九年级数学下册第二十七章相似位似导学案新人教版

位似
一、【自主学习】
1.什么是相似图形？
2.相似图形有哪些性质？
3．图形的变换有哪些形式
学习课本47---48页的内容，填空：1、概念：（1）位似图形定义：两个多边形不仅，而且的连线相交
于一点，像这样的两个图形叫做。

（位似变换是一种特殊的相似变换，位似是一种具有特殊位置关系的相似，所以位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形）
（2）位似中心：。

2、位似图形的性质：
（1）两个位似的图形上任意一对对应点到位似中心距离之比等于
_____________，
（2）位似图形对应点连线或延长线
二、【合作探究】
1.下列图形中位似中心在图形上的是( )
D.
C.
B.
A.
2.下列说法中正确的是( )
A、位似图形可以通过平移而相互得到
B、位似图形的对应边平行且相等
C、位似图形的位似中心不只有一个 D.位似中心到对应点的距离
科目数
学
班级学生姓名
课题 27.3 位似1 课型新授
课时 1 主备教
师
高俊强范俊姣备课组长杨理
学习目标 1、了解位似图形、位似中心的概念。

2、了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质
3掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或
缩小
学习重
点
位似图形的有关概念、性质与作图
学习难
点
利用位似将一个图形放大或缩小
1
2
O
C'B'
A'
C
B A 之比都相等
3. 如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，
若:2:3AB FG =，则下列结论正确的是( ) A.23DE MN = B.32DE MN =
C.32A F =∠∠
D.23A F =∠∠
三、【展示交流】
以点A 为位似中心，把图中的四边形ABCD 放大到原来的2倍。

四、[随堂检测]
1、按如下方法将ABC ∆的三边缩小为原来的
1
2
,如图所示，任取一点O ，连AO ，BO ，CO ，并取 它们的中点D ，E ，F ，得DEF ∆，则下列说法中正确的个数是( )
①ABC ∆与DEF ∆是位似图形；②ABC ∆与DEF ∆是相似图形； ③ABC ∆与DEF ∆的周长的比为2∶1; ④ABC ∆与DEF ∆面积比为4∶1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、如图，五边形ABCDE 与五边形'''''A B C D E 是位似图形，点O 为位似中心，12
'OD OD =，则''A B :AB =___________.
1题图 2题图 3、如图，五边形ABCDE 与五边形'''''A B C D E 是位似图形，且相似比为2，若五边形ABCDE 的面积为17 cm 2
， 周长为20 cm ，那么五边形'''''A B C D E 的面积为________，周长为________.
4、如图，''A B ∥AB ，''B C ∥BC ，且'OA ∶'A A =4∶3，则ABC ∆与
________是位似
图形，相似比为________；OAB ∆与________是位似图形，相似比为________.
G F
N
M
H
D
C
B
A F
E
D C
B
A
O E'
D'
C'B'
A'
E
D
C
B
A O
E'
D'
C'B'
A'E
D
C
B
A
3题图 4题图
3
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）
A．30°B．40°C．50°
D．60°
【答案】C
【解析】试题分析：∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB=65°.
∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴∠BAE=∠CAD，AC=AD. ∴∠ADC=∠DCA="65°." ∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣
∠DCA="50°." ∴∠BAE=50°．
故选C．
考点：1.面动旋转问题； 2. 平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质．
2．如图1是2019年4月份的日历，现用一长方形在日历表中任意框出4个数(如图2)，下列表示a，b，c，d之间关系的式子中不正确的是( )
A．a﹣d＝b﹣c B．a+c+2＝b+d C．a+b+14＝c+d
D．a+d＝b+c
4
【答案】A
【解析】观察日历中的数据，用含a的代数式表示出b，c，d的值，再将其逐一代入四个选项中，即可得出结论．
【详解】解：依题意，得：b＝a+1，c＝a+7，d＝a+1．
A、∵a﹣d＝a﹣(a+1)＝﹣1，b﹣c＝a+1﹣(a+7)＝﹣6，
∴a﹣d≠b﹣c，选项A符合题意；
B、∵a+c+2＝a+(a+7)+2＝2a+9，b+d＝a+1+(a+1)＝2a+9，
∴a+c+2＝b+d，选项B不符合题意；
C、∵a+b+14＝a+(a+1)+14＝2a+15，c+d＝a+7+(a+1)＝2a+15，∴a+b+14＝c+d，选项C不符合题意；
D、∵a+d＝a+(a+1)＝2a+1，b+c＝a+1+(a+7)＝2a+1，
∴a+d＝b+c，选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】考查了列代数式，利用含a的代数式表示出b，c，d是解题的关键．
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①4a+2b＜0；②﹣1≤a≤
2
3
；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c ＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a，进而可得出
4a+2b=0，结论①错误；
②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a可得出a=-
3
c
，
5
6
再结合抛物线与y 轴交点的位置即可得出-1≤a≤-2
3
，结论②正确；
③由抛物线的顶点坐标及a ＜0，可得出n=a+b+c ，且n≥ax 2+bx+c ，进而可得出对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立，结论③正确； ④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n 只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n-1有两个交点，进而可得出关于x 的方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．
【详解】：①∵抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1，n ）， ∴-2b
a
=1， ∴b=-2a ，
∴4a+2b=0，结论①错误；
②∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1，0）， ∴a -b+c=3a+c=0，
∴a=-3
c ．
又∵抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3， ∴-1≤a≤-2
3
，结论②正确； ③∵a＜0，顶点坐标为（1，n ）， ∴n=a+b+c，且n≥ax 2+bx+c ，
∴对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立，结论③正确；
④∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，又∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
4．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（）A．参加本次植树活动共有30人B．每人植树量的众数是4棵
C．每人植树量的中位数是5棵D．每人植树量的平均数是5棵
【答案】D
【解析】试题解析：A、∵4+10+8+6+2=30（人），
∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；
B、∵10＞8＞6＞4＞2，
∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；
7
8
C 、∵共有30个数，第15、16个数为5， ∴每人植树量的中位数是5棵，结论C 正确；
D 、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵）， ∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D 不正确． 故选D ．
考点：1.条形统计图；2.加权平均数；3.中位数；4.众数． 5．如果1∠与2∠互补，2∠与3∠互余，则1∠与3∠的关系是（ ） A ．13∠=∠ B ．11803∠=-∠ C ．1903∠=+∠ D ．以上都不对
【答案】C
【解析】根据∠1与∠2互补，∠2与∠1互余，先把∠1、∠1都用∠2来表示，再进行运算． 【详解】∵∠1+∠2=180°
∴∠1=180°-∠2 又∵∠2+∠1=90° ∴∠1=90°-∠2
∴∠1-∠1=90°，即∠1=90°+∠1． 故选C ． 【点睛】
此题主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．
6．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
A ．30°
B ．25°
C ．20°
D ．15°
【答案】B
【解析】根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，
7．为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D
【解析】根据方差反映数据的波动情况即可解答.
【详解】由于方差反映数据的波动情况，所以比较两人成绩稳定程度的数据是方差．
故选D．
【点睛】本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
8．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m ＞1
【答案】B
【解析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出△=4-4m＞0，解之即可得出结论．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-2）2-4m=4-4m＞0，
9
解得：m＜1．
故选B．
【点睛】
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．
9．cos30°=（）
A．1
2
B ．
2
2
C．
3
2
D．3
【答案】C
【解析】直接根据特殊角的锐角三角函数值求解即可.
【详解】
3 cos30
2
︒=
故选C. 【点睛】考点：特殊角的锐角三角函数
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成.
