．（ln2）2B．ln（ln2）C．ln D．ln2【分析】根据lnx是以e＞1为底的单调递增的对数函数，且e＞2，可知0＜ln2＜1，ln（ln2）＜0，故可得答案．【解答】解：∵0＜ln2＜1，∴ln（ln2）＜0，（ln2）2＜ln2，而ln=ln2＜ln2，∴最大的数是ln2，故选D．5．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2，=，∴=，∴λ=，故选A．6．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）不等式的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【分析】首先不等式的分母可化为（x+2）（x﹣2），不等式的分子和分母共由3个一次因式构成．要使得原不等式大于0，可等同于3个因式的乘积大于0，再可根据串线法直接求解．【解答】解：依题意，原不等式可化为等同于（x+2）（x﹣1）（x﹣2）＞0，可根据串线法直接解得﹣2＜x＜1或x＞2，故答案应选B．7．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1的中点D1，∠B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选A．8．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．【解答】解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．9．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）A．e x﹣3+2 B．e x+3﹣2 C．e x﹣2+3 D．e x+2﹣3【分析】平移向量=（h，k）就是将函数的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位．【解答】解：把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，即向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后得到y=f（x）的图象，∴f（x）=e x﹣2+3，故选C．10．（5分）（2009•湖北）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种【分析】分2步进行，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，分别计算其情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有C52种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有A32种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有C52A32=60种，故选B．11．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题设条件设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，由此可以求出双曲线的离心率．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=t，|AF1|=3t，（t＞0）双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2t，t，∴离心率，故选B．12．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9【分析】先设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再依据=0，判断点F是△ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值．最后根据抛物线的定义求得答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=﹣1∵=，∴点F是△ABC重心则x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|FA|=x1﹣（﹣1）=x1+1|FB|=x2﹣（﹣1）=x2+1|FC|=x3﹣（﹣1）=x3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6故选C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为﹣42．【分析】将问题转化成的常数项及含x﹣2的项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0，﹣2求出常数项及含x﹣2的项，进而相加可得答案．【解答】解：先求的展开式中常数项以及含x﹣2的项；由8﹣2r=0得r=4，由8﹣2r=﹣2得r=5；即的展开式中常数项为C84，含x﹣2的项为C85（﹣1）5x﹣2∴的展开式中常数项为C84﹣2C85=﹣42故答案为﹣4214．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．【分析】根据ξ服从正态分布N（1，2），得到正态分布图象的对称轴为x=1，根据在（0，1）内取值的概率为0.4，根据根据随机变量ξ在（1，2）内取值的概率与ξ在（0，1）内取值的概率相同，得到随机变量ξ在（0，2）内取值的概率．【解答】解：∵测量结果ξ服从正态分布N（1，2），∴正态分布图象的对称轴为x=1，在（0，1）内取值的概率为0.4，∴随机变量ξ在（1，2）内取值的概率与ξ在（0，1）内取值的概率相同，也为0.4，∴随机变量ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．故答案为：0.815．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为2+4cm2．【分析】本题考查的知识点是棱柱的体积与表面积计算，由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，我们根据球的直径等于棱柱的对角线长，我们可以求出棱柱的各棱的长度，进而得到其表面积．【解答】解：由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm2．故答案为：2+416．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知数列的通项a n=﹣5n+2，其前n项和为S n，则=．【分析】由通项公式知该数列是等差数列，先求出首项和公差，然后求出其前n 项和，由此能得到的值．【解答】解：∵数列的通项a n=﹣5n+2，∴a1=﹣3，a2=﹣8，d=﹣5．∴其前n项和为S n，则=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）求y的最大值．【分析】（1）由内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y，我们结合三角形的性质，△ABC的内角和A+B+C=π，△ABC的周长y=AB+BC+AC，我们可以结合正弦定理求出函数的解析式，及自变量的取值范围．（2）要求三角函数的最值，我们要利用辅助角公式，将函数的解析式，化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的最值的求法进行求解．【解答】解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，由得．应用正弦定理，知，．因为y=AB+BC+AC，所以，（2）∵=，所以，当，即时，y取得最大值．18．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．【分析】（1）有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，取出的2件产品中至多有1件是二等品包括无二等品和恰有一件是二等品两种情况，设出概率，列出等式，解出结果．（2）由上面可以知道其中二等品有100×0.2=20件取出的2件产品中至少有一件二等品的对立事件是没有二等品，用组合数列出结果．【解答】解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则A0，A1互斥，且A=A0+A1，故P（A）=P（A0+A1）=P（A0）+P（A1）=（1﹣p）2+C21p（1﹣p）=1﹣p2于是0.96=1﹣p2．解得p1=0.2，p2=﹣0.2（舍去）．（2）记B0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则．若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有100×0.2=20件，故．19．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．【分析】法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．要证EF∥平面SAD，只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可．（2）取AG中点H，连接DH，说明∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角，解三角形求二面角A﹣EF﹣D的大小．法二：建立空间直角坐标系，平面SAD即可证明（1）；（2）求出向量和，利用，即可解答本题．【解答】解：法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连接，又，故为平行四边形．EF∥AG，又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．所以EF∥平面SAD．（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等腰直角三角形．取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF．取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．连接DM，则DM⊥EF．故∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角．所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），，．取SD的中点，则．平面SAD，EF⊄平面SAD，所以EF∥平面SAD．（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），，．EF中点，，，又，，所以向量和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．．所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．20．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．【分析】首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．【解答】解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．得圆O的方程为x2+y2=4．（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，两边平方，可得（x2+y2+4）2﹣16x2=（x2+y2）2，化简整理可得，x2﹣y2=2．=x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．由于点P在圆O内，故由此得y2＜1．所以的取值范围为[﹣2，0）．21．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的首项a1∈（0，1），a n=，n=2，3，4…（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证b n＜b n+1，其中n为正整数．【分析】（1）由题条件知，所以{1﹣a n}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，由此可知（2）方法一：由题设条件知，故b n＞0．那么，b n+12﹣b n2=a n+12（3﹣2a n+1）﹣a n2（3﹣2a n）=由此可知b n＜b n+1，n为正整数．方法二：由题设条件知，所以．由此可知b n＜b n+1，n为正整数．【解答】解：（1）由，整理得．又1﹣a1≠0，所以{1﹣a n}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故b n＞0．2﹣b n2那么，b n+1=a n+12（3﹣2a n+1）﹣a n2（3﹣2a n）==又由（1）知a n＞0且a n≠1，故b n+12﹣b n2＞0，因此b n＜b n+1，n为正整数．方法二：由（1）可知，因为，所以．由a n≠1可得，即两边开平方得．即b n＜b n+1，n为正整数．22．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=x3﹣x（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：﹣a＜b ＜f（a）【分析】（1）求出f′（x），根据切点为M（t，f（t）），得到切线的斜率为f'（t），所以根据斜率和M点坐标写出切线方程即可；（2）设切线过点（a，b），则存在t使b=（3t2﹣1）a﹣2t3，于是过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线即为方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t3﹣3at2+a+b，求出其导函数=0时t的值，利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g（t）的单调区间，利用g（t）的增减性得到g（t）的极值，根据极值分区间考虑方程g（t）=0有三个相异的实数根，得到极大值大于0，极小值小于0列出不等式，求出解集即可得证．【解答】解：（1）求函数f（x）的导函数；f'（x）=3x2﹣1．曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程为：y﹣f（t）=f'（t）（x﹣t），即y=（3t2﹣1）x﹣2t3；（2）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使b=（3t2﹣1）a﹣2t3．于是，若过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t3﹣3at2+a+b，则g'（t）=6t2﹣6at=6t（t﹣a）．当t变化时，g（t），g'（t）变化情况如下表：t（﹣∞，0）0（0，a）a（a，+∞）g′（t）+0﹣0+g（t）极大值a+b 极小值b﹣f（a）由g（t）的单调性，当极大值a+b＜0或极小值b﹣f（a）＞0时，方程g（t）=0最多有一个实数根；当a+b=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根；当b﹣f（a）=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根．综上，如果过（a，b）可作曲线y=f（x）三条切线，即g（t）=0有三个相异的实数根，则即﹣a＜b＜f（a）．。
