107976-自动控制-第三章(01)

•研究系统的时间响应，必须对过渡过程和稳态过程的特 点和性能以及有关描述这两个过程的指标进行探讨。
•一般地，跟踪和复现阶跃作用对系统来说是较为严格的 工作条件，故通常以阶跃响应来衡量控制系统的优劣和定 义时域性能指标
19
四、阶跃响应的性能指标
h(t)
h(t ) p 1
误差带
0
t
p
t s
•如何描述系统的快、准、稳等方面的性能？
系统单位阶跃响应的实际值 h( )
与期望值（一般为输入量
2
1(t)）之差：
0
td tr tp
ts
ess 1 h()
td、 tr 、tp：系统响应初始段的快慢；
ts：过渡过程持续的时间，快速性指标；
% :反应系统响应过程的平稳性；
ess：反应系统复线输入信号的最终（稳态）精度
以下着重以d % 、ts和ess三项指标，分别评价系统单
L[ f ( t )] F ( s ) t
0
e st dt
1 s2
0
t
• 大型船闸匀速升降时主拖动系统发出的位置信号 • 数控机床加工斜面时的进给指令
11
③单位脉冲函数
其数学表达式为：
f
(t
)
d
(t
)
0
t0 t 0
0
d (t)dt d (t)dt 1
0
其拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) 1
•海浪对船体的冲击力，伺服振动台的输入指令， 电源及机械振动的噪声等，均可近似为正弦作用
13
三、典型时间响应
初始状态为零的系统，在典型外作用下的 输出，称为典型时间响应。
从数学角度看，典型时间响应就是描述控 制系统的微分方程在典型外作用下的零初 始条件解
14
1. 单位阶跃响应
定义：系统在单位阶跃输入[r(t)=1(t)]作用下的响应， 常用h(t)表示。
试求：该系统单位阶跃响 应及调节时间ts. 如统应果的调要反整求馈为系何ts 数值0？K.1秒H（，K试H 问 系0）
R(s) E(s) 100 ss
B(s)
K HH
由图可写出闭环传递函数：
100
1
(s)
C(s) R(s)
1
s 100
s
KH
KH
1 s 1
100 KH
由传函可知： T 1
100 K H
位阶跃响应的平稳性、快速性和稳态精度
0.05 h() 或
0.02 h( )
t
23
3－2 一、二阶系统分析与计算
一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应
由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。 一些控制元部件及简单系统如RC网络、
发电机、空气加热器、液面控制系统等都 是一阶系统。
24
RC网络
R
vi
输出
1t
ht (t) t T Te T
1t
h1(t) 1 e T
hd
(t)
1 T
1t
eT
三种输入关系
1(t) d [t] dt
d (t) d [1(t)]
dt
三种响应关系
h1(t)
dht (t) dt
hd
(t)
dh1 (t ) dt
34
线性定常系统的重要性质
系统对输入信号导数的响应,等于系统对该输入信号响应的 导数。
故
ct (t) L1 Ct (s)
16
3. 单位脉冲响应
定义：系统在单位脉冲输入 r(t)=δ(t)
作用下的响应，常用k(t)表示。 也称脉冲过渡函数。
K(s) (s) R(s) (s) 1 (s) (33)
故 k(t) L1 K(s) L1 (s)
注：关于正弦响应，将在第五章里讨论
其拉氏变换为：
L[ f ( t )] F ( s ) 1
estdt 1
0
t
0
s
• 指令的突然转变、电源的突然接通、负荷的突变
以及常值干扰的突然出现等；
• 是评价系统动态性能时应用较多的一种典型外作用
10
②单位斜坡函数
其数学表达式为：
f
(
t
)
t
.
