K字型复习

“K”字型复习（三等角型相似三角形）
引例：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：
等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

课前演练：
1.如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°
（1）求证：△BDE∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE
2.如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中点，∠EDF=∠B，
求证：△BDE∽△DFE
3.（2012•朝阳）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上一动点（不与B、C重合）．连接AE，过点E作EF⊥AE，交DC于点F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE=∠EAF，请证明你的结论．
精选例题：
例1.（2015•贺州）如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；
②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是（填入正确结论的序号）
例2. 如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；
（1）求证：△ABP∽△PCM；
（2）设BP=x，CM=y．求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域．
（3）当△APM为等腰三角形时，求PB的长．
当堂巩固：
练习1:.（2012秋•洛江区期末）如图，在△ABC中AB=AC=6cm，BC=8cm．点E是线段BC边上的一动点（不含B、C两端点），连结AE，作∠AED=∠B，交线段AB于点D．
（1）求证：△BDE∽△CEA；
（2）设BE=x，AD=y，请写y与x之间的函数关系式，并求y的最小值．
（3）E点在运动的过程中，△ADE能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．
2.（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.
①若点P 在线段CB 上（如图10），且6=BP ，求线段CQ 的长；
②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）正方形ABCD 的边长为5（如图12），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，写出线段BP 的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.
课后巩固练习：
1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；
(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．
2. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F 在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ；
(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．
3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。

（1）求证△BPD ∽△CEP
（2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。

4. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，记PE =1y ，PF =2y （1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式
（2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。

5. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，△PEF 的面积为y 。

（1）写出图中的相似三角形不必证明；
（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。

P
E
A
F P
E
A
D P
E A
F
A
B C
D
E
A
B
C
D
E
F
6. 已知在等腰三角形ABC 中，4,6AB BC AC ===，D 是AC 的中点， E 是BC 上的动点（不与B 、C 重合），连结DE ，过点D 作射线DF ，使EDF A ∠=∠，射线DF 交射线EB
于点F ，交射线AB 于点H .
（1）求证：CED ∆∽ADH ∆； （2）设,EC x BF y ==. ①用含x 的代数式表示BH ；
②求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域.
7. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．
（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC ， ②求AP 的长．
（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线
BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么：
①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．
8. 如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90B ，8=AB ，12=AD ，3
4
tan =C ，AM ∥DC ，E 、F 分别是线段AD 、AM 上的动点（点E 与A 、D 不重合）且AMB FEM ∠=∠，设x DE =，y MF =. （1）求证：DM AM =；
（2）求y 与x 的函数关系式并写出定义域；
（3）若点E 在边AD 上移动时， EFM ∆为等腰三角形，求x 的值；
9. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点． （1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ； （2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于
点F ，同时交直线AD 于点M ，那么
①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出
H A
B
C
D
E
F
C
A E
F
D
B M C
函数的定义域；②当B E P DM F S S ∆∆=4
9
时，求BP 的长．
10. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD =BC =4，AD =2．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作∠EMF =∠B ，射线ME 交边AB 于点E ，射线MF 交边CD 于点F ，连结EF ． （1）指出图中所有与△BEM 相似的三角形，并加以证明；
（2）设BE =x ，CF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；
E
D
C B
A P
（第25题图）
E
D
C
B
A （备用图）
B
C
M
参考答案： 课前演练：
1. 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°
∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ，∴∠BED =∠FDC ，∴△BDE ∽△CFD
（2）∵△BDE ∽△CFD ，∴
BE CD BD FC =。

∵BD =1，FC =3，CD =5，∴BE =3
5。

点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

2. 解：∵AB =AC ，∠EDF =∠B ，∴∠B =∠C =∠EDF ，∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ，∴△BDE ∽△CFD ， ∴
DF DE CD BE =又∵BD =CD ，∴DF DE BD BE =即DF
BD
DE BE = ∵∠EDF =∠B ，∴△BDE ∽△DFE 。

点评：三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得DF
DE
CF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似。