【山东8年高考】2007-2014年高考数学真题分类汇编(名师整理)：集合与简易逻辑
集合与简易逻辑（一）选择题1、(07山东)命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是（ ） A.不存在01,23≤+-∈x x R x B.存在01,23≥+-∈x x R x C.存在01,23>+-∈x x R x D. 对任意的01,23>+-∈x x R x 答案：C.2、(07山东)下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是①3:62:2+++=>-<m mx x y q m m p ；，或有两个不同的零点 ②()()()x f y q x f x f p ==-:1:；是偶函数 ③βαβαtan tan :cos cos :==q p ； ④A C B C q A B A p U U ⊆=::；A.①②B.②③C.③④D. ①④答案：D.3.（08山东卷1）满足M ⊆｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1， a 2}的集合M 的个数是（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 答案：B4.(2009山东卷理)集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为( )A.0B.1C.2D.4【解析】:∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.5、（2010山东文数）(7)设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件答案：C6、（2010山东文数）（1）已知全集U R =，集合{}240M x x =-≤，则U C M =A. {}22x x -<<B. {}22x x -≤≤ C ．{}22x x x <->或 D. {}22x x x ≤-≥或 答案：C7、（2010山东理数）1.已知全集U=R ，集合M={x||x-1|≤2},则U C M=（A ）{x|-1<x<3} (B){x|-1≤x ≤3} (C){x|x<-1或x>3} (D){x|x ≤-1或x ≥3} 【解析】因为集合M={}x|x-1|2≤={}x|-1x 3≤≤,全集U =R ，所以U C M={}x|x<-1x>3或【命题意图】本题考查集合的补集运算,属容易题.8、（2011山东理数1）设集合 M ={x|260x x +-<}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N = A ．[1,2） B ．[1,2] C ．（ 2,3] D ．[2,3] 答案：A 9、（2011山东文数1）设集合 M ={x|（x+3）（x-2）<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =A ．[1,2）B ．[1,2]C ．（ 2,3]D ．[2,3]答案：A10（2011山东文数5）已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”，的否命题是 A ．若a +b+c≠3，则222a b c ++<3B ．若a+b+c=3，则222a b c ++<3C ．若a +b+c≠3，则222a b c ++≥3D ．若222a b c ++≥3，则a+b+c=3答案：A11(2012山东卷文(2))已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U A B ð为(A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4} 答案： C12（2013山东理）2． 已知集合A ={0,1,2}，则集合B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 92．C13（2013理）7．给定两个命题p ， q .若p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q ⌝的 （A ）充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件7． A14（2013山东理）16．定义“正对数”：0,01,ln ln ,1,x x x x +<<⎧=⎨≥⎩现有四个命题：①若0,0a b >>，则ln ()ln b a b a ++=； ②若0,0a b >>，则ln ()ln ln ab a b +++=+ ③若0,0a b >>，则ln ()ln ln a a b b+++≥-④若0,0a b >>，则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++ 其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的编号)答案：16．①③④15(2013山东数学文)(2)、已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集，且(){4}U A B =ð,{1,2}B =,则U A B =ð(A){3} (B){4} (C){3,4} (D)∅ 答案：A16（2013山东数学文）(8)、给定两个命题q p ,.p q ⌝是的必要而不充分条件，则p q ⌝是的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件答案：A17（2013山东数学文）(16).定义“正对数”：0(01)ln ln (1)x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，，，现有四个命题：①若0,0>>b a ，则a b a b++=ln )(ln ； ②若0,0>>b a ，则b a ab ++++=ln ln )(ln③若0,0>>b a ，则④若0,0>>b a ，则2ln ln ln )(ln ++≤++++b a b aba ba + + + - ≥ ln ln ) ( ln其中的真命题有____________(写出所有真命题的序号) 答案：①③④18.（2014山东数学文）2.设集合{}{},41,022≤≤=<-=x x B x x x A 则=B A （ ）（A ）(]2,0 （B ）()2,1 （C ） [)2,1 （D ）()4,1 答案：C19.（2014山东数学理）2.设集合{}{}]2,0[,2|,2|1||∈==<-=x y y B x x A x ，则=B A （ ）A. ]2,0[B. )3,1(C. )3,1[D. )4,1( 答案：C20.（2014山东数学理）4.用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A.方程02=++b ax x 没有实根 B.方程02=++b ax x 至多有一个实根 C.方程02=++b ax x 至多有两个实根 D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根 答案：A。
高考数学试题分类汇编算法
高考数学试题分类汇编——算法、统计、概率一、选择题： 1、（2007全国1 文科）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ） Ａ．36种 Ｂ．48种 Ｃ．96种 Ｄ．192种 答案：C 2、（2007广东 文科）图l 是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右 的各条形表示的学生人数依次记 为1A 、2A 、…、m A (如2A表示身高(单位：cm )在[150， 155)内的学生人数)．图2是统计 图l 中身高在一定范围内学生人 数的一个算法流程图．现要统计 身高在160～180cm (含160cm ，不含180cm )的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A ．9i <B ．8i <C ．7i <D ．6i < 答案：B 3、（2007湖北 文科）为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（ ） A ．300 B ．360 C ．420 D ．450答案：B4、（2007湖北 文科）将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ） A ．1564B ．15128C ．24125D ．48125答案：A 5、（2007湖南文科）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5kg ）方图（如图2），从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是A ．48米B . 49米 C. 50米 D . 51米答案：C 6、（2007江西 文科）一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有．放回．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（ ） Ａ．132Ｂ．164Ｃ．332Ｄ．364答案：D 7、（2007辽宁 文科）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（ ） A ．122B ．111C ．322D ．211答案：D 8、（2007全国 文科）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种答案：D9、某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介 于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六 组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二 组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组， 成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x ，成绩大于等于 15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方 图中可以分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.935，B ．0.945，C ．0.135，D ．0.145， 答案：A10、阅读右边的程序框，若输入的n 是100，则输出的秒变量S 和T 的值依次是（ ）A ．2550，2500B ．2550，2550C ．2500，2500D ．2500，2550答案：A11、（2007山东 文科）设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上”为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为（ ）A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4 答案：D 12、（2007四川 文科）某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是 (A)150.2克 (B)149.8克 (C)149.4克 (D)147.8克 答案：B 13、（2007四川 文科）用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有A.48个B.36个C.24个D.18个 答案：解析：选Ｂ．个位是2的有33318A =个，个位是4的有33318A =个，所以共有36个． 14、（2007重庆 文科）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（A ）41 （B ）12079 （C ）43 （D ）2423 答案：C 15、（2007山东 理科）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。
2013最新题库大全2005-2007年高考数学(理)试题分项 专题04 数列
A．0
B．
1 4
C．
1 2
D．1
【答案】 ：B 【分析】 ：
lim( x
x2
2
a 1 ax b) 4 4 2a b 4 2a b . b 2
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a a 1 1 a( )n a( )n a n 1 ab n 1 b 2 2 1. lim n 1 lim b lim n 1 1 2b n a n 1 a n ( ) 2 n ( ) n 2 4 a b a 2
f (n 1) 3n 2 3n 3 (3n 3) 3 · 。 f ( n) 3n 5 3n 2 (3n 5)(3n 2) 2
3
因 (3n 3) 2 (3n 5)(3n 2) 2 9n 7＞0 ，故
f (n 1)＞f (n) .
