课件2：4.3.2 第1课时 等比数列前n项和公式

2．已知等比数列{an}的首项 a1＝3，公比 q＝2，则 S5 等于( )
A．93
B．－93
C．45
D．－45
解析：S5＝a111－－qq5＝311－－225＝93.故选 A.
答案：A
3．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝1，S6＝9， 则公比 q＝________. 解析：S6－S3＝a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)q3 ＝S3·q3＝1×q3＝8.∴q＝2. 答案：2
用了等比数列的前 n 项和公式 Sn 时，应考虑公比 q 两种情况
＝a111－－qqn，从而漏解致误.
q＝1 或 q≠1，否则容易出错.
本课结束
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于是 S2n＝a1＋a2＋…＋a2n ＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) ＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1) ＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝33n2－1， 从而 S2n－1＝S2n－a2n＝33n2－1－2×3n－1＝32(5×3n－2－1)．
综上所述，Sn＝323253× n2－31n－2，3－n是1，偶n数是. 奇数，
方法归纳
(1)在涉及奇数项和 S 奇与偶数项和 S 偶时，常考虑其差或 比进行简化运算．若项数为 2n，则SS偶 奇＝q(S 奇≠0)；若项 数为 2n＋1，则S奇S－偶 a1＝q(S 偶≠0)． (2)等比数列前 n 项和为 Sn(且 Sn≠0)，则 Sn，S2n－Sn， S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为 qn(q≠－1)．
(3)设 S 偶与 S 奇分别是偶数项的和与奇数项的和．若项数为 2n， 则SS偶奇＝____q____；若项数为 2n＋1，则S奇S－偶a1＝____q____. (4)当 q≠－1 时，连续 m 项的和(如 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…) 仍组成___等__比___数列(公比为____q_m___，m≥2)，注意：这连
方法归纳 由 an＝Sn－Sn－1(n≥2)，进行转化，得到 an＋2＝3an. 由 an＋2＝3an 知{an}是由两个等比数列构成，所以求 Sn 时要分奇数项与偶数项和，并且要注意对 n 是奇 数和偶数时讨论．
跟踪训练 2 若数列{an}的前 n 项和 Sn＝23an＋13， 则 an＝________.
题型三 an 与 Sn 关系的应用 例 4 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1＝1，a2＝2， 且 an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3， (1)证明：an＋2＝3an； (2)求 Sn.
解：(1)证明：由已知，an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3， 因而对任意 n∈N*，n≥2，有 an＋1＝3Sn－1－Sn＋3. 两式相减，得 an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即 an＋2＝3an，n≥2. 又因为 a1＝1，a2＝2，所以 a3＝3S1－S2＋3 ＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1，故对一切 n∈N*，an＋2＝3an. (2)由(1)知，an≠0，所以aan＋n 2＝3， 于是数列{a2n－1}是首项 a1＝1，公比为 3 的等比数列； 数列{a2n}是首项 a2＝2，公比为 3 的等比数列． 因此 a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.
续 m 项的和必须非零才能成立．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)求等比数列{an}的前 n 项和时可直接套用公式 Sn＝a111－－qqn来 求．( × ) (2)若首项为 a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前 n 项和为 Sn＝na.( √ ) (3)若某数列的前 n 项和公式为 Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0 且 q≠1， n∈N*)，则此数列一定是等比数列．( √ ) (4)若 Sn 为等比数列的前 n 项和，则 S3，S6，S9 成等比数列．( × )
变式探究 2 将本例中的“q＝3，S80＝32.”改为“项 数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的 12，又它的首项为12，且中间两项的和为1328”，则等比 数列的项数为________．

解析：设等比数列为{an}，项数为 2n， 一个项数为 2n 的等比数列中，SS偶 奇＝q，则 q＝12， 又 an 和 an＋1 为中间两项，则 an＋an＋1＝1328， 即 a1qn－1＋a1qn＝1328，又 a1＝12，q＝12， ∴12·21n－1＋12·21n＝1238⇒12·21n－1·1＋12＝1238⇒n＝6. ∴项数为 2n＝12，则此等比数列的项数为 12. 答案：12
解得aq1＝＝55，，
a1＝180， 或q＝－56.