1(
t
)
t
0
t0 t<0
其拉氏变换为：
f(t)
h() lim h(t) --稳态值； t
⒌ 调节时间或过渡过程时间 ts ：
指响应曲线中，h(t)进入稳态值附近5%h()或2%h()误差
带，而不再超出的最小时间。即当t ts ，有：
| h(t) h() | % h(), 2或5
22
6. 稳态误差ess：
h
hmax
指响应的稳态值与期望值之 h() 差。即，当时间t趋于无穷时，
• 在典型信号作用下的响应，往往可以作为分析系统在 复杂信号作用下的依据；
• 便于进行系统辨识，确定未知环节的参数和传递函数。 • 四种典型外作用：
✓ 单位阶跃作用 ✓ 单位斜坡作用 ✓ 单位脉冲作用 ✓ 正弦作用
9
①单位阶跃函数1(t)
其数学表达式为：
f(t)
f
(
t
)
1(
t
)
1
0
t 0 t<0
⒊ 峰值时间 t p ：
h(t)曲线超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间。
21
h
hmax
4. 超调量％
h( )
在响应过程中,超出稳态值的
最大偏离量与稳态值之比。
h( ) 2
% h(t p ) h() 100 %
h()
0
td tr tp
0.05 h()
或
0.02 h( )
t ts
式中：h(t p ) --单位阶跃响应的峰值hmax；
6
二、典型初始状态，典型外作用
•系统的时间响应，不仅取决于该系统本身的结构、 参数，还与系统的初始状态以及加在系统上的外作 用有关； •各种控制系统的初始状态不同，输入信号和干扰 也不相同，甚至是事先未知的； •为了便于分析和比较，需要对外作用和初始状态 做一些典型化处理。
7
二、典型初始状态，典型外作用
2
基本要求
1 熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响 应的特点。熟练计算性能指标和结构参数， 特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性 能的计算方法。
2 了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。
3 正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳 定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数 计算、分析。
3
基本要求 4 正确理解稳态误差的概念，明确终值定理 的应用条件。 5 熟练掌握计算稳态误差的方法。 6 掌握系统的型次和静态误差系数的概念。
计算误差值
rxi (t) = t
ess = T
e(t) r(t) h(t)
hxo(t)
=
t-T
+Te-
1 T
t
1t
t [t T Te T ]
1
t
O
t
T (1 e T )
当t时，e()=T
当输入为单位斜坡函数时, 一阶系 统存在稳态误差T 。
32
一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲输入为 r(t) d (t) R(s) 1
输出为
hxo(t)
1
1
C(s)
(s)R(s)
s
T
1
T
T
xho(t)
=
1 T
e-
1 T
t
单位脉冲响应为
0
t
h(t)
1
1t
eT
(t 0)
T
一阶系统的单位脉冲响应只包含瞬态分量，随着时间增长，
响应曲线逐渐衰减到0
33
三种典型输入信号及响应关系
输入
r(t) t
r(t) 1(t) r(t) d (t)
28
单位阶跃响应曲线
初始斜率：
dh(t) dt |t0
1 T
29
性能指标
1. 平稳性：
非周期、无振荡， ＝0
2.准确性 ess： ess 1 h() 11 0
3. 快速性ts：
t 3T时，c(t) 0.95 [对应5%误差带] t 4T时，c(t) 0.98 [对应2%误差带]
•T越小，调节时间ts就越小，响应曲线就越快达 到稳位斜坡输入为 输出为
r(t) t
1 R(s)
s2
1 1 1T T
C(s) (s)R(s)
Ts 1 s2 s2 s s 1
T
单位斜坡响应为
1t
h(t) t T Te T (t 0)
31
xho(t)
•单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物 理现象经数学抽象化的结果。
•脉冲电信号、冲击力、阵风或大气湍流
12
④正弦函数
f(t)
其数学表达式为：
f
(t
)
Asinωt•1(t)
Asin
ωt
0
t0 t<0
其拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) sin ω t
0
est dt
s2
ω ω2
18
四、阶跃响应的性能指标
• 控制系统的时间响应从时间顺序上,可分为过渡过程和稳 态过程 •过渡过程：系统在某一典型信号输入作用下，系统从初始 状态到接近最终状态的相应过程,也称动态响应或暂态(瞬态) 响应。 •稳态过程：系统在某一典型信号输入的作用下，当时间 趋于无穷大时的输出状态，也称为稳态响应、静态响应。