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1 3 a2004 a2004 2 或 2 （舍） 。 q 3. 3 1 a a 2005 2005 2 2
3 a2006 a2007 a2005 (q q 2 ) (3 32 ) 18. 2
3
3 6 3n 2 因此 3Tn 1 log z (a n 3) log z 。 · ·· · 3n 1 3n 2 2 5
令 f ( x) · ··
3 6 2 5
3n 2 ,则 · 3n 1 3n 2
3
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14、 （重庆理 1）若等差数列{ a n }的前三项和 S 3 9 且 a1 1 ，则 a 2 等于（ ） A．3 B.4 C. 5 D. 6
2007-2017全国卷高考理科数学数列专题
2007-2017全国卷高考理科数学数列专题一．选择题（共14小题）1．（2008•全国卷Ⅰ）已知等差数列｛a n }满足a 2+a 4=4，a 3+a 5=10，则它的前10项的和S 10=（ ）A ．138B ．135C ．95D ．23【考点】8F ：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．【专题】11 ：计算题．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n 项和，根据a 2+a 4=4,a 3+a 5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组,解方程组求出基本量（首项及公差)，进而代入前n 项和公式，即可求解．【解答】解:∵(a 3+a 5）﹣（a 2+a 4）=2d=6,∴d=3，a 1=﹣4,∴S 10=10a 1+10×(10−1)d 2=95． 故选C【点评】在求一个数列的通项公式或前n 项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型,则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．2．（2010•大纲版Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=（ )A ．5√2B ．7C ．6D ．4√2【考点】87：等比数列．【分析】由数列{a n｝是等比数列，则有a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10．【解答】解：a1a2a3=5⇒a23=5;a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8,∴a56=a23a83=50，∴a4a5a6=a53=5√2，故选A．【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．3．（2010•大纲版Ⅱ)如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（) A．14 B．21 C．28 D．35【考点】8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7=7(a1+a7)2=7a4=28故选C【点评】本题主要考查等差数列的性质．4．（2011•大纲版)设S n为等差数列｛a n｝的前n项和,若a1=1,公差d=2,S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题．【分析】先由等差数列前n 项和公式求得S k+2，S k ，将S k+2﹣S k =24转化为关于k 的方程求解．【解答】解:根据题意：S k+2=(k+2)2,S k =k 2∴S k+2﹣S k =24转化为:（k+2）2﹣k 2=24∴k=5故选D【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．5．(2012•大纲版）已知等差数列｛a n }的前n 项和为S n ,a 5=5，S 5=15，则数列{1a n a n+1}的前100项和为( ）A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100 【考点】8E ：数列的求和;85：等差数列的前n 项和．【专题】11 ：计算题．【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a 1，d ，进而可求a n ，代入可得1a n a n+1=1n(n+1)=1n −1n+1，裂项可求和 【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得,{a 1+4d =55a 1+10d =15解方程可得，d=1，a 1=1由等差数列的通项公式可得，a n =a 1+（n ﹣1）d=1+（n ﹣1)×1=n∴1a n a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1S100=1−12+12−13+⋯+1100−1101=1﹣1101=100101故选A【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用,属于基础试题6．（2012•新课标）已知｛a n｝为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=() A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【考点】8G：等比数列的性质；88:等比数列的通项公式．【专题】11 :计算题．【分析】由a4+a7=2,及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10,即可【解答】解:∵a4+a7=2,由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2,a7=4当a4=4,a7=﹣2时，q3=−12，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时,q3=﹣2,则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．7．（2013•新课标Ⅰ）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ﹣1=﹣2，S m =0，S m+1=3，则m=( )A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】8F ：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．【专题】11 ：计算题;54 ：等差数列与等比数列．【分析】由a n 与S n 的关系可求得a m+1与a m ,进而得到公差d ，由前n 项和公式及S m =0可求得a 1，再由通项公式及a m =2可得m 值．【解答】解:a m =S m ﹣S m ﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m =3,所以公差d=a m+1﹣a m =1，S m =m(a 1+a m )2=0，得a 1=﹣2， 所以a m =﹣2+（m ﹣1）•1=2，解得m=5,另解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ,即有数列{S n n ｝成等差数列，则S m−1m−1，S m m ，S m+1m+1成等差数列， 可得2•S m m =S m−1m−1+S m+1m+1， 即有0=−2m−1+3m+1， 解得m=5．故选C ．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式及通项a n 与S n 的关系，考查学生的计算能力．8．(2013•新课标Ⅱ）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+10a 1，a 5=9，则a 1=( ）A ．13B ．−13C ．19D ．−19【考点】89：等比数列的前n 项和．【专题】54 :等差数列与等比数列．【分析】设等比数列｛a n ｝的公比为q ，利用已知和等比数列的通项公式即可得到{a 1+a 1q +a 1q 2=a 1q +10a 1a 1q 4=9，解出即可． 【解答】解：设等比数列｛a n ｝的公比为q,∵S 3=a 2+10a 1，a 5=9，∴{a 1+a 1q +a 1q 2=a 1q +10a 1a 1q 4=9，解得{q 2=9a 1=19． ∴a 1=19．故选C ．【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．9．（2015•新课标Ⅱ）已知等比数列｛a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 3+a 5+a 7=( ）A ．21B ．42C ．63D ．84【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，利用等比数列的通项公式可求q,然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，∴a 1(1+q 2+q 4)=21，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7=a1(q2+q4+q6)=3×(2+4+8)=42．故选：B【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用,属于基础试题．10．（2016•新课标Ⅲ）定义“规范01数列”｛a n}如下：｛a n｝共有2m项，其中m 项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1,a2，…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4，则不同的“规范01数列”共有(）A．18个B．16个C．14个D．12个【考点】8B：数列的应用．【专题】16 ：压轴题；23 ：新定义；38 ：对应思想；4B :试验法．【分析】由新定义可得,“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列"有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等,首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1; 0，0，0,1，0，1，1,1；0，0，0，1，1，0,1，1；0，0，0，1,1,1，0，1；0,0，1，0，0,1,1，1;0，0，1，0，1,0，1，1；0，0，1，0,1，1，0，1; 0,0，1，1,0，1，0，1；0，0，1,1，0,0,1，1；0，1,0，0,0，1,1，1；0，1，0,0,1,0，1，1; 0，1，0，0,1，1，0,1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0,1，0，1，0，1，0,1．共14个．故选：C ．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏,是压轴题．11．（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列｛a n }前9项的和为27，a 10=8，则a 100=（ ）A ．100B ．99C ．98D ．97【考点】8F ：等差数列的性质．【专题】11 :计算题；4O ：定义法；54 :等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a 5=3,进而求出公差，可得答案．【解答】解:∵等差数列｛a n }前9项的和为27,S 9=9(a 1+a 9)2=9×2a 52=9a 5． ∴9a 5=27，a 5=3，又∵a 10=8，∴d=1，∴a 100=a 5+95d=98，故选：C【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质,是解答的关键．