内蒙古呼和浩特市2019-2020学年高考数学质量跟踪监视试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．
643
π B ．
256
3
π C ．
436
3
π D ．
2048
327
π 2．在平面直角坐标系中，经过点(22,2)P -，渐近线方程为2y x =±的双曲线的标准方程为（ ）
A ．22142-=x y
B ．22
1714x y -=
C ．22136x y -=
D ．22
1147
y x -=
3．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36
B ．72
C ．36-
D ．36±
4．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若
,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ）
A ．
6
π
B ．
3
π C ．
2
π D ．
23
π 5．已知函数2
1()(1)()2
x f x ax x e a R =
--∈若对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有
123()()()f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是( ）
A ．[]1
2， B ．[]e,4
C ．
[]14， D ．[)[]
12,4e ⋃， 6．若()12n
x -的二项展开式中2x 的系数是40，则正整数n 的值为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
7．函数ln ||
()x
x x f x e
=
的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A ．
121
B ．
221
C ．
115
D ．
215
9．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）． A 3
B ．
105
C ．
155
D ．
63
10．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若
(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（ ）
A ．(1,1)-
B ．(,1)-∞
C ．(1,)+∞
D ．(1,)-+∞
11．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0
B ．
2
π
C ．π
D ．
32
π 12．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是 A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若412
cos ,cos 513
B C ==，1b =，则
a =__________.
22
x y b 2
15．设P 为有公共焦点12,F F 的椭圆1C 与双曲线2C 的一个交点，且12PF PF ⊥，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，若213e e =，则1e =______________.
16．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =，且268a a a +=，若10p q -=，则p q a a -=________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知点P 在抛物线()2
20C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O
为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =． （1）求抛物线C 的方程；
（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值．
18．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系xOy ，已知曲线:sin x a
C y a
⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），在以O 原点为极点，x 轴的非负半轴
为极轴建立的极坐标系中，直线l cos()14
π
θ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 的距离之积． 19．（6分）2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.
方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.
方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.
（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率； （2）若某顾客获得抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；
②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？
20．（6分）设椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知椭圆离心率为12，过
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 斜率的取值范围.
21．（6分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率为2
，左、右焦点分别为1,F 2F ，点D 在椭圆C
上，12DF F △
的周长为2. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过圆22
2
:3
E x y +=上任意一点P 作圆E 的切线l ，若l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求证：AOB ∠为定值.
22．（8分）已知函数f(x)=e x -x 2 -kx （其中e 为自然对数的底，k 为常数）有一个极大值点和一个极小值点． （1）求实数k 的取值范围； （2）证明：f(x)的极大值不小于1．
23．（8分）已知椭圆222
:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，
B ，线段AB 的中点为M ．
（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(
,)3
m
m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】
由题，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒
，则根据余弦定理可得
7BC == ，ABC
的外接圆圆心2sin BC r r B ===
R ==
，则该三棱锥的外接球的表面积为2
25643S R ππ== 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键． 2．B 【解析】 【分析】
根据所求双曲线的渐近线方程为y =，可设所求双曲线的标准方程为2
2
2x y -=k ．再把点
(
代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程．
【详解】
∵
双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线
上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为2
2
2x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22
x y 1714
-=
故选：B 【点睛】
本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】
根据4a 是2a 与6a 的等比中项，可求得4a ，再利用等差数列求和公式即可得到9S . 【详解】
等比数列{}n a 满足21a =，616a =，所以44a ==±，又2
420a a q =⋅>，所以44a =，由等
差数列的性质可得9549936S b a ===. 故选：A 【点睛】
本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题. 4．D 【解析】 【分析】
将OC mOA nOB =+平方得2212cos m n mn AOB =++∠，
222211()2331
cos 1122222()
2
m n m n mn AOB m n mn mn mn ---++∠===-+≤-+=-
+⨯ （当且仅当1m n ==时等号成立），
0AOB π<∠<，
AOB ∴∠的最小值为
23
π
， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题． 5．C 【解析】
分析：先求导,再对a 分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥，得到关于a 的不等式组，再解不等式组得到实数a 的取值范围. 详解：由题得()[(1)]()x
x
x
x
f x ax e x e ax xe x a e =-+-=-=-'.
