2020高考数学课标二轮：专题能力训练三角函数的图象与性质含解析

= cos2x
= sin2x- cos2x= sin .
所以,f(x)的最小正周期T= =π.
(2)因为f(x)在区间 上是减函数,在区间 上是增函数,f =- ,f =- ,f .所以f(x)在区间 上的最大值为 ,最小值为- .
二、思维提升训练
12.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示,其中A,B两点之间的距离为5,则f(-1)等于()
A. B.
C. D.
答案:B
解析:由题意知T=π,则ω=2.
由函数图象关于直线x= 对称,
得2× +φ= +kπ(k∈Z),
即φ=- +kπ(k∈Z).
∵|φ|< ,∴φ=- ,
∴f(x)=Asin .
令2x- =kπ(k∈Z),则x= (k∈Z).
∴函数f(x)的图象的一个对称中心为 .故选B.
6.已知函数f(x)=5sinx-12cosx,当x=x0时,f(x)有最大值13,则tanx0=.
8.函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分图象如图所示,则f(x)=.
答案: sin
解析:由题意得A= ,函数的周期为T=16.
∵T= ,∴ω= ,此时f(x)= sin .
由f(2)= ,即sin =sin =1,
则 +φ=2kπ+ ,k∈Z,
解得φ=2kπ+ ,k∈Z.
∵|φ|< ,∴φ= ,
得方程组 解得 所以m+n=3.
16.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移 个单位长度.
(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;
(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β.
答案:-
解析:f(x)=5sinx-12cosx=13sin(x-θ) .
当x=x0时,f(x)有最大值13,所以x0-θ= +2kπ,k∈Z,
所以x0=θ+ +2kπ,tanx0=tan θ+ +2kπ =tan =- .
7.定义一种运算:(a1,a2)⊗(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数f(x)=( ,2sinx)⊗(cosx,cos 2x)的图象向左平移n(n>0)个单位长度所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为.
当1≤m< 时,α+β=2 ,
即α+φ=π-(β+φ);
当- <m<1时,α+β=2 ,
即α+φ=3π-(β+φ).
所以cos(α+β)=-cos(β+φ).
于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]
=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)
=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)
14.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函数:
①f(x)=sinx+cosx;②f(x)= (sinx+cosx);
③f(其中为“互为生成”函数的是.(填序号)
答案:①④
解析:首先化简题中的四个解析式可得:①f(x)= sin ,②f(x)=2sin ,③f(x)=sinx,④f(x)= sinx+ .可知③f(x)=sinx的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以③f(x)=sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数;同理①f(x)= sin 的图象与②f(x)=2sin 的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而④f(x)= sinx+ 的图象可以向左平移 个单位长度,再向下平移 个单位长度即可得到①f(x)= sin 的图象,所以①④为“互为生成”函数.
①求实数m的取值范围;
②证明:cos(α-β)= -1.
(1)解将g(x)=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cosx的图象,再将y=2cosx的图象向右平移 个单位长度后得到y=2cos 的图象,故f(x)=2sinx.
从而函数f(x)=2sinx图象的对称轴方程为x=kπ+ (k∈Z).
解析:要使y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现2次最大值,则在区间[0,1]上至少包含 个周期,故只需要 ≤1,故ω≥ .
3.(20xx全国Ⅱ,理9)下列函数中,以 为周期且在区间 单调递增的是()
A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|
C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|
2020高考数学课标二轮：专题能力训练三角函数的图象与性质含解析
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专题能力训练第22页
一、能力突破训练
1.为了得到函数y=sin 的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()
A.向左平行移动 个单位长度B.向右平行移动 个单位长度
4.若f(x)=cosx-sinx在区间[-a,a]上是减函数,则a的最大值是()
A. B. C. D.π
答案:A
解析:f(x)= cos x+ ,图象如图所示,要使f(x)在区间[-a,a]上为减函数,a的最大为 .
5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|< 的图象关于直线x= 对称,若它的最小正周期为π,则函数f(x)的图象的一个对称中心是()
对于函数f(x)=2sin ,当x略微大于0时,有f(x)>2sin =1,与图象不符,故舍去.
综上,f(x)=2sin .