12．（2017•新课标Ⅰ）记S n 为等差数列{a n ｝的前n 项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n ｝的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 :方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出｛a n｝的公差．【解答】解:∵S n为等差数列{a n｝的前n项和，a4+a5=24，S6=48,∴{a1+3d+a1+4d=24 6a1+6×52d=48,解得a1=﹣2，d=4,∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用．13．（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2,4,8,16，…，其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(）A．440 B．330 C．220 D．110【考点】8E:数列的求和．【专题】35 ：转化思想;4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】方法一:由数列的性质，求得数列{b n｝的通项公式及前n项和,可知当N为n(n+1)2时（n ∈N +),数列{a n ｝的前N 项和为数列｛b n ｝的前n 项和,即为2n ﹣n ﹣2，容易得到N ＞100时，n≥14,分别判断，即可求得该款软件的激活码； 方法二：由题意求得数列的每一项，及前n 项和S n =2n+1﹣2﹣n ，及项数，由题意可知:2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n 消去即可，分别分别即可求得N 的值．【解答】解:设该数列为｛a n }，设b n =a (n−1)n 2+1+…+a n(n+1)2=2n ﹣1,（n ∈N +），则∑n i=1b i =∑n(n+1)2i=1a i ,由题意可设数列{a n }的前N 项和为S N ，数列{b n ｝的前n 项和为T n ，则T n =21﹣1+22﹣1+…+2n ﹣1=2n ﹣n ﹣2，可知当N 为n(n+1)2时(n ∈N +)，数列{a n }的前N 项和为数列｛b n }的前n 项和，即为2n ﹣n ﹣2，容易得到N ＞100时,n≥14，A 项，由29×302=435,440=435+5,可知S 440=T 29+b 5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B 项,仿上可知25×262=325,可知S 330=T 25+b 5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B 项不符合题意．C 项，仿上可知20×212=210，可知S 220=T 20+b 10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23,显然不为2的整数幂，故C 项不符合题意．D 项，仿上可知14×152=105,可知S 110=T 14+b 5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D 项不符合题意．故选A ．方法二：由题意可知：20︸第一项,20，21第二项,20，21，22第三项,…20，21，22，⋯，2n−1第n 项，根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1,23﹣1，…，2n ﹣1,每项含有的项数为：1，2，3，…，n ， 总共的项数为N=1+2+3+…+n=(1+n)n 2，所有项数的和为S n ：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n ﹣1=(21+22+23+…+2n )﹣n=2(1−2n )1−2﹣n=2n+1﹣2﹣n ，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n 消去即可,则①1+2+（﹣2﹣n)=0,解得：n=1,总共有(1+1)×12+2=3,不满足N ＞100， ②1+2+4+（﹣2﹣n ）=0,解得：n=5，总共有(1+5)×52+3=18,不满足N ＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n ）=0，解得:n=13，总共有(1+13)×132+4=95,不满足N ＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n)=0,解得：n=29，总共有(1+29)×292+5=440,满足N ＞100，∴该款软件的激活码440． 故选A ．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n 项和，考查计算能力，属于难题．14．（2017•新课标Ⅲ)等差数列｛a n ｝的首项为1,公差不为0．若a 2，a 3,a 6成等比数列，则｛a n ｝前6项的和为（ ) A ．﹣24B ．﹣3C ．3D ．8【考点】85:等差数列的前n 项和．【专题】11 ：计算题;34 :方程思想；4O ：定义法；54 :等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出｛a n ｝前6项的和．【解答】解：∵等差数列{a n }的首项为1,公差不为0．a 2，a 3，a 6成等比数列， ∴a 32=a 2⋅a 6，∴（a 1+2d)2=（a 1+d ）(a 1+5d ），且a 1=1，d≠0， 解得d=﹣2，∴｛a n }前6项的和为S 6=6a 1+6×52d =6×1+6×52×(−2)=﹣24．故选：A ．【点评】本题考查等差数列前6项和的求法,是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．二．填空题（共9小题）15．(2007•全国卷Ⅰ）等比数列｛a n }的前n 项和为S n ,已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则｛a n ｝的公比为 13．【考点】8G ：等比数列的性质． 【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】先根据等差中项可知4S 2=S 1+3S 3，利用等比数列的求和公式用a 1和q 分别表示出S 1，S 2和S 3,代入即可求得q ．【解答】解:∵等比数列{a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2，3S 3成等差数列, ∴a n =a 1q n ﹣1,又4S 2=S 1+3S 3，即4(a 1+a 1q)=a 1+3（a 1+a 1q+a 1q 2），解q =13．故答案为13【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．16．（2009•全国卷Ⅰ）设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 9=81，则a 2+a 5+a 8= 27 ．【考点】85:等差数列的前n 项和；8F ：等差数列的性质． 【分析】由s 9解得a 5即可． 【解答】解：∵s 9=9(a 1+a 9)2=9a 5 ∴a 5=9∴a 2+a 5+a 8=3a 5=27 故答案是27【点评】本题考查前n 项和公式和等差数列的性质．17．（2009•全国卷Ⅱ）设等差数列｛a n }的前n 项和为S n ，若a 5=5a 3，则S 9S 5= 9 ．【考点】8F ：等差数列的性质． 【专题】11 ：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S 9=9a 5,S 5=5a 3，根据a 5=5a 3,进而可得则S 9S 5的值．【解答】解：∵{a n ｝为等差数列， S 9=a 1+a 2+…+a 9=9a 5，S 5=a 1+a 2+…+a 5=5a 3，∴S 9S 5=9a 55a 3=9 故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．18．(2013•新课标Ⅰ）若数列{a n }的前n 项和为S n =23a n +13，则数列{a n ｝的通项公式是a n = （﹣2)n ﹣1 ．【考点】88：等比数列的通项公式． 【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2,代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a 1=S 1=23a 1+13，解得a 1=1当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（23a n +13）﹣（23a n−1+13）=23a n −23a n−1,整理可得13a n =−23a n−1，即a na n−1=﹣2，故数列{a n }从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列， 故当n≥2时，a n =（﹣2）n ﹣1， 经验证当n=1时，上式也适合， 故答案为：（﹣2)n ﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．19．（2013•新课标Ⅱ）等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 10=0,S 15=25，则nS n 的最小值为 ﹣49 ．【考点】6D:利用导数研究函数的极值;85：等差数列的前n 项和;8F ：等差数列的性质．【专题】16 :压轴题；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的前n 项和公式化简已知两等式,联立求出首项a 1与公差d 的值，结合导数求出nS n 的最小值．【解答】解：设等差数列｛a n }的首项为a 1，公差为d ， ∵S 10=10a 1+45d=0，S 15=15a 1+105d=25，∴a 1=﹣3，d=23，∴S n =na 1+n(n−1)2d=13n 2﹣103n ，∴nS n =13n 3﹣103n 2,令nS n =f （n ），∴f′（n)=n 2﹣203n ，∴当n=203时,f （n ）取得极值，当n ＜203时，f （n ）递减;当n ＞203时，f （n ）递增;因此只需比较f （6）和f （7)的大小即可． f （6）=﹣48，f （7）=﹣49, 故nS n 的最小值为﹣49． 故答案为：﹣49．【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．20．(2015•新课标Ⅱ)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=﹣1,a n+1=S n+1S n ，则S n =﹣1n． 【考点】8H ：数列递推式．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】通过S n+1﹣S n =a n+1可知S n+1﹣S n =S n+1S n ,两边同时除以S n+1S n 可知1S n﹣1S n+1=1，进而可知数列{1S n }是以首项、公差均为﹣1的等差数列,计算即得结论． 【解答】解:∵a n+1=S n+1S n , ∴S n+1﹣S n =S n+1S n ， ∴1S n ﹣1S n+1=1，又∵a 1=﹣1，即1S 1=﹣1,∴数列{1S n}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，∴1S n=﹣n ， ∴S n =﹣1n ,故答案为：﹣1n．【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（2016•新课标Ⅰ)设等比数列｛a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 64 ．