中考数学复习 方案设计专题

方案设计专题
方案设计问题通常以社会生产和生活为背景，要求通过运用所学知识设计出最科学、最合理的方案. 综合考查了学生的阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力.
一、设计搭配方案
搭配方案问题一般与交通动输，安排车辆，工程施工等问题相联系，解此类问题时，需要将实际问题转化为方程〔组〕，不等式〔组〕的问题，通过寻找题目中的相等〔或不等〕关系求解，确定出符合条件方案．
例1 〔 2022•齐齐哈尔〕母亲节前夕，某淘宝店主从厂家购进A ，B 两种礼盒，A ，B 两种礼盒的单价比为2∶3，单价和为200元．
〔1〕求A ，B 两种礼盒的单价分别是多少元？
〔2〕该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A 种礼盒最多36个，B 种礼盒的数量不超过A 种礼盒数量的2倍，共有几种进货方案？
分析：〔1〕根据“A ，B 两种礼盒的单价比为2∶3，单价和为200元〞，列方程求解即可；〔2〕可利用方程和不等式结合解决这一问题：根据“两种礼盒恰好用去9600元〞列出方程，再利用“A 种礼盒最多36个〞和“B 种礼盒的数量不超过A 种礼盒数量的2倍〞这两个不等关系求出进货方案.
解：〔1〕设A 种礼盒单价为2x 元，B 种礼盒单价为3x 元，依据题意，得
2x+3x=200，解得x=40.
那么2x=80，3x=120.
答：A 种礼盒单价为80元，B 种礼盒单价为120元．
〔2〕设购进A 种礼盒a 个，B 种礼盒b 个，依据题意，得.
9600120b 80a =+，整理得24032=+b a ，即8032+-=a b ， 又因为⎩⎨⎧≤≤a b a 236可得⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤a a a 2803
236，解得3630≤≤a ． 因为a ，b 的值均为整数，所以a 的值为30，33，36.
综上可知，共有三种方案．
评注：此题主要考查了一元一次方程的应用以及一次函数的应用和一元一次不等式的应用，根据题意结合得出正确等量关系是解题关键．
跟踪训练：
1．〔 2022•齐齐哈尔〕为了开展阳光体育活动，某班方案购置毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购置方案有 〔 〕
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
2．某公交公司有A ，B 型两种客车，它们的载客量和租金如下表：
A B
载客量〔人/辆〕 45 30
租金〔元/辆〕 400 280
红星中学根据实际情况，方案租用A ，B 型客车共5辆，同时送七年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A 型客车x 辆，根据要求答复以下问题：
〔1〕用含x 的式子填写下表：
车辆数〔辆〕 载客量 租金〔元〕
A x 45x 400x
B 5﹣x _________ _________
〔2〕假设要保证租车费用不超过1900元，求x 的最大值；
〔3〕在〔2〕的条件下，假设七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案．
二、设计最正确方案
最正确方案就是利用数学知识，设计出最科学、最合理的方案，一般以社会热点问题为背景，题目中往往会出现本钱最低、效率最高、利润最大、运费最少、最合算等标志性词语.解决此类问题一般需借助不等式〔组〕，方程〔组〕，函数等知识构建适当的数学模型，将实际问题转化为数学问题，对所有可能的方案进行分析，找出符合要求的最优方案.
例2 〔 2022•恩施州〕某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，方案用这两种原料全部生产A 、B 两种产品共50件，生产A 、B 两种产品与所需原料情况如下表所示：
甲种原料〔千克〕 乙种原料〔千克〕
A 产品〔每件〕 9 3
B 产品〔每件〕 4 10
〔1〕该工厂生产A 、B 两种产品有哪几种方案？
〔2〕假设生产一件A 产品可获利80元，生产一件B 产品可获利120元，怎样安排生产可获得最大利润？
分析：〔1〕设工厂可安排生产x 件A 产品，那么生产〔50﹣x 〕件B 产品，根据所需A 种原料不能多于360千克，B 种原料不能多于290千克，列出不等式求解；〔2〕可根据一次函数的性质，确定最大利润及方案．
解：〔1〕设工厂可安排生产x 件A 产品，那么生产〔50﹣x 〕件B 产品，
由题意，得 ()360x -5049x ≤+
()29050103≤-+x x ，解得30≤x≤32．
又所以有三种生产方案：方案一：A30件，B20件；方案二：A31件，B19件；方案三：A32件，B18件．
〔2〕设生产两种产品的利润为w ，那么有()x -5012080x w +=，整理，得
600040+-=x w .