当a ＜1时，()0f x '<，所以函数f （x ）在[]
01
，单调递减， 因为对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(1)(1)(0)f f f +≥， 所以
11
1,22
a a +≥ 故a≥1，与a ＜1矛盾，故a ＜1矛盾.
当1≤a<e 时，函数f(x)在[0,lna]单调递增，在(lna,1]单调递减. 所以2max 1
()(ln )ln ln ,2
f x f a a a a a a ==
-+ 因为对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(0)(1)(ln )f f f a +≥，
所以211
1ln ln ,22a a a a a a +
≥-+ 即2
11ln ln 1022
a a a a a -+-≤
令2
11()ln ln 1,(1)22g a a a a a a a e =-+-≤<，
所以函数g(a)在（1，e ）上单调递减， 所以max 1
()(1)02
g a g ==-
<， 所以当1≤a<e 时，满足题意. 当a e ≥时，函数f(x)在(0,1)单调递增,
因为对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(0)(0)(1)f f f +≥, 故1+11
2
a ≥
， 所以 4.a ≤ 故 4.e a ≤≤
综上所述，a ∈[]
1
4，. 故选C.
点睛：本题的难点在于“对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口. 6．B 【解析】 【分析】
先化简()12n x -的二项展开式中第1r +项()112r
r
n r r n T C x -+=⋅⋅-，然后直接求解即可
【详解】
()
12n
x -的二项展开式中第1r +项()112r
r
n r r n T C x -+=⋅⋅-.令2r
，
则()2
2
32n T C x =⋅-，∴2440n C =，∴4n =-（舍）或5n =. 【点睛】
本题考查二项展开式问题，属于基础题 7．A 【解析】 【分析】
利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1
()12
f -<判断A 选项正确.
1.1
1.1ln |1.1|
( 1.1)0f e
--=
<，排除掉C ，D ；
12
11ln 122()2
f e
---=
=
1
ln 22
<
=2
，
1
()12
f ∴-=<.
故选：A ． 【点睛】
本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题. 8．B 【解析】 【分析】
先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求. 【详解】
解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有2
721C =，
其和等于16的结果(3,13)，(5,11)共2种等可能的结果， 故概率221
P =. 故选：B. 【点睛】
古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题. 9．C 【解析】 【分析】
设M,N,P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，得出
11
,AB BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角，根据中
【详解】
根据题意画出图形:
设M,N,P分别为1
,
AB BB和
11
B C的中点，
则11
,AB BC的夹角为MN和NP夹角或其补角
可知
1
15
22
MN AB
==，
1
12
22
NP BC
==.