3. 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】（1）有正方形的性质和已知条件证明∠BAE=∠FEC 即可证明：△ABE ∽△ECF ； （2）连接AF ，延长AE 于DC 的延长线相交于点H ，当点E 在BC 中点位置时，通过证明三角形全等和等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明∠BAE=∠EAF ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°， ∵EF ⊥AE ，∴∠AEF=90°，∴∠BEA+∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC ，∴△ABE ∽△ECF ； （2）E 是中点时，∠BAE=∠EAF ，理由如下：连接AF ，延长AE 于DC 的延长线相交于点H ，∵E 为BC 中点，∴BE=CE ，∵AB ∥DH ，∴∠B=∠ECH ，∵∠AEB=∠CEH ，∴△ABE ≌△HCE ，∴AE=EH ，∵EF ⊥AH ，∴△AFH 是等腰三角形，∴∠EAF=∠H ，
∵AB ∥DH ，∴∠H=∠BAE ，∴∠BAE=∠EAF ，∴当点E 在BC 中点位置时，∠BAE=∠EAF ． 【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判断和性质以及等腰三角形的判断和性质的综合运用，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质和相似三角形的各种判断方法，此题难度不大． 精选例题： 例1.
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题．
【分析】①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；②由CD=9，则BD=15，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；④依据相似三角形对应边成比例即可求得．
【解答】解：①∵∠ADE=∠B ，∠DAE=∠BAD ，∴△ADE ∽△ABD ；故①错误； ②作AG ⊥BC 于G ，∵∠ADE=∠B=α，tan ∠α=，∴
=，∴
=，∴cos α=，
∵AB=AC=15，∴BG=12，∴BC=24，∵CD=9，∴BD=15，∴AC=BD ． ∵∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC ，∠ADE=∠C=α，∴∠EDB=∠DAC ， 在△ACD 与△DBE 中，
，∴△ACD ≌△BDE （ASA ）．故②正确；
③当∠BED=90°时，由①可知：△ADE ∽△ABD ，∴∠ADB=∠AED ，∵∠BED=90°，∴∠ADB=90°，即AD ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BD=CD ，∴∠ADE=∠B=α且tan ∠α=，AB=15，∴
=，∴BD=12．当
∠BDE=90°时，易证△BDE ∽△CAD ，∵∠BDE=90°，∴∠CAD=90°，∵∠C=α且cos α=，AC=15，∴cosC==，∴CD=
．∵BC=24，∴BD=24﹣
=
，即当△DCE 为直角三角形时，BD=12
或
．故③正确；
④易证得△BDE ∽△CAD ，由②可知BC=24，设CD=y ，BE=x ，∴=
，∴=， 整理得：y 2
﹣24y+144=144﹣15x ，即（y ﹣12）2
=144﹣15x ，∴0＜x ≤，∴0＜BE ≤
．故④错
误．故正确的结论为：②③．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，不
等式的性质．进行分类讨论是解决③的关键． 例2. 【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。

对△APM 进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与△ABP ∽△PCM 相关的结论 解：（1）∵AB =AC ，∠APM =∠B ∴∠APM =∠B =∠C
∵∠APC =∠APM +∠MPC =∠B +∠BAP ∴∠BAP =∠MPC ∴△ABP ∽△PCM （2）∵BP =x ，CM =y ，CP =8-x ∵
MC
BP
PC AB = ∴
y
x
x =-85，∴x x y 58512+-=)80(<<x
A B C P M
A B
C
P
M
（3）当AP =PM 时，∵
AB
PC
PA PM =∴PC =AB =5，∴BP =3；当AP =AM 时，∵∠APM =∠B =∠C ，∴∠PAM =∠BAC 即点P 与点B 重合，∴P 不与点B 、C 重合，∴舍去；当MP =AM 时，∴∠MAP =∠MPA ，∴△MAP ∽△ABC ，∴
85==BC AB AP MP ，∴85==AB PC PA PM 即8558=-x ，∴BP =8
39。

点评：等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的方法添底边上的高，将等腰的条件进行转化，
三等角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至△ABP 和△PCM 中简化运算。