第3章 时域分析法
•一旦建立起合理的便于分析的控制系统数学模型， 就可以运用适当的方法对系统性能进行分析与计算 •线性定常系统常用的工程方法：
时域分析法、根轨迹法和频域法 •后两种分析方法是以时域分析法为基础的，且应用 了时域分析法的很多结论。
1
主要内容
• 时域分析基础
• 一、二阶系统分析与计算
• 系统稳定性分析 • 稳态误差分析计算
t
20
h
hmax
⒈ 延迟时间 td ：
单位阶跃响应曲线h(t) 上升到稳态值的50%所 需的时间。
⒉ 上升时间 tr ：
h( )
h( ) 2
0
td tr tp
0.05 h()
或
0.02 h( )
t ts
单位阶跃响应曲线h(t) 由稳态值的10%上升到稳态值的
90%所需的时间（也有指从零上升到稳态之所需的时间）。
1. 典型初始状态 规定控制系统的初始状态为零状态，即在 t 0 时
c(0 ) c(0 ) c(0 ) 0
即在外作用加于系统（t=0）之前，系统是相对静 止的，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增 量为零。
8
2. 典型外作用
选择典型外作用，有如下优点:
• 数学处理简单，在给定典型信号作用下，易确定系统 的性能指标， 便于系统分析和设计；
动态结构图： R(s)
C(s)
1/Ts
传递函数： C(s) 1/ Ts 1
R(s) 11/ Ts Ts 1
•时间常数T是表征系统惯性的一个主要参数，T越小系统 响应越快，故一阶系统也称惯性环节；
•不同系统的T具有不同的物理意义，但其量纲总是
26
➢一阶系统单位阶跃响应
单位阶跃输入：
r(t ) 1(t ) R(s) 1
s
输出：
C(s) (s) R(s) 1 1 Ts 1 s
h(t) C(t) L1[ 1 • 1] L1[1 1 ]
Ts 1 s
s s 1/T
t
1 e T 27
t
h(t) 1 e T
h(t) css ctt
css 1 ：稳态分量
ctt
t
e T
：瞬态分量
当时间t趋于无穷时，ctt衰减为零。因此， 一阶系统的单位阶跃响应为一条由零开 始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线
若系统的闭环传函为 (s)， 则h(t)的拉氏变换为
H (s) (s) R(s) (s) 1 s
(3 1)
故 h(t) L1 H(s)
15
2. 单位斜坡响应
定义：系统在单位斜坡输入[r(t)=t·1(t)]作用下的响
应，常用ct (t)表示。
则有
Ct
(s)
(s)
R(s)
(
s)
1 s2
(3 2)
C
vo
假设零初始条件，拉氏变换：
vi vo iR i C dvo
dt
Vi (s) Vo (s) RCsVo Vi (s) Vo (1 RCs)
Vo (s) 1 1 Vi (s) RCs 1 Ts 1
T RC
25
➢一阶系统数学模型
微分方程：
T dc(t) c(t) r(t) dt
17
4.三种响应之间的关系
H (s) (s) 1 s
Ct
(s)
(
s)
1 s2
K(s) (s)
H (s) (s) 1 K(s) 1
s
s
Ct
(s)
(
s)
1 s2
K (s)
1 s2
H(s) 1 s
相应的时域表达式为
t
h(t) 0 k( )d
t
ct (t)
h( )d
0
•根据三者间的关系,可由其中任何一种响应得到另外两种
h(t) 1 (1 et /T ) 1 (1 e100tKH )
系统对于输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响 应的积分，积分时间常数则由零输出的初始条件确定。
适用于任何线性定常系统，但不适用于线性时变系统和
非线性系统。
1(t) d [t] dt
h1(t)
dht (t) dt
d (t) d [1(t)]
dt
hd
(t)
dh1 (t ) dt
35
举例说明（一阶系统）
4
3－1 时域分析基础
•时域分析是指在时间域内研究系统在一定输入信
号的作用下，其输出信号随时间的变化情况。 •控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达 式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
5
3－1 时域分析基础
一、时域分析法的特点
•根据系统微分方程，以拉氏变换为数学工具，直 接求出系统的时间响应。 •依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控 制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的 关系。 •由于时域分析是直接在时间域中对系统进行分析 的方法，所以时域分析具有直观和准确的优点。