作BC中点Q，则PQM为直角三角形；
1
1,
2
PQ MQ AC
==
ABC中，由余弦定理得
222
1
2cos412217
2
AC AB BC AB BC ABC
⎛⎫
=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-=
⎪
⎝⎭7
AC
∴=
7
2
MQ=
在MQP
△中，2211
2
MP MQ PQ
=+=
在PMN中，由余弦定理得
222
222
5211
2210 cos
25
52
2
MN NP PM
MNP
MH NP
⎛⎛
+-
+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠====-
⋅⋅
⨯⨯
所以
2
2
1015
sin1cos1
55
MNP MNP
⎛⎫
∠=-∠=--=
⎪
⎪
⎝⎭
此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目. 10．D 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性用方程法求出(),()f x g x 的解析式，进而求出a ，再根据复合函数的单调性，即可求出结论. 【详解】
依题意有()()2x
x
f x
g x a a
-+=-+， ①
()()2()()--+-=-+=-+x x f x g x a a f x g x ， ②
①-②得(),()2-=-=x x f x a a g x ，又因为(2)g a =，
所以2,()22-==-x x
a f x ，()f x 在R 上单调递增，
所以函数(
)
2
2f x x +的单调递增区间为(1,)-+∞. 故选:D. 【点睛】
本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题. 11．D 【解析】 【分析】
依次将选项中的θ代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案. 【详解】
当0θ=时，()sin f x x =在[]0,π上不单调，故A 不正确； 当2
π
θ=
时，()cos f x x =在[]0,π上单调递减，故B 不正确；
当θπ=时，()sin f x x =-在[]0,π上不单调，故C 不正确； 当32
π
θ=
时，()cos f x x =-在[]0,π上单调递增，故D 正确. 故选：D 【点睛】
本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题. 12．B
根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得112
1AF BF p
+==；再由基本不等式可求得4AF BF +的最小值． 【详解】
由抛物线标准方程可知p=2
因为直线l 过抛物线2
4y x =的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知
112
1AF BF p
+== 所以4AF BF +
()114AF BF AF BF ⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭ 441BF AF AF BF ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭
因为AF BF 、
为线段长度，都大于0，由基本不等式可知
4415BF AF AF BF ⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭
522≥+⨯
9≥，此时2BF AF =
所以选B 【点睛】
本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．
56
39
【解析】 【分析】
先求得sin ,sin B C 的值，由此求得sin A 的值，再利用正弦定理求得a 的值. 【详解】
由于412cos ,cos 513B C ==，所以35sin ,sin 513
B C ====，所以
()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+3124556
51351365
=
⨯+⨯=.由正弦定理得
56
sin 56
653sin sin sin 395
a b b A a A B B ⋅=⇒===.
故答案为：5639
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题. 14．2 【解析】 【分析】
根据双曲线的方程求出其中一条渐近线b
y x a
=
，顶点(),0a ，再利用点到直线的距离公式可得2c a =，
222==. 【详解】
由双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >，
可得一条渐近线b
y x a
=
，一个顶点(),0a ，
2
ab b
c
=
=
，解得2c a =，
22222===+≥，
当且仅当3
a =
时，取等号，
2的最小值为2.
故答案为：2 【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 15
．
【解析】
设122F AF θ∠=
根据椭圆的几何性质可得22
1211tan S PF F b b θ∆==
11c e a =
,22221112111,1c a b a c c e e ⎛⎫∴=∴=-=- ⎪⎝⎭
根据双曲线的几何性质可得，2
2
2122
tan b S PF F b θ
∆== 22c e a =
,222
c a e ∴= 222
2222211b c a c e ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭
2
222121111c c e e ⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即
12,122
1211233
e e e e e +==∴=，
故答案为3
16．10 【解析】 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为0d >，根据11a =，且268a a a +=，可得2617d d +=+，解得d ，进而得出结论. 【详解】 设公差为d ， 因为268a a a +=，
所以11157a d a d a d +++=+， 所以11d a ==，
所以()10110p q a a p q d -=-=⨯= 故答案为：10 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式、需熟记公式，属于基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1) 24x y = (2)4 【解析】 【分析】
（1）将点P 横坐标代入抛物线中求得点P 的坐标，利用点P 到准线的距离d 和勾股定理列方程求出p 的值即可；（2）设A 、B 点坐标以及直线AB 的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，计算AF BF -的值即可． 【详解】
（1）将点P 横坐标2P x =代入2
2x py =中，求得2P y p
=
， ∴P （2，
2p
），2
244OP p =+，
点P 到准线的距离为22
p d p =
+， ∴2
22
||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，
∴2
2
222212p p p ⎛⎫⎛⎫
+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
解得2
4p =，∴2p =，
∴抛物线C 的方程为：24x y =；
（2）抛物线2
4x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，
； 设()()1122A x y B x y ，
，，， 直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，
∴121244x x k x x +==-，