【考点】8I ：数列与函数的综合；8G ：等比数列的性质．【专题】11 :计算题；29 ：规律型；35 ：转化思想;54 ：等差数列与等比数列． 【分析】求出数列的等比与首项，化简a 1a 2…a n ，然后求解最值． 【解答】解：等比数列{a n ｝满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，可得q （a 1+a 3）=5，解得q=12．a 1+q 2a 1=10，解得a 1=8．则a 1a 2…a n =a 1n •q 1+2+3+…+（n ﹣1）=8n •(12)n(n−1)2=23n−n 2−n 2=27n−n 22， 当n=3或4时，表达式取得最大值：2122=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．22．（2017•新课标Ⅱ)等差数列{a n ｝的前n 项和为S n ，a 3=3，S 4=10，则 ∑n k=11S k= 2nn+1． 【考点】8E ：数列的求和；85：等差数列的前n 项和．【专题】11 ：计算题;35 ：转化思想;49 ：综合法;54 :等差数列与等比数列． 【分析】利用已知条件求出等差数列的前n 项和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列｛a n }的前n 项和为S n ,a 3=3，S 4=10，S 4=2（a 2+a 3)=10， 可得a 2=2，数列的首项为1，公差为1，S n =n(n+1)2，1S n =2n(n+1)=2(1n −1n+1)， 则 ∑n k=11S k =2[1﹣12+12−13+13−14+…+1n −1n+1］=2（1﹣1n+1）=2n n+1． 故答案为：2nn+1．【点评】本题考查等差数列的求和,裂项消项法求和的应用,考查计算能力．23．（2017•新课标Ⅲ）设等比数列{a n ｝满足a 1+a 2=﹣1，a 1﹣a 3=﹣3，则a 4= ﹣8 ．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想;35 ：转化思想;54 ：等差数列与等比数列．【分析】设等比数列｛a n }的公比为q ，由a 1+a 2=﹣1，a 1﹣a 3=﹣3,可得：a 1（1+q ）=﹣1，a 1（1﹣q 2)=﹣3，解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n ｝的公比为q ，∵a 1+a 2=﹣1，a 1﹣a 3=﹣3， ∴a 1（1+q ）=﹣1，a 1（1﹣q 2）=﹣3， 解得a 1=1,q=﹣2．则a4=（﹣2）3=﹣8．故答案为:﹣8．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三．解答题(共15小题)24．（2008•全国卷Ⅰ）设函数f(x)=x﹣xlnx．数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f（a n)．（Ⅰ）证明：函数f(x)在区间（0，1）是增函数;（Ⅱ）证明：a n＜a n+1＜1；．证明:a k+1＞b．（Ⅲ)设b∈(a1,1）,整数k≥a1−ba1lnb【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．【专题】16 ：压轴题．【分析】(1)首先求出函数的导数，然后令f′(x)=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性,从而进行证明．（2)由题意数列{a n｝满足0＜a1＜1，a n+1=f（a n）,求出a n+1=a n﹣a n lna n,然后利用归纳法进行证明；（3）由题意f（x）=x﹣xlnx，a n+1=f(a n）可得a k+1=a k﹣b﹣a k，然后进行讨论求解．【解答】解:（Ⅰ）证明:∵f(x）=x﹣xlnx,∴f′（x）=﹣lnx,当x∈（0，1）时，f′（x）=﹣lnx＞0故函数f（x）在区间(0，1)上是增函数;（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时,0＜a1＜1，a1lna1＜0，a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＞a1，∵函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续，∴f（x)在区间（0，1］是增函数，a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＜1，即a1＜a2＜1成立,(ⅱ）假设当x=k（k∈N+)时,a k＜a k+1＜1成立，即0＜a1≤a k＜a k+1＜1，那么当n=k+1时，由f(x)在区间（0,1］是增函数，0＜a1≤a k＜a k+1＜1，得f(a k)＜f（a k+1）＜f(1），而a n+1=f（a n），则a k+1=f（a k）,a k+2=f（a k+1），a k+1＜a k+2＜1，也就是说当n=k+1时，a n＜a n+1＜1也成立,根据(ⅰ）、（ⅱ)可得对任意的正整数n，a n＜a n+1＜1恒成立．（Ⅲ）证明：由f（x）=x﹣xlnx,a n+1=f（a n）可得a k+1=a k﹣a k lna k=a1−b−∑k i=1a i lna i，1）若存在某i≤k2，满足a i≤b3，则由（Ⅱ)知：a k+1﹣b＜a i﹣b≥04，2）若对任意i≤k6,都有a i＞b，则a k+1=a k﹣a k lna k=a1−b−∑k i=1a i lna i=a1−b−∑k i=1a i lnb≥a1﹣b1﹣ka1lnb=0,即a k+1＞b成立．【点评】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定,函数最值,函数、方程与不等式等基础知识及数学归纳法的应用，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．25．（2009•全国卷Ⅰ）在数列{a n ｝中，a 1=1，a n+1=（1+1n ）a n +n+12n ．（1）设b n =a nn，求数列｛b n ｝的通项公式；（2）求数列｛a n }的前n 项和S n ．【考点】8H ：数列递推式；8E:数列的求和． 【专题】11 ：计算题；15 ：综合题．【分析】（1）由已知得a n+1n+1=a n n +12n ,即b n+1=b n +12n ,由此能够推导出所求的通项公式．（2)由题设知a n =2n ﹣n2n−1，故S n=（2+4+…+2n ）﹣（1+22+322+423+…+n 2n−1），设T n =1+221+322+423+…+n 2n−1，由错位相减法能求出T n =4﹣n+22n−1．从而导出数列｛a n ｝的前n 项和S n ．【解答】解:（1)由已知得b 1=a 1=1,且a n+1n+1=a n n +12n， 即b n+1=b n +12n ，从而b 2=b 1+12，b 3=b 2+122，b n =b n ﹣1+12n−1（n≥2)．于是b n =b 1+12+122+…+12n−1=2﹣12n−1（n≥2)．又b 1=1，故所求的通项公式为b n =2﹣12n−1．（2）由(1）知a n =2n ﹣n 2n−1，故S n =(2+4+…+2n ）﹣（1+22+322+423+…+n2n−1），设T n =1+221+322+423+…+n2n−1，①12T n =12+222+323+…+n−12n−1+n 2n ,② ①﹣②得，12T n =1+12+122+123+…+12n−1﹣n 2n =1−12n 1−12﹣n 2n =2﹣22n ﹣n 2n ， ∴T n =4﹣n+22n−1．∴S n =n （n+1）+n+22n−1﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．26．（2009•全国卷Ⅱ）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n+1=4a n +2（n ∈N ＊）．（1）设b n =a n+1﹣2a n ,证明数列｛b n ｝是等比数列； (2）求数列｛a n }的通项公式．【考点】8H ：数列递推式；8D:等比关系的确定． 【专题】15 ：综合题．【分析】（1）由题设条件知b 1=a 2﹣2a 1=3．由S n+1=4a n +2和S n =4a n ﹣1+2相减得a n+1=4a n ﹣4a n ﹣1,即a n+1﹣2a n =2(a n ﹣2a n ﹣1），所以b n =2b n ﹣1，由此可知｛b n }是以b 1=3为首项、以2为公比的等比数列． （2）由题设知a n+12n+1−a n2n =34．所以数列{a n2n }是首项为12，公差为34的等差数列．由此能求出数列｛a n }的通项公式．【解答】解:(1)由a 1=1，及S n+1=4a n +2， 得a 1+a 2=4a 1+2,a 2=3a 1+2=5,所以b 1=a 2﹣2a 1=3． 由S n+1=4a n +2，①则当n≥2时,有S n =4a n ﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n ﹣4a n ﹣1,所以a n+1﹣2a n =2（a n ﹣2a n ﹣1)，又b n =a n+1﹣2a n ，所以b n =2b n ﹣1，所以｛b n ｝是以b 1=3为首项、以2为公比的等比数列．(6分）(2）由（I ）可得b n =a n+1﹣2a n =3•2n ﹣1，等式两边同时除以2n+1，得a n+12n+1−a n 2n =34．所以数列{a n2n }是首项为12,公差为34的等差数列．所以a n 2n =12+(n −1)34=34n −14，即a n =（3n ﹣1）•2n ﹣2（n ∈N *)．(13分）【点评】本题考查数列的性质和应用,解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．27．(2010•大纲版Ⅰ）已知数列{a n }中,a 1=1,a n+1=c ﹣1a n．(Ⅰ）设c=52，b n =1a n −2,求数列｛b n }的通项公式；（Ⅱ）求使不等式a n ＜a n+1＜3成立的c 的取值范围． 【考点】8H ：数列递推式；RG:数学归纳法． 【专题】15 ：综合题;16 ：压轴题．【分析】（1）令c=52代入到a n+1=c ﹣1a n 中整理并令b n =1a n −2进行替换,得到关系式b n+1=4b n +2，进而可得到{b n +23}是首项为﹣13，公比为4的等比数列，先得到{b n +23｝的通项公式,即可得到数列{b n ｝的通项公式． （2）先求出n=1，2时的c 的范围,然后用数学归纳法分3步进行证明当c ＞2时a n ＜a n+1，然后当c ＞2时,令α=c+√c 2−42，根据由a n +1a n＜a n+1+1a n=c 得a n ＜α可发现c ＞103时不能满足条件，进而可确定c 的范围．【解答】解：（1）a n+1−2=52−1a n −2=a n −22a n，1a n+1−2=2a n a n −2=4a n −2+2，即b n+1=4b n +2b n+1+23=4(b n +23)，a 1=1，故b 1=1a 1−2=−1所以｛b n +23｝是首项为﹣13，公比为4的等比数列，b n +23=−13×4n−1,b n =−4n−13−23（Ⅱ）a 1=1，a 2=c ﹣1，由a 2＞a 1得c ＞2． 用数学归纳法证明:当c ＞2时a n ＜a n+1． （ⅰ）当n=1时，a 2=c ﹣1a 1＞a 1,命题成立;（ii ）设当n=k 时,a k ＜a k+1, 则当n=k+1时，a k+2=c −1ak+1＞c −1a k=a k+1故由（i ）（ii ）知当c ＞2时，a n ＜a n+1当c ＞2时，令α=c+√c 2−42，由a n +1a n ＜a n+1+1a n =c 得a n ＜α当2＜c≤103时，a n ＜α≤3当c ＞103时,α＞3且1≤a n ＜α于是α−a n+1=1a n α(α−a n )≤13(α−a n )α﹣a n+1≤13n （α﹣1），当n ＞log 3α−1α−3时，α−a n+1＜α−3，a n+1＞3因此c ＞103不符合要求．