当堂巩固：
1.【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）根据∠BDE=∠CEA ，∠B=∠C 证得结论；（2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例列出比例式
，则把相关线段的长度代入即可列出y 与x 的关系式．注意自变
量x 的取值范围要注明；（3）根据三角形外角性质和三角形的边角关系知AE ≠AD ．所以当△ADE 是等腰三角形时，分两种情况：①当AE=DE 时，△BDE ≌△CEA ；②当DA=DE 时，△BAE ∽△BCA ．所以根据全等三角形和相似三角形的性质来求线段BE 的长度． 【解答】（1）证明：∵∠BDE=180°﹣∠DEB ﹣∠B ，∠CEA=180°﹣∠DEB ﹣∠AED ，又∠B=∠AED ，∴∠BDE=∠CEA ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴△BDE ∽△CEA ； （2）解：∵△BDE ∽△CEA ，∴，即，∴
=
（0
＜x ＜8），∴当x=4，y 有最小值是
；
（3）解：∵∠ADE 是△BDE 的外角，∴∠ADE ＞∠B ，∵∠B=∠AED ，∴∠ADE ＞∠AED ，∴AE ≠AD ．
①当AE=DE 时，得△BDE ≌△CEA ，∴BE=AC=6cm ；
②当DA=DE 时，∠BAE=∠AED=∠C ，又∵∠B=∠B ，∴△BAE ∽△BCA ，∴，即：
，
∴
，∴△ADE 为等腰三角形时，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质，二次函数的最值等知识点．解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解． 2. 【思路分析】本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角的顶点不仅在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。

当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。

解：（1）∵BAP B CPQ APQ ∠+∠=∠+∠，ABC APQ ∠=∠，∴CQP BAP ∠=∠.
又∵AC AB =，∴C B ∠=∠.∴QCP ∆∽ABP ∆.∴
AB
CP
BP CQ =. ∵5==AC AB ，8=BC ，6=BP ，268=-=CP ，∴526=CQ ，5
12
=CQ .
（2）若点P 在线段CB 上，由（1）知
AB
CP
BP CQ =.∵x BP =，8=BC ， ∴x BP BC CP -=-=8，又∵y CQ =，5=AB ，∴ 58x x y -=，即x x y 5
8512+-=. 故所求的函数关系式为x x y 58
512+-=，)80(<<x .
若点P 在线段CB 的延长线上，如备用图.
∵ CPQ APB APQ ∠+∠=∠，PAB APB ABC ∠+∠=∠，
ABC APQ ∠=∠，∴ PAB CPQ ∠=∠.
又∵ABC ABP ∠-︒=∠180，ACB PCQ ∠-︒=∠180，
ACB ABC ∠=∠，∴PCQ ABP ∠=∠.∴QCP ∆∽PBA ∆.∴
PC
AB
CQ BP =
. ∵x BP =，x BP BC CP +=+=8，5=AB ，y CQ =， ∴
x
y x +=
85
，即x x y 58512+= )0(>x . （2）当点P 在线段BC 上，255+=
BP ，或2
5
5-=BP . 当点P 在线段BC 的延长线上，则点Q 在线段DC 的延长线上，25
35+=
BP . 当点P 在线段CB 的延长线上，则点Q 在线段DC 的延长线上，2
5
35+-=
BP . 点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。

动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。

课后巩固练习： 1. 解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C ，∵∠ADC =∠ADE +∠CDE =∠B +∠BAD ∴∠BAD =∠CDE ∴△ABD ∽△DCE 。

（2）∵△ABD ∽△DCE ∴
AB CD BD CE =。

∵x BD =，y AE =，x DC -=10∴y
x
x -=-8108 ∴84
5
812+-=x x y )100(<<x （3）∵AC AB =，D 是BC 的中点∴AD ⊥BC ∴∠DAE+∠ADE=90°∵DE AE ≠，∴△ADE 是
直角三角形。