，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-， 又111AB AF y k k x -==
，22
1
HB y k x +=， ∴
1212
11
1y y x x -+⋅=-， ∴
()()1212110y y x x -++=，
即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫
-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴
()
22221212121110164
x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，22
1216x x -=，
则()
22
121211||||1116444
AF BF y y x x -=+--=-=⨯=． 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
18．（1）曲线C ：2
213
x y +=，直线l 的直角坐标方程20x y -+=；
（2）1. 【解析】
试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线C 化为普通方程，再根据cos ,sin x y ρθρθ== 将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线1l 参数方程，代入C 方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点M 到A ，B 的距离之积
试题解析：（1）曲线C 化为普通方程为：2213
x y +=，
由
cos 124πρθ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，得cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．
（2）直线1l
的参数方程为12
x t y ⎧=-+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），
代入2
213
x y +=
化简得：2220t -=，
设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则121t t =-，
121MA MB t t ∴⋅==．
19． (1)
1
729
(2)①10080元，元②第一种抽奖方案. 【解析】 【分析】
(1)方案一中每一次摸到红球的概率为101
303
p =
=，每名顾客有放回的抽3次获180元返金劵的概率为3
33
11327
C ⎛⎫=
⎪⎝⎭，根据相互独立事件的概率可知两顾客都获得180元返金劵的概率 (2)①分别计算方案一，方案二顾客获返金卷的期望，方案一列出分布列计算即可，方案二根据二项分布计算期望即可 ②根据①得出结论. 【详解】
（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为101303
p =
= 设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A ，则()3
3311327P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭
所以两位顾客均获得180元返金劵的概率()()1
729
P P A P A =⋅= （2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为
13，每一次摸到白球的概率为23
. 设获得返金劵金额为X 元，则X 可能的取值为60，100，140，180.
则()3
032860327P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭； ()1
2
13
124100339
P X C ⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
()2
23122
140339P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
()3
33
11180327
P X C ⎛⎫===
⎪⎝⎭. 所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为
()842160100140180100279927
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=（元） 若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y ，最终获得返金劵的金额为Z 元，则
13,3Y B ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
，故()1313E Y =⨯=
所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的 数学期望为()()8080E Z E Y ==（元）.
②即()()E X E Z >，所以该超市应选择第一种抽奖方案 【点睛】
本题主要考查了古典概型，相互独立事件的概率，二项分布，期望，及概率知识在实际问题中的应用，属于中档题.
20．（Ⅰ）22
143x y +=（Ⅱ
）,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题意可得2
23b a
=，c e a =，222a b c =+，解得即可求出椭圆的C 的方程；
（Ⅱ）由已知设直线l 的方程为y=k (x-2) ，(k≠0)， 联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B 的坐标，再写出MH 所在直线方程，求出H 的坐标，由BF ⊥HF,解得 H y .由方程组消去y ，解得M x ，由MOA MAO ∠≤∠,得到1M x ≥,转化为关于k 的不等式，求得k 的范围. 【详解】
（Ⅰ）因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3，
所以2
23b a
=，
因为椭圆离心率e 为12，所以12
c a =， 又222a b c =+， 解得2a =，1c =
，b =
所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=；
（Ⅱ）设直线l 的斜率为()0k k ≠，则()2y k x =-，设(),B B B
x y ，
由()
22214
3y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222431616120k x k x k +-+-=，
解得2x =，或228643k x k -=+，由题意得22
86
43
B k x k -=+， 从而21243
B k y k -=
+，
由（Ⅰ）知，()1,0F ，设()0,H H y ，
所以()1,H FH y =-，2229412,4343k k BF k k ⎛⎫
-= ⎪++⎝⎭
，
因为BF HF ⊥，所以0BF HF ⋅=，
所以222124904343H ky k k k -+=++，解得2
94 12H k y k
-=
，
所以直线MH 的方程为2
19412k y x k k
-=-+，
设(),M M M x y ，由()2219412y k x k y x k k ⎧=-⎪
⎨-=-+
⎪⎩
消去y ，解得()22209121M k x k +=+，
在MAO ∆中，MOA MAO MA MO ∠≤∠⇔<， 即()2
2222M M M M x y x y -+≤+，
所以1M x ≥，即
()
22209
1121
k k +≥+，
解得k ≤
，或k ≥
. 所以直线l
的斜率的取值范围为,,44⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
. 【点睛】
本题考查在直线与椭圆的位置关系中由已知条件求直线的斜率取值范围问题，还考查了由离心率求椭圆的标准方程，属于难题.