故f(-1)=2sin =2.
13.函数y= 的图象与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()
A.2B.4C.6D.8
答案:D
解析:函数y1= ,y2=2sinπx的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图.
当1<x≤4时,y1<0,而函数y2在区间(1,4)内出现1.5个周期的图象,
在区间 和 内是减函数;在区间 内是增函数.
所以函数y1在区间(1,4)内函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E,F,G,H.
相应地,y1在区间(-2,1)内函数值为正数,且与y2的图象有四个交点A,B,C,D,
且xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2,故所求的横坐标之和为8.
答案:A
解析:y=|cos2x|的图象为 ,由图知y=|cos2x|的周期为 ,且在区间 内单调递增,符合题意;y=|sin2x|的图象为 ,由图知它的周期为 ,但在区间 内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cosx,所以它的周期为2π,不符合题意;y=sin|x|的图象为 ,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.
当1≤m< 时,α+β=2 ,
即α-β=π-2(β+φ);
当- <m<1时,α+β=2 ,
即α-β=3π-2(β+φ),
所以cos(α-β)=-cos2(β+φ)
=2sin2(β+φ)-1
=2 -1
= -1.
证法二因为α,β是方程 sin(x+φ)=m在区间[0,2π)内的两个不同的解,
所以sin(α+φ)= ,sin(β+φ)= .
10.已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2 sinxcosx(x∈R).
(1)求f 的值;
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解:(1)由sin ,cos =- ,
f -2 ,
得f =2.
(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x- sin2x=-2sin .
C.向左平行移动 个单位长度D.向右平行移动 个单位长度
答案:D
解析:由题意,为得到函数y=sin =sin ,只需把函数y=sin2x的图象上所有点向右平行移动 个单位长度,故选D.
2.已知函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现2次最大值,则ω的最小值为()
A. B.
C.πD.
答案:A
∴函数的解析式为f(x)= sin .
9.已知函数f(x)=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点 ,则函数g(x)=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是.(写出其中的一条即可)
答案:x=- (答案不唯一)
解析:将点 代入f(x)=sinx+λcosx,得λ=- .g(x)=- sinxcosx+sin2x=- sin2x+ cos2x= -sin ,令2x+ =kπ+ ,k∈Z,得x= ,k∈Z.由k=-1,得x=- .
答案:
解析:f(x)= cos2x-2sinxcosx= cos2x-sin2x=2cos ,将f(x)的图象向左平移n个单位长度对应的函数解析式为f(x)=2cos 2(x+n)+ =2cos ,要使它为偶函数,则需要2n+ =kπ(k∈Z),所以n= (k∈Z).因为n>0,所以当k=1时,n有最小值 .
15.如图,在同一个平面内,向量 的模分别为1,1, 的夹角为α,且tanα=7, 的夹角为45°.若 =m +n (m,n∈R),则m+n=.
答案:3
解析:| |=| |=1,| |= ,由tanα=7,α∈[0,π]得0<α< ,sinα>0,cosα>0,tanα= ,sinα=7cosα,又sin2α+cos2α=1,得sinα= ,cosα= =1, =cos =- ,
=-
= -1.
A.2B. C.- D.-2
答案:A
解析:设函数f(x)的最小正周期为T,因为A,B两点之间的距离为5,所以 =5,解得T=6.
所以ω= .
又图象过点(0,1),代入得2sinφ=1,
所以φ=2kπ+ 或φ=2kπ+ (k∈Z).
又0≤φ≤π,所以φ= 或φ= .
所以f(x)=2sin 或f(x)=2sin .
(2)①解f(x)+g(x)=2sinx+cosx
=
= sin(x+φ) .
依题意,sin(x+φ)= 在[0,2π)内有两个不同的解α,β当且仅当 <1,
故m的取值范围是(- ).
②证法一因为α,β是方程 sin(x+φ)=m在区间[0,2π)内的两个不同的解,
所以sin(α+φ)= ,sin(β+φ)= .
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得 +2kπ≤2x+ +2kπ,k∈Z,
解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,
所以,f(x)的单调递增区间是 (k∈Z).
11.已知函数f(x)=sin2x-sin2 ,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.
解:(1)由已知,有f(x)=