所以c 的取值范围是（2，103]．【点评】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查．28．(2010•大纲版Ⅱ）已知数列｛a n}的前n项和S n=（n2+n）•3n．（Ⅰ）求limn→∞a nS n；（Ⅱ)证明:a112+a222+…+a nn2＞3n．【考点】6F：极限及其运算；R6:不等式的证明．【专题】11 ：计算题;14 ：证明题．【分析】(1）由题意知limn→∞a nS n=limn→∞S n−S n−1S n=limn→∞(1−S n−1S n)=1−limn→∞S n−1S n，由此可知答案．（2）由题意知，a112+a222+⋯+a nn2=S112+S2−S122+⋯+S n−S n−1n2=(112−122)S1+(122−132)S2+⋯+(1(n−1)2−1n2)S n−1+1n2S n＞1n2S n,由此可知，当n≥1时，a112+a222+⋯+a nn2＞3n．【解答】解：（1）limn→∞a nS n=limn→∞S n−S n−1S n=limn→∞(1−S n−1S n)=1−lim n→∞S n−1S n limn→∞S n−1S n=limn→∞n−1n+1⋅13=13,所以limn→∞a nS n=23；(2）当n=1时，a112=S1=6＞3；当n＞1时，a112+a222+⋯+a nn2=S112+S2−S122+⋯+S n−S n−1n2=(112−122)S1+(122−132)S2+⋯+(1(n−1)2−1n2)S n−1+1n2S n＞1n2S n=n2+nn2⋅3n＞3n所以，n≥1时,a112+a222+⋯+a nn2＞3n．【点评】本题考查数列的极限问题,解题时要注意公式的灵活运用．29．（2010•宁夏）设数列满足a 1=2,a n+1﹣a n =3•22n ﹣1 （1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）令b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ． 【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和． 【专题】11 ：计算题．【分析】（Ⅰ）由题意得a n+1=[（a n+1﹣a n ）+(a n ﹣a n ﹣1）+…+(a 2﹣a 1)］+a 1=3（22n﹣1+22n ﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列｛a n }的通项公式为a n =22n ﹣1．(Ⅱ）由b n =na n =n•22n ﹣1知S n =1•2+2•23+3•25++n•22n ﹣1，由此入手可知答案． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[(a n+1﹣a n ）+（a n ﹣a n ﹣1)+…+(a 2﹣a 1）]+a 1 =3（22n ﹣1+22n ﹣3+…+2）+2=3×2(1−4n )1−4+2=22(n+1）﹣1．而a 1=2,所以数列{a n }的通项公式为a n =22n ﹣1．（Ⅱ）由b n =na n =n•22n ﹣1知S n =1•2+2•23+3•25+…+n•22n ﹣1① 从而22S n =1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得(1﹣22）•S n =2+23+25+…+22n ﹣1﹣n•22n+1．即S n =19[(3n −1)22n+1+2]．【点评】本题主要考查数列累加法(叠加法)求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．30．（2011•大纲版）设数列｛a n }满足a 1=0且11−a n+1−11−a n=1．（Ⅰ）求{a n ｝的通项公式；（Ⅱ）设b n=1−√a n+1√n,记S n=∑n k=1b k，证明：S n＜1．【考点】8H:数列递推式；8E:数列的求和；8K：数列与不等式的综合．【专题】11 ：计算题;16 :压轴题．【分析】(Ⅰ）由{11−a n}是公差为1的等差数列，知11−a n=11−a1+(n−1)×1=n，由此能求出{a n｝的通项公式．(Ⅱ)由b n=1−√a√n=1−√nn+1√n=√n−√n+1，能够证明S n＜1．【解答】解：（Ⅰ）{11−a n}是公差为1的等差数列，1 1−a n =11−a1+(n−1)×1=n，∴a n=n−1n（n∈N*）．(Ⅱ）b n=1−√a√n=1−√nn+1√n=√n−√n+1，∴S n=(1√11√2)+(1√21√3)+⋯+(1√n−1√n+1)=1﹣√n+1＜1．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用．31．（2011•新课标）等比数列｛a n}的各项均为正数,且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，(Ⅰ）求数列｛a n}的通项公式;（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{1b n｝的前n项和．【考点】88:等比数列的通项公式；8E：数列的求和．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】(Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项,根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a n }的通项公式代入设bn=log 3a 1+log 3a 2+…+lo g 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后,即可得到b n 的通项公式，求出倒数即为1b n的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列｛1b n}的前n 项和．【解答】解:（Ⅰ）设数列｛a n }的公比为q ，由a 32=9a 2a 6得a 32=9a 42,所以q 2=19．由条件可知各项均为正数，故q=13．由2a 1+3a 2=1得2a 1+3a 1q=1，所以a 1=13．故数列{a n ｝的通项式为a n =13n ．(Ⅱ）b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n=﹣(1+2+…+n ）=﹣n(n+1)2,故1b n =﹣2n(n+1)=﹣2（1n ﹣1n+1） 则1b 1+1b 2+…+1b n =﹣2［（1﹣12）+（12﹣13）+…+(1n ﹣1n+1)]=﹣2n n+1， 所以数列{1b n }的前n 项和为﹣2nn+1．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．32．（2012•大纲版)函数f （x ）=x 2﹣2x ﹣3，定义数列{ x n }如下：x 1=2，x n+1是过两点P （4，5），Q n （ x n ，f （ x n ））的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标． （Ⅰ）证明:2≤x n ＜x n+1＜3; （Ⅱ）求数列{ x n ｝的通项公式．【考点】8I ：数列与函数的综合；8H ：数列递推式． 【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题．【分析】(Ⅰ）用数学归纳法证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为y−5=f(2)−52−4(x−4)，当y=0时,可得x2=114；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k＜x k+1＜3,直线PQ k+1的方程为y−5=f(x k+1)−5x k+1−4(x−4)，当y=0时，可得x k+2=3+4x k+12+x k+1,根据归纳假设2≤x k＜x k+1＜3，可以证明2≤x k+1＜x k+2＜3，从而结论成立．(Ⅱ)由（Ⅰ）,可得x n+1=3+4x n2+x n ，构造b n=x n﹣3，可得{1bn+14}是以﹣34为首项，5为公比的等比数列,由此可求数列｛x n}的通项公式．【解答】（Ⅰ）证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为y−5=f(2)−52−4(x−4)当y=0时，∴x2=114，∴2≤x1＜x2＜3；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k＜x k+1＜3，直线PQ k+1的方程为y−5= f(x k+1)−5x k+1−4(x−4)当y=0时，∴x k+2=3+4x k+12+x k+1∵2≤x k＜x k+1＜3,∴x k+2=4−52+x k+1＜4−52+3=3x k+2−x k+1=(3−x k+1)(1+x k+1)2+x k+1＞0∴x k+1＜x k+2∴2≤x k+1＜x k+2＜3即n=k+1时,结论成立由①②可知：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ)由（Ⅰ），可得x n+1=3+4x n2+x n设b n=x n﹣3，∴1b n+1=5b n+1∴1b n+1+14=5(1b n+14)∴{1b n+14}是以﹣34为首项，5为公比的等比数列∴1b n +14=(−34)×5n−1∴b n=−43×5n−1+1∴x n=b n+3=3−43×5n−1+1．【点评】本题考查数列的通项公式，考查数列与函数的综合，解题的关键是从函数入手，确定直线方程，求得交点坐标,再利用数列知识解决．33．（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】15 ：综合题；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n｝的前60项和【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，∴有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11,…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40,a13+a11=2，a16+a14=56,…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴｛a n｝的前60项和为15×2+（15×8+15×142×16）=1830，故答案为：1830．【点评】本题主要考查数列求和的方法,等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题．34．（2014•新课标Ⅰ)已知数列{a n ｝的前n 项和为S n ，a 1=1,a n ≠0,a n a n+1=λS n ﹣1，其中λ为常数． （Ⅰ)证明：a n+2﹣a n =λ(Ⅱ）是否存在λ，使得｛a n }为等差数列？并说明理由． 【考点】8H ：数列递推式;8C ：等差关系的确定． 【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】(Ⅰ）利用a n a n+1=λS n ﹣1,a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出;（Ⅱ）对λ分类讨论:λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n }为等差数列，设公差为d ．可得λ=a n+2﹣a n =（a n+2﹣a n+1）+(a n+1﹣a n ）=2d ，d =λ2．得到λS n =λ24n 2+(λ−λ24)n +2−λ2,根据｛a n ｝为等差数列的充要条件是{λ≠02−λ2=0，解得λ即可． 