21．（1）2
212
x y +=（2）见解析
【解析】 【分析】 (1)
由2
c e a =
=
，周长222a c +=,
解得a =1b c ==即可求得标准方程. (2)通过特殊情况l 的斜率不存在时,求得2
AOB π
∠=
,再证明l 的斜率存在时0OA OB ⋅=,即可证得
AOB ∠为定值.通过设直线l 的方程为y kx m =+与椭圆方程联立,借助韦达定理求得
()()12121212OA OB x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++,利用直线l 与圆相切,
即d =
=
求得,m k 的关系代入,化简即可证得=0OA OB ⋅即可证得结论. 【详解】 （1
）由题意得c e a =
=
，周长222a c +=，且222a c b -=.
联立解得a =
1b c ==，所以椭圆C 的标准方程为22
12
x y +=.
（2）①当直线l
的斜率不存在时，不妨设其方程为x =
，
则,A ⎝
⎭33B ⎛- ⎝
⎭， 所以0OA OB OA OB ⋅=⇒⊥，即2
AOB π
∠=
.
②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，并设()11,,A x y ()22,B x y ，
由()()
222
2
2
21422012
y kx m
k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， ()2
2
8210k m ∆=-+>，2124,21k x m x k =-++212222
21
m x x k -=+，
由直线l 与圆E
相切，得223220d m k =
=
⇒--=. 所以()()(
)()2
21212121212
121OA OB x x y y x x kx m kx m k
x x
km x x m ⋅=+=+++=++++
()(
)222
2
222
2
22
211
43220121212k m k m
m k m k k k
+---=
-+==+++. 从而OA OB ⊥，即2
AOB π
∠=.
综合上述，得2
AOB π
∠=为定值.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中定值问题,考查了学生计算求解能力,难度较难. 22．（1）(22ln 2,)k ∈-+∞；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）求出()2x
f x e x k '=--，记()2x
g x e x =-，问题转化为方程()g x k =有两个不同解，求导，研究
极值即可得结果 ；
（2）由（1）知，()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112x
k e x =-，则可求出极大值
()()111211x f x x e x =-+，记2()(1)((,ln 2))t h t t e t t =-+∈-∞，求导，求单调性，求出极值即可.
【详解】
（1）()2x
f x e x k '=--，由()02x
f x e x k '=⇒-=，
记()2x g x e x =-，()2x
g x e '=-，
由()0ln 2g x x '=⇒=，且ln 2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，()(22ln 2,)g x ∈-+∞，
ln 2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，()(22ln 2,)g x ∈-+∞，
由题意，方程()g x k =有两个不同解，所以(22ln 2,)k ∈-+∞；
（2）解法一：由（1）知，()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112x
k e x =-，
所以()f x 的极大值为()()
()111111122
1121x x x f x e x e x x x e x =---=-+， 记2
()(1)((,ln 2))t h t t e t t =-+∈-∞，则(
)
()22t
t
h t te t t e '=-+=-，
因为(,ln2)t ∈-∞，所以20t e ->，
所以0t <时，()0h t '
<，()h t 单调递减，0ln 2t <<时，()0h t '>，()h t 单调递增，
所以()(0)1f t h ≥=，即函数()f x 的极大值不小于1.
解法二：由（1）知，()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112x
k e x =-，
所以()f x 的极大值为()()
()111111122
1121x x x f x e x e x x x e x =---=-+， 因为110x ->，111x
e x ≥+，所以()()()1111111
f x x x x 2≥-++=.
