辽宁省沈阳市东北育学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

辽宁省沈阳市东北育学校2024-2025学年高二上学期期中考试
数学试卷
一、单选题
1．下列可使a
，b
，c
构成空间的一个基底的条件是（）
A ．a mb nc =+
B ．a ，b ，c 两两垂直
C ．||||||1
a b c === D ．0
a b c ++= 2．已知直线1l ：230ax y ++=，直线2l ：210x ay a +++=，则命题p ：12//l l 是命题q ：2a =-的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知双曲线22:1
9x y C m
-=m 的值为（
）
A ．18
B ．
C ．27
D ．4．若方程22230x y mx y ++-+=表示圆，则m 的取值范围是（）
A ．(,-∞
B ．(()
,-∞-⋃+∞
C ．(,-∞
D ．(()
,-∞-⋃+∞
5．已知椭圆22
:1204
x y C +=的两焦点分别为12,,F F P 为椭圆C 上一点且12PF PF ⊥，则
12PF PF -=（
）
A ．
B ．
C ．
D ．2
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量OA 与OB 关于y 轴对称，若向量(1,0)a =
满足20OA a AB +⋅=
，记A 的轨迹为E ，则（
）
A ．E 是一条垂直于x 轴的直线
B ．E 是两条平行直线
C ．E 是一个半径为1的圆
D ．
E 是椭圆
7．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四
棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字
贯穿体”有两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图②所示的空间直角坐标系，则（
）
A ．
GE =
B ．点
C 的坐标为(2,2,-C ．O ，E ，F ，A 四点共面
D ．直线C
E 与直线DG 8．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 交于
,M N 两点，若21225MNF MF F S S = 且2121F F N F NF ∠∠=，则椭圆C 的离心率为（
）
A ．
3
5
B C ．
13
D 二、多选题
9．关于空间向量，以下说法正确的是（
）
A ．若空间向量()1,0,1a = ，()0,1,1b =- ，则a 在b 上的投影向量为110,,22⎛
⎫- ⎝
⎭B ．若空间向量a ，b
满足0a b ⋅> ，则a 与b 夹角为锐角
C ．若对空间中任意一点O ，有211362
OP OA OB OC =-+
，则P ，A ，B ，C 四点共面
D ．若直线l 的方向向量为()2,4,2m =- ，平面α的一个法向量为()1,2,1n =--
，则l α
⊥10．已知点P 是左、右焦点为1F ，2F 的椭圆C ：22184
x y
+=上的动点，则（
）
A ．若
1290F PF ∠=︒，则12F PF 的面积为
B ．使12F PF 为直角三角形的点P 有6个
C ．
122PF PF -的最大值为6-
D ．若11,
2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1PF PM +的最大、最小值分别为11．四叶草又称“幸运草”，有一种说法是：第一片叶子代表希望､第二片叶子表示信心､第三片叶子表示爱情､第四片叶子表示幸运.在平面直角坐标系中，“四叶草形”曲线Γ的方程为
()
3
2
2
2224(0)x
y a x y a +=>，则下列关于曲线Γ的描述正确的有（）
A ．其图象是中心对称图形
B ．其图象只有2条对称轴
C ．其图象绕坐标原点旋转90 可以重合
D ．其图象上任意两点的距离的最大值为4a
三、填空题
12．已知()1,2,0A -，()1,2,0B ，()2,1,3C -，点(),0,P x z ，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为
．
13．已知直线():2l y k x =-与圆22:20M x y x m +++=相交于,A B 两点，当AMB 的面积取
得最大值时，直线l 的斜率为m =.
14．已知椭圆2
2Γ:14
x y +=，过椭圆右焦点F 作互相垂直的两条弦AB ，CD ，则4AB CD
+的最小值为
．
四、解答题
15．已知ABC V 的三个顶点分别是()5,1A ，()7,3B -，()8,2C -.(1)求BC 边上的高所在的直线方程；
(2)若直线l 过点A ，且与直线10x y ++=平行，求直线l 的方程；(3)求BC 边上的中线所在的直线方程.
16．已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线:3450m x y ++=相切.(1)求圆A 的方程;
(2)过点()0,1B -的直线l 与圆A 相交与,M N 两点，当MN =时，求直线l 方程；(3)已知实数,x y 满足圆A 的方程，求()()2²2²x y -++的最小值.
17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，6AC =，8BC =，10AB =，18AA =，点D 是AB 的中点，1CC ⊥平面ABC .
(1)求证：1//AC 平面1CDB ；
(2)求1AA 与平面1CDB 所成角的正弦值.
18．设常数0m >且1m ≠，椭圆Γ：2
221x y m
+=，点P 是Γ上的动点．
(1)若点P 的坐标为()2,0，求Γ的焦点坐标；
(2)设3m =，若定点A 的坐标为()2,0，求PA 的最大值与最小值；(3)设1
2
m =
，若Γ上的另一动点Q 满足OP OQ ⊥（O 为坐标原点），求证：O 到直线PQ 的距离是定值．
19．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12经过点1F 且
倾斜角为π02θθ⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭的直线l 与椭圆交于A ，B 两点（其中点A 在x 轴上方），且2ABF △的
周长为8．将平面xOy 沿x 轴向上折叠，使二面角12A F F B --为直二面角，如图所示，折叠后A ，B 在新图形中对应点记为A '，B '．
(1)当π
3
θ=
时，①求证：2A O B F ''⊥；
②求平面12'A F F 和平面2''A B F 所成角的余弦值；
(2)是否存在π02θθ⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭，使得折叠后2A B F '' 的周长为152？若存在，求tan θ的值；若不存
在，请说明理由．。