定积分及其应用

·153·
第二节 定积分及其应用
一、内容精要 （一） 基本概念
定积分的概念是由求曲边梯形面积，变力作功，已知变速直线运动的速度求路程，密度不均质线段的质量所产生。

定义3.3 设函数f(x)在闭区间[]b a ,上有定义，在闭区间[a,b]内任意插入n-1个分点将[]b a ,分成
n 个小区间],[i i x x x -，记),,2,1(n i x x x i i i =-=∆，],[1i i x x -∈∀ξ，作乘积i i x f ∆)(ξ（称为积分元），把这些乘积相加得到和式
∑=∆n
i i
i
x
f 1
)(ξ（称为积分和式）设{}n i x i ≤≤∆=1:max λ，若
∑=→∆n
i i i x f 1
)(lim ξλ极限存在唯一且该极限值与区是[a,b]的分法及分点i ξ的取法无关，则称这个唯一
的极限值为函数f(x)在[]b a ,上的定积分，记作dx x f b
a
)(⎰，即i i n
i b a x f dx x f ∆=
⎰∑
=→)()(1
lim 0
ξλ.
否则称f(x)在[]b a ,上不可积.
注1由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了不定积分的符号。

注2若dx x f b
a )(⎰存在，区间[]
b a ,进行特殊分割，分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在
且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在考题中经常出现，请读者要真正理解。

注3定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关，即.)()()(du u f dt t f dx x f b
a b
a b
a ⎰=⎰=⎰
定积分的几何意义: 若f(x)在[]b a ,上可积，且,0)(≥x f 则dx x f b
a
)(⎰
表示曲线)(x f y =与
直线b x a x y ===,,0所围成的曲边梯形的面积.
同样，变力所作的功dx x f w b
a )(⎰=（其中f(x)是变力）变速直线运动的路程dt t v S b
a )(⎰=（)(t v 是瞬时速度），密度不均质直线段[]
b a ,的质量dx x M b
a )(μ⎰=（其中)(x μ是线密度）。

规定 .0)(,
)()(=⎰⎰-=⎰dx x f dx x f dx x f a a a
b b a
四、广义积分
·154
· 定义3.4 设函数()x f 在区间[)+∞,a 上连续，称记号
()()dx x f dx x f t
a
t a
⎰⎰
+∞→+∞
lim
记成 （1）
为函数()x f 在无穷区间[)+∞,a 上的广义积分（或第一类广义积分）若（1）式右端极限存在，称广义积分
()⎰
+∞
a
dx x f 收敛，该极限值称为广义积分的值，否则称广义积分()⎰
+∞
a
dx x f 发散。

由()x f 在[)+∞,a 连续必有原函数，设()x f 的原函数为()x F 。

于是
()()()()[]
()()()()()
,
lim lim lim lim
∞++∞
→+∞
→+∞
→+∞→+∞
-=-=-==⎰⎰
a
t t t t
a
t a
x F a F x F a F t F a F t F dx x f dx x f 记成
从而广义积分可以按照正常定积分计算方式来计算，即()()()()a F x F x F dx x f t a a
-==+∞
→∞
++∞
⎰
lim
若()x F t +∞
→lim （存在）=A ，则
()⎰
+∞
a
dx x f 收敛，且
()().a F A dx x f a
-=⎰
+∞
若()x F t +∞
→lim 不存在，则
()⎰
+∞
a
dx x f 发散。

同理可得
()()()()x F b F x F dx x f x b b
-∞
→∞-∞
--==⎰
lim
若()x F t -∞→lim 存在，则广义积分()⎰∞
-a
dx x f 收敛，否则发散。

()()()()x F x F x F dx x f x x -∞
→+∞
→∞
+∞-+∞
∞
--==⎰
lim lim
若()x F t +∞
→lim ，()x F t -∞→lim 都存在，则
()⎰+∞
∞
-dx x f 收敛，否则发散。

定义 3.5 设()x f 在区间]b a ,(上连续，()x f a
x +→lim 不存在（称a 点为瑕点），0>∀ε且
a b -<ε，称记号()()dx x f dx x f b
a b
a
⎰
⎰+→+ε
ε0lim
记成
与上面研究方式相同，可得()()()()x F b F x F dx x f a
b a b
a
+
→-==⎰
εlim 若()x F a
x +→lim 存在，则广义积分
()⎰b a
dx x f 收敛，否则发散。

同理若()x f 在[)b a ,上连续，()x f b
x -→lim 不存在（称b 点为瑕点），有
()()()()a F x F x F dx x f b
x b a b
a
-==-
→⎰
lim 若()x f 在[)(]b c c a ,, 上连续，()x f c
x →lim 不存在（称c 点为瑕点），定义
()()().⎰⎰⎰+=b
c
c a
b a
dx x f dx x f dx x f
·155·
当且仅当
()()⎰⎰b c
c a
dx x f dx x f ,都收敛时，()⎰b a
dx x f 收敛，
且()⎰b a
dx x f 值等于()()⎰⎰b
c
c a
dx x f dx x f 与的值之和。