10．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（）
A．115°B．120°C．130°
D．140°
【答案】A
10
【解析】解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD 边上的点A′处，点B落在点B′处，∴∠BFE=∠EFB'，
∠B'=∠B=90°．∵∠2=40°，∴∠CFB'=50°，∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，即∠1+∠1﹣50°=180°，解得：∠1=115°，故选A．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如果关于x的方程x2+2ax﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a与b互为倒数，那么a+b=_____．
【答案】±1．
【解析】根据根的判别式求出△=0，求出a1+b1=1，根据完全平方公式求出即可．
【详解】解：∵关于x的方程x1+1ax-b1+1=0有两个相等的实数根，
∴△=（1a）1-4×1×（-b1+1）=0，即a1+b1=1，
∵常数a与b互为倒数，
∴ab=1，
∴（a+b）1=a1+b1+1ab=1+3×1=4，
∴a+b=±1，
故答案为±1．
【点睛】
本题考查了根的判别式和解高次方程，能得出等式a1+b1=1和ab=1是解此题的关键．
12．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是
11
【答案】4
【解析】当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC长即可．
【详解】
当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，
∵CD∥AB，CP⊥CD，
∴CP⊥AB，
∵M为CD中点，OM过O，
∴OM⊥CD，∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，
∴四边形CPOM是矩形，
∴PM=OC，
∵⊙O直径AB=8，
∴半径OC=4，
即PM=4.
【点睛】
本题考查矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质，此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.
13．分解因式：3x2-6x+3=__．
【答案】3(x-1)2
【解析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
12
13
【详解】()()2
22
36332131x x x x x -+=-+=-.
故答案是：3(x-1)2. 【点睛】
考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 14．分解因式：3m 2
﹣6mn+3n 2
＝_____． 【答案】3（m-n ）2
【解析】原式=2232)m mn n -+（=2
3()m n - 故填：2
3()m n -
15．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是 ． 【答案】10%．
【解析】设平均每次降价的百分率为x ，那么第一次降价后的售价是原来的()1x -，那么第二次降价后的售价是原来的()2
1x -，
根据题意列方程解答即可.
【详解】设平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得，
()2
100181x ⨯-=，
解得10.110%x ==，2 1.9x =（不符合题意，舍去）， 答：这个百分率是10%. 故答案为10%. 【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法.若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为()2
1a x b ±=.
16．如果抛物线y=（m ﹣1）x 2的开口向上，那么m 的取值范围是__．
【答案】m＞2
【解析】试题分析：根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m﹣2＞2．
解：因为抛物线y=（m﹣2）x2的开口向上，
所以m﹣2＞2，即m＞2，故m的取值范围是m＞2．
考点：二次函数的性质．
17．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，
∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽
AB=______m．
【答案】1 【解析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．
【详解】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴
AB BD
EC CD
=，
即
BD EC
AB
CD
⨯
=，
解得：AB=
12050
60
⨯
=1（米）．
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
18．甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s （km）与时间t（h）的关系如图所示，那么乙的速度是__km/h．
14
【答案】3.6
【解析】分析：根据题意，甲的速度为6km/h，乙出发后2.5小时两人相遇，可以用方程思想解决问题．
详解：由题意，甲速度为6km/h．当甲开始运动时相距36km，两小时后，乙开始运动，经过2.5小时两人相遇．
设乙的速度为xkm/h
4.5×6+2.5x=36
解得x=3.6
故答案为3.6 点睛：本题为一次函数实际应用问题，考查一次函数图象在实际背景下所代表的意义．解答这类问题时，也可以通过构造方程解决问题．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．平均分（分）中位数（分）众数（分）方差（分2）初中
部
a 85
b s
初中
2
高中
部
85 c 100 160
15
（1）根据图示计算出a、b、c的值；结合两队成绩的平均数和
中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？计算初中代表队决赛
成绩的方差s
初中
2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【答案】（1）85,85,80; （2）初中部决赛成绩较好；（3）初中代表队选手成绩比较稳定．
【解析】分析:（1）根据成绩表，结合平均数、众数、中位数的计算方法进行解答；
（2）比较初中部、高中部的平均数和中位数，结合比较结果得出结论；（3）利用方差的计算公式，求出初中部的方差，结合方差的意义判断哪个代表队选手的成绩较为稳定.
