湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第三章 函数与基本初等函数 第四节 幂函数与二次函数

求二次函数解析式,一般运用待定系数法,选择规律如下:
考点三
二次函数的图象与性质(多考向探究预测)
考向1二次函数的图象
例题(多选)(2023·湖南岳阳高三检测)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图
象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为直线x=1,点B坐标为(-1,0),
则下列结论正确的是(
= 7.
= 8,
4
故 f(x)=-4x2+4x+7.
(方法 2 利用二次函数的顶点式)设 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
2+(-1)
因为 f(2)=f(-1),所以二次函数 f(x)图象的对称轴为直线 x= 2
又根据题意函数有最大值 8,所以 n=8,
所以 y=f(x)=a
1 2
x- +8.
( 1 )-( 2 )
x1≠x2,都有 - >1,不妨令 x1>x2,则
1 2
( 1 )-( 2 )
2
>1⇔f(x
1)-x1>f(x2)-x2,令 g(x)=f(x)-x=ax -2x+1,则函数 g(x)在[1,+∞)上
所以a<0,且f(x)max=f(-1)=-a=8,所以a=-8,
所以f(x)=-8x(x+2)=-8x2-16x.
引申探究2将本例中条件变为二次函数f(x)的图象经过点(4,3),在x轴上截得
的线段长为2,且∀x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),试确定f(x)的解析式.
解 因为f(2+x)=f(2-x)对任意的x∈R恒成立,所以f(x)的对称轴为直线x=2.
(
)
(
)
2
3
4.在区间(0,1)上,函数 y= 的图象在直线 y=x 的上方.
题组二 双基自测
5.已知幂函数 f(x)的图象经过点 2,
答案
2
2
,则 f(4)的值为
1
2
解析 ∵幂函数 f(x)=xα 的图象过点 2,
2
= ,解得
2
∴f(2)=2
α
1
1
α=- ,∴f(x)= 2 ,故
2
2
2
,
1
f(4)= .
4(-2-1)-2
又因为函数f(x)的最大值为8,所以a<0,且
=8,解得a=-4.故
4
f(x)=-4x2+4x+7.
引申探究1将本例中的“f(2)=-1,f(-1)=-1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0,0)
和(-2,0)”,其他条件不变,试确定f(x)的解析式.
解 设f(x)=ax(x+2)(a≠0).因为函数f(x)的最大值为8,
2
又因为 f(2)=-1,所 a
所以 f(x)=-4
1 2
2- +8=-1,解得
2
1 2
x- +8=-4x2+4x+7.
2
a=-4,
=
1
1
,所以 m=2.
2
(方法3 利用二次函数的零点式)由已知得f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.
)
答案 D
解析 由a>b>c且a+b+c=0,得a>0,c<0,所以函数图象开口向上,排除选项
A,C.又因为f(0)=c<0,排除选项B,故选D.
考向2二次函数的单调性
例题若函数f(x)=ax2+2x-1在区间(-∞,6)上单调递增,则实数a的取值范围是
(
A.
)
1
- ,0
6
B.
1
- ,0
6
C.
1
- ,+∞
例题已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求二次函数
f(x)的解析式.
解 (方法 1 利用二次函数的一般式)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意得
4 + 2 + = -1,
= -4,
- + = -1,
解得 = 4,
4 - 2
2
,即区间 A 一定在函数图象的对称轴的左侧(右
对点训练已知函数 f(x)=ax2-x+1(a≠0),若对任意的 x1,x2∈[1,+∞)且 x1≠x2,都有
( 1 )-( 2 )
>1,则实数
1 - 2
a 的取值范围是
.
答案 [1,+∞)
解析 因为对任意的 x1,x2∈[1,+∞)且
第三章
第四节 幂函数与二次函数
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
1
1.通过具体实例,结合 y=x,y=x ,y=x2,y=
课标解读
x,y=x3 的图象,理解它们
的变化规律,了解幂函数.
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、
最值等).
强基础 固本增分
1.幂函数的概念
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当b=0时,f(x)为偶函数,当b≠0时,f(x)既不是
奇函数也不是偶函数.
常用结论


1.一般地,对于幂函数 f(x)= (m∈Z,n∈ N+,m与n互质),当m为偶数时,f(x)
为偶函数;当m,n均为奇数时,f(x)为奇函数;当n为偶数时,f(x)为非奇非偶函
此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意,即幂函数f(x)=x3,则f(3)=27.
(2)对于幂函数 y=
1
3
-
1
,因为- <0,所以
3
1
3
-
y= 的图象在第一象限内单调递减.根
据幂函数的性质可知:在直线 x=1 的左侧,幂函数的指数越大,图象越接近 y
1
轴,因为- >-1,所以
3
6
D.
1
- ,1
6
答案 A
解析 当 a=0 时,函数 f(x)=2x-1 在 R 上单调递增,所以 f(x)在(-∞,6)上单调递增,
故 a=0 符合题意;当 a≠0 时,函数 f(x)是二次函数,又 f(x)在(-∞,6)上单调递增,
1
-
≥ 6,
1
由二次函数的性质知
解得-6≤a<0.综上,实数 a 的取值范围是

上单调递增 在 -2 ,+∞ 上单调递减

4 - 2
①对称轴:直线 x=-2 ;②顶点:(-2 , 4 )
微点拨 1.二次函数解析式的三种基本形式
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:若函数的顶点坐标为(h,k),则y=a(x-h)2+k(a≠0);
(3)零点式:若函数的两个零点为x1,x2,则y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为x1=1和x2=3.
设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).
又f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,
所以a=1.
所以f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.
规律方法 求二次函数解析式的方法
的图象在第一象限中经过的“卦限”是(
A.Ⅳ,Ⅶ
B.Ⅳ,Ⅷ
C.Ⅲ,Ⅷ
)
D.Ⅲ,Ⅶ
1
2
1
2
(3)若( + 1) < (3-2) ,则实数 a 的取值范围是
.
答案 (1)A (2)B (3)
2
-1,
3
解析 (1)由题意,令m2+m-5=1,即m2+m-6=0,解得m=2或m=-3.当m=2时,可得
f(x)=x3,此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,符合题意;当m=-3时,可得f(x)=x-2,
取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调
性进行比较.