根据一次函数的性质可知，当x 取最小值30时，w 有最大值，
此时480060003040=+⨯-=w ，
所以当生产A 产品30件，B 产品20件时，所获利润最大为4800元．
评注：此题是利用一元一次不等式组和一次函数设计最正确方案的问题，这类题通常需要利用不等式〔组〕得到未知数据取值范围，然后根据范围内符合题意的解设计出不同的方案．
跟踪训练：
3．〔 2022•辽阳〕某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台A 型换气扇和三台B 型换气扇共需275元；三台A 型换气扇和二台B 型换气扇共需300元．
〔1〕求一台A 型换气扇和一台B 型换气扇的售价各是多少元；
〔2〕假设该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共40台，并且A 型换气扇的数量不多于B 型换气扇数量的3倍，请设计出最省钱的购置方案，并说明理由．
3333333
B D
A C
三、设计图形的方案
图形的分割，拼接问题是设计图案最常见的类型，这类问题具有一定的开放性，要求从多角度、多层次进行探索，以展示思维的灵活性，发散性．
例3 〔 2022•南京〕如图，在边长为4的正方形ABCD 中，请画出以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形〔要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3〕．
分析：此题可分腰长为3和底长为3等情况分别尝试构造．
解：满足条件的所有等腰三角形如以下列图所示．
评注：此题有多种情况，在解答此题时，可通过分多种情况分别尝试的方法，力求做到不重复不遗漏．
跟踪训练：
4．〔 2022•枣庄〕如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶
点称为格点，左上角阴影局部是一个以格点为顶点的正方形〔简称格点正方
形〕．假设再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠
面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个格点正方
形的作法共有〔 〕
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
5．〔 2022•广安〕手工课上，老师要求同学们将边长为4cm 的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在以下四个正方形中画出不同的裁剪线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积.〔注：不同的分法，面积可以相等〕.
四、设计测量方案
这类问题主要包括物体高度和地面宽度的测量，通常是要求先设计测量方案，然后再计算，常用到全等、相似、解直角三角形等知识，需注意的是所设计的方案要切实可行．
第一种 第二种 第三种 第四种
A B D αβC C 1D 1H
例4 如图，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB ． 要求：
〔1〕画出测量示意图；
〔2〕写出测量步骤〔测量数据用字母表示〕；
〔3〕根据〔2〕中的数据计算AB ．
分析：此题是一道测量底部不可到达物体高度问题，可通过构造双直角三角形完成. 解：〔1〕画出的示意图如下列图；
〔2〕测量步骤：
①在地面上取一点C 安装测角仪，测得树顶A 的仰角为α；
②沿CB 前进到D ，用皮尺量出CD 之间的距离CD=a 米；
③在D 处安装测角仪，测得树顶A 的仰角为β；
③用皮尺测出测角仪的高度为h ．
〔3〕计算：如图，设AH=x 米，
在Rt △AC 1H 中，H C AH tan 1=α，即C 1H=αtan x ， 同理可得D 1H=β
tan x ， 因为C 1D 1=C 1H-D 1H ，即
αtan x -βtan x =a ，解得αββαtan tan tan tan -⋅⋅=a x . 所以树的高度AB=AH+BH= h a +-⋅⋅α
ββαtan tan tan tan 评注：此题考查了数学知识的实际应用，关键是如何将实际问题与数学问题联系起来．此题方法多样，只要符合要求，能够操作即可．
跟踪训练：
6．如图，河边有一条笔直的公路l ，公路两侧是平坦的草地．在数学活动课上，老师要求测量河对岸B 点到公路的距离，请你设计一个测量方案．要求：
〔1〕列出你测量所使用的测量工具；
〔2〕画出测量的示意图，写出测量的步骤；
〔3〕用字母表示测得的数据，求出B 点到公路的距离．
公路l
B
参考答案：
1．B
2．解：〔1〕30〔5﹣x 〕 280〔5﹣x 〕
〔2〕根据题意，得400x+280〔5﹣x 〕≤1900，解得x≤4，所以x 的最大值为4. 〔3〕根据题意列不等式得45x+30〔5﹣x 〕≥195，解得x ≥3，
由〔2〕可知，x≤4，所以x 可能取值为3、4.
即租车方案共有两种，方案一：A 车3辆，B 车2辆；方案二：A 车4辆，B 车1辆．
3．解：〔1〕设一台A 型换气扇x 元，一台B 型换气扇的售价为y 元，根据题意，得 ，解得，
答：一台A 型换气扇50元，一台B 型换气扇的售价为75元.
〔2〕设购进A 型换气扇z 台，总费用为w 元，那么有z ≤3〔40﹣z 〕，解得z ≤30， 因为z 为换气扇的台数，所以z ≤30且z 为正整数.
所以w =50z +75〔40﹣z 〕=﹣25z +3000，根据一次函数性质可知，w 随着z 的增大而减小，所以当z =30时，w 最大=25×30+3000=2250，此时40﹣z =40﹣30=10，
答：最省钱的方案是购进30台A 型换气扇，10台B 型换气扇．
4．C
5．分割后的图形如下：
上面四种情况下最小的等腰直角三角形的面积依次是是2cm 2 、2cm 2、2 cm 2、、1cm 2．
6.解：〔1〕测角器、卷尺；
〔2〕测量示意图如图；
测量步骤：
①在公路上取两点C ，D ，使∠BCD ，∠BDC 为锐角；
②用测角器测出∠BCD =∠α，∠BDC=∠β；
③用卷尺测得CD 的长，记为m 米；
④计算求值．
〔3〕解：设B 到CD 的距离为x 米，
作BA ⊥CD 于点A ，在△CAB 中，tan x CA α=，在△DAB 中，tan x AD β=， tan tan x x CA AD αβ
∴==，，
CA AD m +=，tan tan x x m αβ∴+=，tan tan tan tan x m αβαβ∴=+··．。