【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n ﹣1,a n+1a n+2=λS n+1﹣1, ∴a n+1（a n+2﹣a n ）=λa n+1 ∵a n+1≠0， ∴a n+2﹣a n =λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设｛a n }为等差数列，设公差为d ． 则a n+2﹣a n =0,∴2d=0，解得d=0, ∴a n =a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n }不为等差数列．②当λ≠0时,假设存在λ，使得{a n ｝为等差数列，设公差为d ． 则λ=a n+2﹣a n =（a n+2﹣a n+1)+（a n+1﹣a n )=2d ，∴d =λ2．∴a n =1+λ(n−1)2，a n+1=1+λn 2， ∴λS n =1+[1+λ(n−1)2][1+λn 2]=λ24n 2+(λ−λ24)n +2−λ2， 根据｛a n }为等差数列的充要条件是{λ≠02−λ2=0，解得λ=4． 此时可得S n =n 2，a n =2n ﹣1．因此存在λ=4,使得{a n }为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n 项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．35．（2014•新课标Ⅱ）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=3a n +1．(Ⅰ）证明{a n +12｝是等比数列，并求{a n ｝的通项公式； (Ⅱ)证明：1a 1+1a 2+…+1a n ＜32． 【考点】8E:数列的求和；8G ：等比数列的性质．【专题】14 ：证明题；54 :等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ)根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即b n+1b n =常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出｛a n }的通项公式；（Ⅱ）将1a n 进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明(Ⅰ）a n+1+12a n +12=3a n +1+12a n +12=3(a n +12)a n +12=3，∵a 1+12=32≠0，∴数列｛a n +12｝是以首项为32，公比为3的等比数列; ∴a n +12=32×3n−1=3n 2，即a n =3n −12； （Ⅱ)由(Ⅰ）知1a n =23n −1， 当n≥2时，∵3n ﹣1＞3n ﹣3n ﹣1，∴1a n =23n −1＜23n −3n−1=13n−1, ∴当n=1时，1a 1=1＜32成立, 当n≥2时,1a 1+1a 2+…+1a n ＜1+13+132+…+13n−1=1−(13)n 1−13=32(1−13n )＜32． ∴对n ∈N +时，1a 1+1a 2+…+1a n ＜32． 【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．36．（2015•新课标Ⅰ）S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，己知a n ＞0,a n 2+2a n =4S n +3 （I)求｛a n ｝的通项公式:(Ⅱ）设b n =1a n a n+1,求数列｛b n }的前n 项和． 【考点】8E ：数列的求和；8H:数列递推式．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】(I ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n }的通项公式： （Ⅱ）求出b n =1a n a n+1，利用裂项法即可求数列｛b n }的前n 项和． 【解答】解:（I ）由a n 2+2a n =4S n +3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3两式相减得a n+12﹣a n 2+2（a n+1﹣a n )=4a n+1，即2(a n+1+a n ）=a n+12﹣a n 2=（a n+1+a n ）（a n+1﹣a n ），∵a n ＞0，∴a n+1﹣a n =2，∵a 12+2a 1=4a 1+3，∴a 1=﹣1(舍）或a 1=3，则{a n }是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{a n ｝的通项公式a n =3+2（n ﹣1）=2n+1:（Ⅱ）∵a n =2n+1,∴b n =1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12（12n+1﹣12n+3）， ∴数列｛b n }的前n 项和T n =12（13﹣15+15−17+…+12n+1﹣12n+3）=12（13﹣12n+3）=n 3(2n+3)． 【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．37．（2016•新课标Ⅲ)已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =1+λa n ，其中λ≠0．(1）证明｛a n ｝是等比数列,并求其通项公式；（2）若S 5=3132，求λ． 【考点】8H ：数列递推式；8D ：等比关系的确定．【专题】34 ：方程思想；4R ：转化法;54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1)根据数列通项公式与前n 项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．(2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解:（1)∵S n =1+λa n ，λ≠0．∴a n ≠0．当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=1+λa n ﹣1﹣λa n ﹣1=λa n ﹣λa n ﹣1，即（λ﹣1)a n =λa n ﹣1,∵λ≠0，a n ≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即a n a n−1=λλ−1,(n≥2）, ∴{a n }是等比数列，公比q=λλ−1， 当n=1时,S 1=1+λa 1=a 1，即a 1=11−λ, ∴a n =11−λ•（λλ−1）n ﹣1． （2）若S 5=3132， 则若S 5=1+λ[11−λ•（λλ−1）4]=3132, 即(λ1−λ）5=3132﹣1=﹣132, 则λ1−λ=﹣12，得λ=﹣1． 【点评】本题主要考查数列递推关系的应用,根据n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．38．(2016•新课标Ⅱ）S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S 7=28，记b n =[lga n ］,其中［x]表示不超过x 的最大整数,如［0.9]=0，［lg99]=1．(Ⅰ)求b 1,b 11，b 101;(Ⅱ）求数列{b n }的前1000项和．【考点】8E ：数列的求和；8F ：等差数列的性质．【专题】11 ：计算题；29 :规律型；35 ：转化思想；54 :等差数列与等比数列．【分析】(Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式,然后求解b1，b11,b101；（Ⅱ）找出数列的规律,然后求数列｛b n}的前1000项和．【解答】解：（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，则公差d=1．a n=n，b n=［lgn],则b1=[lg1]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101］=2．(Ⅱ）由（Ⅰ)可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3．数列｛b n｝的前1000项和为:9×0+90×1+900×2+3=1893．【点评】本题考查数列的性质,数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．考点卡片1．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′(x）＞0在(a，b）上恒成立，则f(x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2)若f′（x）＜0在(a,b）上恒成立，则f(x）在（a,b）上是减函数，f′(x)＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：(1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）;（3）求出f′（x)=0的根；（4）用f′（x)=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间:f′（x)＞0,则f(x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间;f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数,对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R,f(﹣1）=2，对任意x∈R,f′（x）＞2,则f （x）＞2x+4的解集为（）。
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2007年高考数学试题分类汇编（数列）重庆文（1）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 1＝64，，则公比q 为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）8 重庆理(21)(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=（1）求{n a }的通项公式； （2）设数列{n b }满足1)12(=-nb n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，求证：*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+（21）（本小题12分） （Ⅰ）解：由)2)(1(611111++==a a S a ，解得a 1＝1或a 1＝2，由假设a 1＝S 1＞1，因此a 1＝2。
又由a n +1＝S n +1- S n ＝)2)(1(61)2)(1(6111++=++++n n n n a a a a ，得a n +1- a n -3＝0或a n +1＝-a n因a n ＞0，故a n +1＝-a n 不成立，舍去。
因此a n +1- a n -3＝0。
从而｛a n ｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛a n ｝的通项为a n ＝3n -2。
（Ⅱ）证法一：由1)12(=-b n a 可解得133log 11log -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n na b zn z z ；从而⎪⎭⎫⎝⎛-=+++=133··56·23log 21n nb b b T z n n 。
因此23n 2·133··56·23log )3(log 133+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+n n a T z nz n 。