【详解】详解: （1）初中5名选手的平均分
75808585100
a85
5
++++
==，众数b=85，
高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c=80；（2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，
故初中部决赛成绩较好；
（3）
22222 2
++++
=
5
S
初中
（75-85）（80-85）（85-85）（85-85）（100-85）=70，
∵22
S S
初中高中
＜，
∴初中代表队选手成绩比较稳定．
16
【点睛】
本题是一道有关条形统计图、平均数、众数、中位数、方差的统计类题目，掌握平均数、众数、中位数、方差的概念及计算方法是解题的关键.
20．如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝DC．求证：BC＝EF．
【答案】证明见解析.
【解析】想证明BC=EF，可利用AAS证明△ABC≌△DEF即可．【详解】解：∵AF＝DC，
∴AF+FC＝FC+CD，
∴AC＝FD，
在△ABC 和△DEF 中，
A D
B E
AC DF
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ABC≌△DEF（AAS）
∴BC＝EF．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：
本数(本) 频数(人数) 频率
17
5 a0.2
6 18 0.36
7 14 b
8 8 0.16
合计c 1
(1)统计表中的a=________，b=________，c=________；请将频数分布表直方图补充完整；求所有被调查学生课外阅读的平均本数；若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数. 【答案】（1）10，0.28，50（2）图形见解析（3）6.4（4）528 【解析】分析：（1）首先求出总人数，再根据频率，总数，频数的关系即可解决问题；
（2）根据a的值画出条形图即可；
（3）根据平均数的定义计算即可；
（4）用样本估计总体的思想解决问题即可；
详解：（1）由题意c=
18
0.36
=50，
a=50×0.2=10，b=
14
50
=0.28，c=50；
故答案为10，0.28，50；
18
（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：
（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：
（5×10+6×18+7×14+8×8）÷50=320÷50=6.4（本）．
（4）该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数为：
（0.28+0.16）×1200=528（人）．
点睛：本题考查频数分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
【答案】（1）35元/盒；（2）20%．
【解析】试题分析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
19
20
试题解析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x 元/盒，则2016
年这种礼盒的进价为（x ﹣11）元/盒，根据题意得：35002400
11
x x =-，解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解．
答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．
（2）设年增长率为m ，2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）． 根据题意得：（60﹣35）×100（1+a ）2=（60﹣35+11）×100，解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：年增长率为20%．
考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用；增长率问题． 23．如图，河的两岸MN 与PQ 相互平行，点A ，B 是PQ 上的两点，C 是MN 上的点，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向前进20米到达点B ，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向
前进20米到达点B ，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.414，3≈1.732）
【答案】17.3米.
【解析】分析：过点C 作CD PQ ⊥于D ，根据
3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，，得到30,ACB ∠=︒ 20AB BC ==，在
Rt △CDB 中，解三角形即可得到河的宽度.
详解：过点C 作CD PQ ⊥于D ，
∵3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，
21
∴30,ACB ∠=︒ ∴20AB BC ==米， 在Rt △CDB 中，
∵90BDC ，∠=︒ sin ,CD
CBD BC
∠=
∴sin60,CD
BC
︒=
∴
,20
CD =
∴CD = ∴17.3CD ≈米．
答：这条河的宽是17.3米．
点睛：考查解直角三角形的应用，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键. 24．列方程解应用题：
某市今年进行水网升级，1月1日起调整居民用水价格，每立方
米水费上涨1
3
，小丽家去年12月的水费是15元，而今年5月的
水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m 3，求该市今年居民用水的价格． 【答案】2.4元/米3
【解析】利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m 3，进而得出等式即可． 【详解】解：设去年用水的价格每立方米x 元，则今年用水价格为每立方米1.2x 元 由题意列方程得：
3015
51.2x x
-= 解得x 2=
经检验，x 2=是原方程的解
1.2x
2.4=(元/立方米)
答：今年居民用水的价格为每立方米2.4元．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出用水量是解题关键．
25．某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．求A市投资“改水工程”的年平均增长率；从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？【答案】 (1) 40%;(2) 2616.