对点训练如图所示是函数 y= (m,n∈N+且互质)的图象,则(

A.m,n 是奇数,且 <1


B.m 是偶数,n 是奇数,且 >1


C.m 是偶数,n 是奇数,且 <1
1
2
(3)易知函数 y= 的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数,所以
+ 1 ≥ 0,
2
3-2 ≥ 0,
解得-1≤a<3.
+ 1 < 3-2,
规律方法 1.对于幂函数y=xα图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分
第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x所分区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的
考点一 幂函数的图象与性质
2 +2 -5
2
例题(1)(2023·山东德州高二期末)幂函数 f(x)=(m +m-5)
在区间
(0,+∞)上单调递增,则f(3)=(
A.27
B.9
)
1
C.
9
1
D.
27
(2)(2023·广西柳州模拟)幂函数y=x-1及直线y=x,y=1,x=1将直角坐标系第一
1
象限分成八个“卦限”:Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ(如图所示),那么幂函数 y= 3
注意幂函数与指数函数的区别
一般地,函数
y=xα
叫作(α次)幂函数,其中x是自变量,α是非零实数.
2.常用5个简单幂函数的图象与性质
函数
y=x
定义域
R
值域
R
奇偶性 奇函数
单调
性
y=x2
y=x3
y=x
1
2
y=x-1
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
3.二次函数的图象和性质
f(x)=ax2+bx+c(a≠0) a>0
a<0
图象
定义域
值域
单调性
图象特点
R
4 - 2
[ 4 ,+∞)

在 -∞,-2

在 -2 ,+∞
4 - 2
(-∞, 4 ]

上单调递减, 在 -∞,-2 上单调递增,
< 0,
1
- ,0
6
.
规律方法 解决二次函数单调性问题的基本方法
(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研究二次函数的单
调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.
(2)若已知 f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间 A 上单调递减(单调递增),则
A⊆
侧).

-∞,2
A⊆

- ,+∞
数.
2.二次函数在闭区间上的最值
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),x∈[m,n],

(1)当-2 ≤m 时,最小值为
(2)当

m<-2
≤
f(m),最大值为 f(n);
+
时,最小值为
2
+

(3)当 2 <-2 ≤n 时,最小值为

(4)当- >n 时,最小值为
2

f(-2 ),最大值为

D.m,n 是偶数,且 >1
)
答案 C


解析 函数 y= =
n
x m 的图象关于 y 轴对称,故 m 为偶数,n 为奇数,当 x∈
m
n


(0,1)时,y=x 的图象在 y=x 的图象的上方,当 x∈(1,+∞)时,y= 的图象在 y=x

的图象的下方,故 <1.

考点二
求二次函数的解析式
1
3
-
y= 的图象比 y=x-1 的图象更接近 y 轴,所以经过Ⅳ“卦
限”;在直线 x=1 的右侧,幂函数的指数越小图象越接近
1
3
-
1
x 轴,因为-1<- <0,所
3
1
3
-
以 y= 的图象位于 y=x-1 和 y=1 之间,所以经过Ⅷ“卦限”.所以函数 y= 的
图象在第一象限中经过的“卦限”是Ⅳ,Ⅷ.
A.2a+b=0
B.4a-2b+c<0
C.b2-4ac>0
D.当y<0时,x<-1或x>4
)
答案 ABC
解析 因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为直线x=1,所以

x= - =1,得2a+b=0,故A正确;当x=-2时,y=4a-2b+c<0,故B正确;该函数图
2
象与x轴有两个不同的交点,则b2-4ac>0,故C正确;因为二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为直线x=1,点B坐标为(-1,0),所以点A的
坐标为(3,0),所以当y<0时,x<-1或x>3,故D错误.故选ABC.
规律方法 二次函数图象的应用技巧
对点训练已知函数f(x)=ax2+bx+c.若a>b>c且a+b+c=0,则f(x)的图象可能
是(
奇函数
在(-∞,0)上单调
在R上单
在R上单 在[0,+∞)上单 在(-∞,0)和(0,+∞)
递减,在(0,+∞)
调递增
调递增 调递增
上单调递减
上单调递增
函数
y=x
图象
过定点 (1,1)
y=x
2
y=x
3
y=x
1
2
y=x-1
微点拨 1.幂函数在(0,+∞)上都有定义;
2.当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;

f(-2 ),最大值为
f(n),最大值为 f(m).
f(n);
f(m);
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
1
3
1.函数 y=2 是幂函数.
( × )
3
2
2.函数 y= 是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增.
( × )
3.若二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象不经过第一象限,则 a<0.
2
.
6. 已知二次函数的图象过点(-1,4),(0,1), (1,2),求这个二次函数的解析式.