令23n 2·133··56·23)(3+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n x f ,则233)23)(53()33(23n 33n ·5323)()1(+++=⎪⎭⎫⎝⎛++++=+n n n n n n f n f 。
因079)23)(53()33(22＞+=++-+n n n n ，故)()1(n f n f ＞+.特别的12027)1()(＞=≥f n f 。
从而0)(log )3log (13＞n f a T n n =+-+，即)3(log 132++n n a T ＞。
证法二：同证法一求得b n 及T n 。
由二项式定理知当c ＞0时，不等式c c 31)1(3++＞成立。
由此不等式有3332131********log13⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n T n⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+13315312312log2n ＞＝)3(log)23(log1323··48·25·2log 222+=+=-+n a n n n 。
证法三：同证法一求得b n 及T n 。
令A n ＝nn 33··56·23，B n ＝nn 313··67·43+ ，C n ＝1323··78·45++n n 。
因1323313133+++-n n nn n n ＞＞，因此2233+=n C B A A n n n n ＞。
从而32322log 133··56·322log13xn A n n T =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+＞)3(log )23(log 2log 222+=+=n n n n a n C B A 。
（1）若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ）A ．3 B.4 C. 5 D. 6（14）设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程03842=+x x 的两根，则=+20072006a a __________.浙江理（21）（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程2(32)320kkx k x k -++=的两个根，且212(123)k k a a k -= ≤，，，． （I ）求1a ，2a ，3a ，7a ；（II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（Ⅲ）记sin 1()32sin nf n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n nT a a a a a a a a +-----=++++…，求证：15()624n T n ∈*N ≤≤．21．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分． （I ）解：方程2(32)320k k x k x k -++= 的两个根为13x k =，22k x =， 当1k =时，1232x x ==，， 所以12a =；当2k =时，16x =，24x =， 所以34a =；当3k =时，19x =，28x =， 所以58a =时；当4k =时，112x =，216x =， 所以712a =．（II ）解：2122n n S a a a =+++2(363)(222)nn =+++++++2133222n n n++=+-．（III ）证明：(1)123456212111(1)f n n n nT a a a a a a a a +--=+-++，所以112116T a a ==，2123411524T a a a a =+=．当3n ≥时，(1)3456212111(1)6f n n n nT a a a a a a +--=+-++，345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭ ≥2311111662622n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭ ≥ 1116626n=+> ，同时，(1)5678212511(1)24f n n n nT a a a a a a +--=--++5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤ 31511112492922n ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭ ≤515249224n=-< ．综上，当n ∈N *时，15624n T ≤≤．浙江文(19)(本题14分)已知数列{n a }中的相邻两项21k a -、2k a 是关于x 的方程 2(32)320kkx k x k -++⋅=的两个根，且21k a -≤2k a (k ＝1，2，3，…)． (I)求1357,,,a a a a 及2n a (n ≥4)(不必证明)； (Ⅱ)求数列{n a }的前2n 项和S 2n ．(19)本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分14分．(I)解：方程2(32)320k kx k x k -++⋅=的两个根为123, 2k x k x ==．当k ＝1时，123,2x x ==，所以12a =； 当k ＝2时，126,4x x ==，所以34a =； 当k ＝3时，129,8x x ==，所以58a =； 当k ＝4时，1212,16x x ==，所以712a =；因为n ≥4时，23n n >，所以22 (4)n n a n =≥ （Ⅱ）22122(363)(22nn nS a a a n =+++=+++++++＝2133222n n n+++-．天津理8．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．813．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．321．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k nka a a a ++≤对任意n *∈N 均成立．21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k kk a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++- 11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n n a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21nn n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．（Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+- ， ①345123(2)(1)nn n T n n λλλλλλ+=++++-+- ②当1λ≠时，①式减去②式，得212311(1)(1)(1)1n nn n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=--- ，21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---．这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--．当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-．（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21aa 最大，下面证明：21214,22n na a n a a λ++<=≥． ③由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥，因为222(4)(4)(1)(1)2n n n a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立． 因此，存在1k =，使得1121n k nka a a a a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．天津文（20）（本小题满分12分）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ． （Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．（20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32nn n n S -+=+．（Ⅲ）证明：对任意的n ∈*N ，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．四川文（7）等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 （22）(本小题满分14分)已知函数f （x ）=x 2－4，设曲线y ＝f （x ）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴的交点为（x n +1,u ）（u ,N +），其中为正实数.（Ⅰ）用x x 表示x n +1； （Ⅱ）若a 1=4，记a n =lg22n n x x +-，证明数列｛a 1｝成等比数列，并求数列｛x n ｝的通项公式；（Ⅲ）若x 1＝4，b n ＝x n －2，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明T n <3.解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．（Ⅰ）由题可得'()2f x x =．所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是：()'()()n n n y f x f x x x -=-．即2(4)2()n n n y x x x x --=-．令0y =，得21(4)2()n n n n x x x x +--=-．即2142nn n x x x ++=． 显然0n x ≠，∴122n n nx x x +=+．（Ⅱ）由122n n nx x x +=+，知21(2)22222n n n nnx x x x x +++=++=，同理21(2)22n n nx x x +--=．故21122()22n n n n x x x x ++++=--．从而1122lg2lg22n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=．所以，数列{}n a 成等比数列．故111111222lg 2lg 32n n n n x a a x ---+===-．即12lg2lg 32n n n x x -+=-．从而12232n n n x x -+=-所以11222(31)31n n n x --+=-（Ⅲ）由（Ⅱ）知11222(31)31n n n x --+=-，∴1242031n n n b x -=-=>- ∴111112122223111113313133n nn n n nb b ----+-==<≤=-+当1n =时，显然1123T b ==<． 当1n >时，21121111()()333n n n n b b b b ---<<<< ∴12n n T b b b =+++111111()33n b b b -<+++ 11[1()]3113nb -=-133()33n=-⋅<．综上，3n T <(*)n N ∈． 上海理20、若有穷数列12,...n a a a （n 是正整数），满足1211,....n n n a a a a a a -===即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”。