从而
Sn＝14×5n＋1－54或
1 Sn＝
080×1－－56n 11
a1＋a1q2＝10， (2)法一：由题意知a1q3＋a1q5＝54，
a1＝8， 解得q＝12，
从而 S5＝a111－－qq5＝321.
法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得 q3＝18， 从而 q＝12，又 a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以 a1＝8，从而 S5＝a111－－qq5＝321.
4.3.2 第1课时 等比数列前n项和公式
【新知初探】 要点一 等比数列的前 n 项和公式
a11－qn 1－q
na1 a1－anq
1－q
要点二 等比数列前 n 项和的性质
(1)当
q＝1
时，SSmn＝____mn____；当
q≠±1
1－qn 时，SSmn ＝__1_－__q_m__.
(2)Sn＋m＝Sm＋____q_m___Sn＝Sn＋____q_n ___Sm.
答案：A
变式探究 1 将本例中“S2＝7，S6＝91”换为“正数等比 数列中 Sn＝2，S3n＝14”，则 S4n＝________. 解析：设 S2n＝x，S4n＝y， 则 2，x－2,14－x，y－14 成等比数列， 所以x1－4－2x2＝2＝2x1－4－2xy，－14， 所以xy＝ ＝630， 或xy＝ ＝－ －44， 0 (舍去)，所以 S4n＝30. 答案：30
例 3 等比数列{an}中，公比 q＝3，S80＝32， 则 a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________.
解析：设 S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80， S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则SS12＝q＝3，即 S1＝3S2. 又 S1＋S2＝S80＝32，∴43S1＝32，解得 S1＝24. 即 a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24. 答案：24
(2)若 q＝1，则 S8＝2S4，不合题意， ∴q≠1，∴S4＝a111－－qq4＝1，S8＝a111－－qq8＝17， 两式相除得11－－qq84＝17＝1＋q4， ∴q＝2 或 q＝－2，∴a1＝115或 a1＝－15，
∴an＝115·2n－1 或－15·(－2)n－1.
题型二 等比数列前 n 项和性质的应用——师生共研
跟踪训练 1 在等比数列{an}中，
(1)若 a1＝ 2，an＝16 2，Sn＝11 2，求 n 和 q；
(2)已知 S4＝1，S8＝17，求 an.
解：(1)由 Sn＝a11－－aqnq得 11
2＝
2－16 1－q
2q，∴q＝－2，
又由 an＝a1qn－1 得 16 2＝ 2(－2)n－1，∴n＝5.
解析：若 q＝1，则 S3＝3a1＝6，符合题意，此时 a3＝a1＝2. 若 q≠1 时，则 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6， 解得 q＝－2，此时 a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上 a3 的值为 2 或 8. 答案：2 或 8
【易错警示】
出错原因
纠错心得
忽略了对公比 q 的讨论，直接使 解答有关等比数列求和问题
【题型探究】 题型一 等比数列前 n 项和的基本运算——师生共研 例 1 在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求 q.
解：(1)由题意知aa1111＋＋qq＋＝q320＝，155，
解析：由 an＝Sn－Sn－1(n≥2)得 an＝－2an－1(n≥2) ∴aan－n1＝－2(n≥2)，又 a1＝1，∴an＝(－2)n－1， 经检验当 n＝1 时，上式也适合，∴an＝(－2)n－1. 答案：(－2)n－1
易错辨析 忽略对公比 q 的讨论致误 例 5 已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，a3＝________.
例 2 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，S2＝7，S6＝91，则 S4 为( )
A．28
B．32
C．21
D．28 或－21
解析：∵{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4 也为等比数列， 即 7，S4－7,91－S4 成等比数列， ∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得 S4＝28 或 S4＝－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28.故选 A.
(3)因为 a2an－1＝a1an＝128， 所以 a1，an 是方程 x2－66x＋128＝0 的两根． 从而aa1n＝＝26，4 或aan1＝＝26，4. 又 Sn＝a11－－aqnq＝126，所以 q 为 2 或12.
方法归纳 (1)在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n，Sn 中，已知其 中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是 方程思想与整体思想在数列中的具体应用． (2)在解决与前 n 项和有关的问题时，首先要对公比 q＝1 或 q≠1 进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．