【解析】（1）设A市投资“改水工程”的年平均增长率是x．根据：2008年，A市投入600万元用于“改水工程”，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元，列方程求解；（2）根据（1）中求得的增长率，分别求得2009年和2010年的投资，最后求和即可．
【详解】解：（1）设A市投资“改水工程”年平均增长率是x，则
2
600(1)1176
x
+=．解之，得0.4
x=或 2.4
x=-（不合题意，舍去）．所以，A市投资“改水工程”年平均增长率为40%．
（2）600＋600×1.4＋1176＝2616（万元）．
A市三年共投资“改水工程”2616万元．
26．如图，抛物线y＝
1
2
x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B （4，0）与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x 轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1，交抛物线与点Q．求抛物线的解析式；当点P在线段OB上运动时，直线1交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD
22
23
是平行四边形；在点P 运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点
Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】 (1) 213
222
y x x =
--;(2) 当m ＝2时，四边形CQMD 为平行四边形;(3) Q 1（8，18）、Q 2（﹣1，0）、Q 3（3，﹣2） 【解析】（1）直接将A （-1，0），B （4，0）代入抛物线y=12
x 2
+bx+c 方程即可；
（2）由（1）中的解析式得出点C 的坐标C （0，-2），从而得出
点D （0，2），求出直线BD ：y ＝−12x+2，设点M(m ，−1
2
m+2)，
Q(m ，
12m 2−32m −2)，可得MQ=−1
2
m 2+m+4，根据平行四边形的性质可得QM=CD=4，即−12
m 2
+m+4＝4可解得m=2；
（3）由Q 是以BD 为直角边的直角三角形，所以分两种情况讨论，
①当∠BDQ=90°时，则BD 2+DQ 2=BQ 2，列出方程可以求出Q 1（8，18），Q 2（-1，0），②当∠DBQ=90°时，则BD 2+BQ 2=DQ 2，列出方程可以求出Q 3（3，-2）．
【详解】（1）由题意知，
∵点A （﹣1，0），B （4，0）在抛物线y ＝
12
x 2
+bx+c 上， ∴21
0214402
b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩解得：322b c ⎧=-⎪⎨
⎪=-⎩ ∴所求抛物线的解析式为 213
222
y x x =
--
24
（2）由（1）知抛物线的解析式为213
222
y x x =--，令x ＝0，得y ＝﹣2
∴点C 的坐标为C （0，﹣2） ∵点D 与点C 关于x 轴对称 ∴点D 的坐标为D （0，2）
设直线BD 的解析式为：y ＝kx+2且B （4，0）
∴0＝4k+2，解得：1
k 2
=-
∴直线BD 的解析式为：1
22
y x =
+ ∵点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线1，交BD 于点M ，交抛物线与点Q
∴可设点M 1m,22m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Q 213,222m m m ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
∴MQ＝2
142
m m -++ ∵四边形CQMD 是平行四边形
∴QM＝CD ＝4，即2
142
m m -++=4
解得：m 1＝2，m 2＝0（舍去）
∴当m ＝2时，四边形CQMD 为平行四边形
（3）由题意，可设点Q 213,222m m m ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
且B （4，0）、D （0，
2）
∴BQ 2
＝2
2
213(4)222m m m ⎛⎫
-+-- ⎪⎝⎭
DQ 2
＝2
2213422m m m ⎛⎫
+-- ⎪⎝⎭
BD 2＝20
①当∠BDQ＝90°时，则BD 2+DQ 2＝BQ 2，
∴22
22221313204(4)22222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫
++--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得：m 1＝8，m 2＝﹣1，此时Q 1（8，18），Q 2（﹣1，0）
25
②当∠DBQ＝90°时，则BD 2+BQ 2＝DQ 2，
∴22
2
222131320(4)242222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫
+-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得：m 3＝3，m 4＝4，（舍去）此时Q 3（3，﹣2）
∴满足条件的点Q 的坐标有三个，分别为：Q 1（8，18）、Q 2（﹣1，0）、Q 3（3，﹣2）． 【点睛】
此题考查了待定系数法求解析式，还考查了平行四边形及直角三角形的定义，要注意第3问分两种情形求解．
26
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为( )
A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B
【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10. 故选B. 点睛：此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段，根据等量代换可求解.