即函数()f x 的极大值不小于1. 【点睛】
本题考查导数研究函数的单调性，极值，考查学生综合分析能力与转化能力，是一道中档题. 23．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+． 【解析】
试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；
（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9
y x k
=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点
的坐标，如果能构成平行四边形，只需
，如果有值，并且满足0k >，
3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.
试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．
∴由222
9y kx b x y m
=+⎧⎨+=⎩得2222
(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kb
x k +=
=-+，299
M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9
M OM M y k x k
=
=-，即9OM k k ⋅=-．
即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形．
∵直线l 过点(
,)3
m
m ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9
y x k
=-．设点P 的横坐标为P x ．
∴由2229,
{9,
y x k x y m =-
+=得
，即
将点(,)3
m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)
3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．
四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = ∴
239
k =+2(3)
23(9)
mk k k -⨯
+．解得147k =-，247k =+．
∵0,3i i k k >≠，1i =，2，
∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用
【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点
是弦的中点，（1）知道中点坐标，求
直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设
,
，代入椭圆方程
，两式相减
，化简为，两边同时除以
得，而,,即得到结果，
（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点1
F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线
C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
62
2
- B ．21-
C ．
62
2
+ D ．21+
2．己知46a =，544log 21b =， 2.9
13c ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>
C ．b c a >>
D ．c a b >> 3．定义在上的函数满足
，且
为奇函数，则
的图象可能
是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768
111++=（ ） A ．
13
18
B ．
1318或
19
36
C ．
13
9
D ．
136
5．函数()()ln 12f x x x
=++-的定义域为（ ） A ．()2,+∞
B ．()()1,22,-⋃+∞
C ．()1,2-
D ．
1,2
6．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）
A ．5i ≤
B ．6i ≤
C ．7i ≤
D ．8i ≤
7．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从
1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时
装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为
(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）．
A ．(1)k n k -+
B ．(1)k n k --
C ．()n n k -
D ．()k n k -
8．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a <
D ．b a >
9．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等腰或直角三角形
D ．钝角三角形
10．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2或
23
3
B ．2或3
C ．3或
62
D ．
23
3或
62
11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则
()()()()1232020f f f f +++
+=（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
12．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）
A ．m n =
B ．2m n =+
C ．m n <
D ．8m n +<
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

机取出的3
2m种子，则取出了带麦锈病种子的概率是
_____．
15．如图，1F、2F分别是双曲线
22
22
1
x y
a b
-=的左、右焦点，过2F的直线与双曲线C的两条渐近线分别
交于A、B两点，若
2
F A AB
=，
12
F B F B
⋅=，则双曲线C的离心率是______.
16．已知复数z1＝1﹣2i，z2＝a+2i（其中i是虚数单位，a∈R），若z1•z2是纯虚数，则a的值为_____．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知矩阵
01
A
a
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
的逆矩阵1
02
A
b
-
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
.若曲线1C：
2
21
4
x
y
+=在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线2
C，求曲线
2
C的方程.
18．在ABC
∆中，内角,,
A B C的对边分别是,,
a b c，已知222
3
,
3
A b c abc a
π
=+-=．
（1）求a的值；
（2）若1
b=，求ABC
∆的面积．
19．（6分）已知数列{a n}满足条件12
13
＝，＝
a a，且a n+2＝（﹣1）n（a n﹣1）+2a n+1，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n＝21
2
n
n
a
a
-，S
n为数列{b n}的前n项和，求证：S n
2
21
n
n
n
-
+
．
20．（6分）如图，在直棱柱1111
ABCD A B C D
-中，底面ABCD为菱形，2
AB BD
==，12
BB=，BD 与AC相交于点E，1A D与1
AD相交于点O.
（2）求直线OB 与平面11OB D 所成的角的正弦值.
21．（6分）已知函数2
()ln (0)，f x x bx a x a b R =-+>∈.
（1）设2b a =+，若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且121x x ->，求证：12()()34ln 2f x f x ->-； （2）设()()g x xf x =，()g x 在[1,]e 不单调，且1
24b e a
+≤恒成立，求a 的取值范围.（e 为自然对数的底数）.