A
B
C
备用图
P
Q
2. 解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C ，∵∠BED +∠DEF =∠C +∠EFC =90°又∵B DEF ∠=∠∴∠BED =∠EFC ，∴△FCE ∽△EBD （2）∵BD =x ，BE =
x 35，x EC 356-=，∵△FCE ∽△EBD ∴2
)(BD
EC S S BED FEC =∆∆若EBD FCE S S ∆∆=4 ∴4)35
6(
2=-x
x
∴1118=x ，∴31136356>=-x ∴BD 不存在。

3. 解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C
∵∠DPC =∠DPE +∠EPC =∠B +∠BDP ∴∠EPC =∠BDP ∴△ABD ∽△DCE （2）∵∠DPE =∠B ≠90° 若∠PDE=90°，在Rt △ABH 和Rt △PDE 中，
∴cos ∠ABH =cos ∠DPE =
53==PE PD AB BH ∴53
==PC BD PE PD ，∵PC =4 ∴5
12
=BD
若∠PED=90°在Rt △ABH 和Rt △PDE 中
∴cos ∠ABH =cos ∠PED =
53==PD PE AB BH ∴35
==PC BD PE PD ∵PC =4 ∴5320>=BD （舍去）。

综上所述，BD 的长为512。

4. 解：（1）52454)6(541+-=-=
x x y 、x y 3
42= （2）∵∠FPE =∠B ≠90°
若∠PFE =90°，在Rt △ABH 和Rt △PFE 中
∴cos ∠ABH =cos ∠FPE =
53==PE PF AB BH ∴5
3
12=y y ∴5
3
5
245434
=
+-x x ∴1727=x
若∠PEF =90°，在Rt △ABH 和Rt △PFE 中 ∴cos ∠ABH =cos ∠FPE =
5
3
==PE PF AB BH ∴
3
512=y y ∴3
5
5
245434=
+-x x ∴3=x 5. 解：（1）△PEB ∽△EPC
C
P E
A
B
D
H
C
P E
A
B
D H C
P
E
A
B
F
H
P
E A
B
F
H
（2）∵PC =x ∴x PF 34=
，)6(54x PE -=，)6(25
1654x EP EH -== ∴)6(75
32
)6(2516342121x x x x EH PF y -=-⋅
⋅=⋅⋅= 即x x y 25
6475322+-=)30(≤<x （3）当PE =PF 时，△EPC ≌△PEB ，PC =BE =x ，536=-x x ∴4
9
=x 当PE =EF 时，x PF PH 3221==，cos ∠EPH =cos B ，53)6(5
432=-x x
∴43108=
x 当FE =PF 时，)6(5221x EP PM -==， cos ∠FPM =cos B ，53
3
4)
6(52
=-x x ∴2=x
综上所述，PC 的长分别为49=x 、43
108
、2。

6. 解：（1）∵AB BC =,∴A C ∠=∠∵CDE EDF A H ∠+∠=∠+∠
又EDF A ∠=∠,∴CDE H ∠=∠CED ∴∆∽ADH ∆
（2）①∵CED ∆∽ADH ∆，∴CE CD
AD AH
= ∵D 是AC 的中点，6AC =，∴3AD CD ==，又 ∵,4CE x AB ==
∴当H 点在线段AB 的延长线上时，
334x BH =+，∴94BH x
=- 当H 点在线段AB 上时，334x BH =-，∴9
4BH x
=-
②过点D 作DG ∥AB ,交BC 于点G ∴
1
2
DG CG CD AB BC AC ===，∴2,2DG BG ==，∴当H 点在线段AB 的延长线上时，∴BH BF GD GF =，∴94
22y x y -=-∴18890924x y x x -⎛⎫=<< ⎪-⎝⎭。