2．已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为（）
A．100cm B10cm C．10cm
D．
10
10
cm
【答案】C
【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式可求得圆锥的母线长．
【详解】设母线长为R，则
圆锥的侧面积=
2
36
360
R
=10π，
∴R=10cm，
27
故选C．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，熟练掌握扇形面积是解题的关键. 3．如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）
A．30°B．40°C．50°
D．60°
【答案】C
【解析】试题分析：∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB=65°.
∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴∠BAE=∠CAD，AC=AD. ∴∠ADC=∠DCA="65°." ∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣
∠DCA="50°." ∴∠BAE=50°．
故选C．
考点：1.面动旋转问题； 2. 平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质．
4．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）
A．
6060
30
(125%)
x x
-=
+
B．
6060
30
(125%)x x
-=
+
28
29
C ．60(125%)60
30
x x
⨯+-=
D ．
6060(125%)30x x ⨯+-= 【答案】C
【解析】分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．
详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为
125%
x
+万平方米，
依题意得：6060
30
125%x x
-=+，即()60125%6030x x
⨯+-=． 故选C ．
点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
5．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是( ) A ．平均数 B ．中位数
C ．众数
D ．方
差 【答案】D
【解析】解：A ．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A 与要求不符；
B ．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B 与要求不符；
C ．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C 与要求不符；
D．原来数据的方差=
222 (12)2(22)(32)
4
-+⨯-+-
=
1
2
，
添加数字2后的方差=
222 (12)3(22)(32)
5
-+⨯-+-
=
2
5
，
故方差发生了变化．故选D．
6．在六张卡片上分别写有1
3
，π，1.5，5，0
中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（）
A．1
6
B．
1
3
C．
1
2
D．
5
6
【答案】B
【解析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.
【详解】∵这组数中无理数有π
2个，
∴卡片上的数为无理数的概率是21
=
63
.
故选B.
【点睛】
本题考查了无理数的定义及概率的计算.
7．下列二次根式中，最简二次根式的是（）
A
．B
C
D
【答案】C
30
【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】A、1
5
=5
5
，被开方数含分母，不是最简二次根式；故
A选项错误；
B 、0.5=
2
2
，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项
错误；
C、5，是最简二次根式；故C选项正确；
D．50=52，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项错误；
故选C．
考点：最简二次根式．
8．下列交通标志是中心对称图形的为（）A．B．C．
D．
【答案】C
【解析】根据中心对称图形的定义即可解答．
【详解】解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；
B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；
C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；
D、不是中心对称的图形，不合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．
31
9．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y
1
=kx+b（k、b是
常数，且k≠0）与反比例函数y
2=
c
x
（c是常数，且c≠0）的图
象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y
1＞y
2
的解
集是（）
A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2
D．0＜x＜2
【答案】C
【解析】一次函数y
1=kx+b落在与反比例函数y
2
=
c
x
图象上方的部
分对应的自变量的取值范围即为所求．
【详解】∵一次函数y
1
=kx+b（k、b是常数，且k≠0）
与反比例函数y
2
=
c
x
（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，
∴不等式y
1
＞y
2
的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
10．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝
k
x
在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是( )
32。