22．（8分）在平面直角坐标系中，(2,0)A -，(2,0)B ，且ABC ∆满足1
tan tan 2
A B = （1）求点C 的轨迹E 的方程；
（2）过(2F -，0)作直线MN 交轨迹E 于M ，N 两点，若MAB ∆的面积是NAB ∆面积的2倍，求直线MN 的方程．
23．（8分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB PC ⊥，M 是AB 的中点，点D 在PB 上，//MD 平面PAC ，平面PAB ⊥平面PMC ，CPM ∆为锐角三角形，求证：
（1）D 是PB 的中点； （2）平面ABC ⊥平面PMC .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2
直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -
，F 1（0，2
p ），F 2（0，2p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx+p 2＝0， ∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，
∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：22
22y x a b
-=1，
丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨222p p =
+=p ，
2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（ 2-1）p ，
2c ＝p ， ∴离心率e 221
c
a ===+-1， 故选：D ． 【点睛】
本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题． 2．B 【解析】 【分析】
先将三个数通过指数，对数运算变形104
4
6661a =
=>=，
2.9
5544
411log log 10,012133b c ⎛⎫
⎛⎫
=<=<=<= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
再判断. 【详解】
因为1
044
6661a ==>=， 2.9
5
544
411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫
=<=<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以a c b >>， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】
为奇函数，即
，函数关于中心对称，排除.
，排除.
故选：. 【点睛】
本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键.
4．A 【解析】 【分析】
根据等比数列的性质可得2
5968736a a a a a ⋅=⋅==，通分化简即可.
【详解】
由题意，数列{}n a 为等比数列，则2
5968736a a a a a ⋅=⋅==，
又a a a 76826++=，即68726a a a +=-，
所以，()()7687778686767877
7683636261113636a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +⋅++⋅-⋅+⋅+⋅++===⋅⋅⋅⋅， ()2
77777777773626362636263626133636363618
a a a a a a a a a a +⋅-+⋅-+⋅-⋅=====⋅⋅⋅⋅.
故选：A. 【点睛】
本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】 【详解】
函数的定义域应满足20
,1 2.10
x x x ->⎧∴-<<⎨+>⎩
故选C. 6．B 【解析】
执行框图如下： 初始值：0,1S i ==，
第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环； 故，判断条件为6i ≤. 故选B 【点睛】
本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型. 7．D 【解析】 【分析】
根据题意，分析该邮车到第k 站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，该邮车到第k 站时，一共装上了(21)(1)(2)()2
n k k
n n n k --⨯-+-+⋯⋯-=件邮件，
需要卸下(1)
123(1)2
k k k ⨯-+++⋯⋯-=件邮件， 则(21)(1)
()22
k n k k k k a k n k --⨯⨯-=
-=-，
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题． 8．C 【解析】 【分析】
令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得．
令23a b t ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==
，3lg log lg 3
t
b t ==， ()
lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3
t t t a b -∴-=-=>⋅，因此，a b >.
故选：C. 【点睛】
本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 9．C 【解析】 【分析】
利用正弦定理将边化角，再由()sin sin A B C +=，化简可得sin cos sin cos B A A A =，最后分类讨论可得； 【详解】
解：因为cos (2)cos c a B a b A -=-
所以()sin sin cos 2sin sin cos C A B A B A -=- 所以sin sin cos 2sin cos sin cos C A B A A B A -=- 所以()sin sin cos 2sin cos sin cos A B A B A A B A +-=-
所以sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin cos A B B A A B A A B A +-=- 所以sin cos sin cos B A A A = 当cos 0A =时2
A π
=
，ABC ∆为直角三角形；
当cos 0A ≠时sin sin A B =即A B =，ABC ∆为等腰三角形；
ABC ∆∴的形状是等腰三角形或直角三角形
故选：C ． 【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 10．A 【解析】 【分析】
根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x 、y 轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率．。