当H 点在线段AB 上时，∴BH BF
GD GF
=， ∴
942
2y x y -
=
+ ∴81894924x y x x -⎛⎫=≤< ⎪-⎝⎭
P
E A
B F G H M
7. 解：（1）①证明：∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，
∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ABP ＝∠DPC ．
∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ． ②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得
DC
PD AP AB =
，即252x
x -= 解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4．
（2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQ
AP
PD AB = 即y x x +=-252，得22
5212-+-=x x y ，1＜x ＜4． ②AP ＝2或AP ＝3－5．
8. 证明：（1）过点M 作AD MG ⊥交AD 于G
∵AM//DC ∴C AMB ∠=∠∵8AB ,90B =︒=∠ ∴BM AB C AMB =
=∠tan tan ∴BM
8
34=∴6BM = ∵AD//BC ，AB//MG ∴AG=BM=6
∵AD=12 ∴AG=GD ∴AGM ∆≌DGM ∆∴AM=DM
(2) ∵AMB FEM ∠=∠ A F E A M B ∠=∠∴EFM ∽∆∆AEM ∴
FM
EM
EM AM = ∵2
2
2
2
6)-(8EM 1086AM x +==+=∴y x x 2222)6(8)
6(810
-+=-+
∴105
6
101y 2+-=
x x 定义域为：120<<x (3) ∵FEM AEF MAE EFM ∠>∠+∠=∠∴EM ≠FM ∴若EFM ∆为等腰三角形，则EF =EM 或EF =FM ① 当EF =EM 时,12-x =10∴x =2
②当EF =FM 时∵MAE F F ∠=∠=∠EM ME ∴AE =EM ∴226)-(x 8x -12+=∴3
11
x =
9. 证明：（1）∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∴∠B =∠C
BE =2,BP =2,CP =4,CD =4，∴
CD
BP
CP EB =，∴△BEP ∽△CPD (2)①FPC EPF BEP B EPF ∠+∠=∠+∠=∠ 又∠EPF =∠C=∠B ，∴FPC BEP ∠=∠
C D
A
B
P
E
∴△BEP ∽△CPF ，∴
CF BP CP EB =∴462+=
-y x
x ，∴432
12-+-=x x y （42<<x ） ②当点F 在线段CD 的延长线上时
∠FDM =∠C=∠B ， FMD FPC BEP ∠=∠=∠，∴△BEP ∽△DMF B E P DM F S S ∆∆=
49，∴x
y
BP DF ==23 又432
12
-+-
=x x y ，∴0832=+-x x ，Δ＜0，∴此方程无实数根， 故当点F 在线段CD 的延长线上时，不存在点P 使B E P DM F S S ∆∆=4
9
当点F 在线段CD 上时，同理△BEP ∽△DMF
B E P DM F S S ∆∆=
49，∴x y BP DF ==23，又∴△BEP ∽△CPF ∴CF BP CP EB =，∴y
x x -=-462 ∴432
12
+-=
x x y ，∴0892=+-x x ，解得 11=x ，82=x 由于82=x 不合题意舍去，∴1=x ，即BP =1，所以当B E P DM F S S ∆∆=4
9
时，BP 的长为1．
10. 解：（1）△CMF ∽△BEM ，△MEF ∽△BEM ．
证明如下：在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AB =CD ，∴∠B =∠C ． 又∵∠EMF +∠FMC =∠B +∠BEM ，∠EMF =∠B ，∴∠FMC =∠BEM ．
∴△CMF ∽△BEM ． ∴
CM BE
FM EM =
． 又∵CM =BM ，∴BM
BE
FM EM =
．∵∠EMF =∠B ，∴△MEF ∽△BEM ． （2）∵△CMF ∽△BEM ，∴CF
CM
BM BE =
． ∵BM =CM =2，∴
y x 22=．∴所求函数的解析式为x
y 4=，（41≤≤x ）。

感恩和爱是亲姐妹。

有感恩的地方就有爱，有爱的地方就有感恩。

一方在哪里，另一方迟早会出现。

你做一切都是为自己做，为存在而感恩。

“人要经历一个不幸的抑郁症的或自我崩溃阶段。

在本质上，这是一个昏暗的收缩点。

每一个文化创造者都要经历这个转折点，他要通过这一个关卡，才能到达安全的境地，从而相信自己，确
信一个更内在、更高贵的生活。

”
——黑格尔。