注 若()x f 在(]b a ,上连续，()A x f a
x =+→lim （常数），则
()⎰b
a
dx x f 可看成正常积分，
事实上，定义()()(]⎩
⎨⎧∈==.,,,,
b a x x f a x A x F 知()x F 在[]b a ,上连续，即()⎰b a dx x F 存在，而
()()()⎰
⎰
⎰
-→-→++==b
a b
a b
a
dx x F dx x f dx x f ε
εε
ε0
lim lim ，由于()x F 在[]b a ,上连续，知变下限函数
()()⎰
-=b a dx x F G ε
ε在[]a b -,0上连续，
有()()()⎰==+→b
a
dx x F G G 0lim 0
εε，即()().⎰⎰=b
a
b a dx x F dx x f 故
()⎰b a
dx x f 可看成正常积分。

若广义积分收敛，也有线性运算法则，不等式性质，也有凑微分，变量替换，分部积分公式，
换句话说可以像正常的定积分一样运算。

第一p 广义积分
⎰
+∞
a
p x
dx
（a >0，常数）. 当1≠p 时，
⎪⎩
⎪
⎨⎧<∞+>-=+-=-∞++-∞
+⎰
1
,1,11
111
p p p a x p x dx p
a
p a
p
当1=p 时，
,ln 1
+∞==∞+∞
+⎰
a
a
x dx x
知1>p 时收敛，1≤p 时发散
第二p 广义积分
()()⎰>-b
a
p
a b a x dx
.
令dt t dx t a
x 21,1
-==-，有().11122
1
dt t
dt t t a x dx a b p b a
a b p p ⎰⎰⎰∞+---∞+=⎪⎭⎫
⎝⎛-=- 由第一p 广义积分知，当12>-p ，即1<p 时收敛，当12≤-p ，即1≥p 时发散。

（二）重要定理与公式
定理3.2 若函数f(x)在闭区间[]b a ,上可积，则f(x)在[]b a ,上有界，反之不成立。

例 上有界但不可积在为无理数为有理数]1,0[,
,0,
,
1)(⎩⎨
⎧=x x x D .
事实上，因为不论把[0，1]分割得多么细，在每个小区间],[1i i x x -中，总能找到有理数'
i η，无理数"
i
η，知 ,00)(,
11)(1
lim 0lim 0
1
lim 0
1
lim 0
'
lim 0
∑∑∑=→→=→=→→==∆''==
∆=
∆n
i i
i
n
i i
n
i i
i
x
D x
x
D λλλλληη知
·156
· ∑=→∆n
i i
i
x
D 1
lim 0
)(ξλ不存在。

定理3.3 若f(x)在闭区间[]b a ,上连续，则f(x)在[]b a ,上可积，反之不成立.
定理3.4 若f(x)在闭区间[]b a ,上只有有限个间断点且有界，则f(x)在[]b a ,上可积，反之不成立.
定理3.5 若f(x)在闭区间[]b a ,上单调，则f(x)在[]b a ,上可积，反之不成立. 定积分的性质
性质1 .1a b dx dx b
a b
a -=⎰=⎰
性质2 （线性运算法则）设)(),(x g x f 在[]b a ,上可积，对任何常数βα,则
dx x g dx x f dx x g x f b
a b a b a )()()]()([⎰+⎰=+⎰βαβα. 该性质用于定积分的计算与定积分的证明.
性质3 （区间的可加性），若f(x)在以a,b,c 为端点构成的最大区间上可积，则不论a,b,c 顺序如何，有.)()()(dx x f dx x f dx x f b
c c
a b
a ⎰+⎰=⎰
该性质用于计算分段函数的定积分与定积分的证明.
性质4 若f(x)在[]b a ,上可积且,0)(≥x f 则0)(≥⎰dx x f b
a .
性质5 若f(x),g(x)在[]b a ,上可积且),()(x g x f ≥则.)()(dx x g dx x f b
a b
a ⎰≥⎰
性质6 若f(x)在[]b a ,上连续，,0)(≥x f 且f(x) 0则.0)(>⎰dx x f b
a
性质7 若f(x),g(x)在[]b a ,上连续且),()(x g x f ≥但)()(x g x f ≠,则
dx x g dx x f b a b a )()(⎰>⎰.
性质8 若f(x)在[]b a ,上可积，则dx x f dx x f b
a b
a |)(||)(|⎰≤⎰.
性质9 若f(x)在[]b a ,上可积，在区间[]b a ,上，m ≤f(x)≤M ，m ，M 是常数，则
).()()(a b M dx x f a b m b a -≤⎰≤-
性质4、5、6、7、8、9主要用于定积分不等式的证明及不通过定积分的计算，估计定积分值的范围.
性质10 （积分中值定理）若f(x)在闭区间[]b a ,上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ
，使
·157·
).)(()(a b f dx x f b a -=⎰ξ
而a b dx
x f f b a -⎰=)()(ξ称为f(x)在区间[]b a ,上的平均值，即闭区间[a,b]上连续函数f(x)的平均值
是.)(a
b dx x f b a -⎰
注：这里的],[b a ∈ξ与),(b a ∈ξ是不同的。

性质11 （推广的积分中值定理） 设)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，且g(x)在[]b a ,上不变号，则至少存在一点],[b a ∈ξ,使.)()()()(dx x g f dx x g x f b
a b
a ⎰=⎰ξ
性质12（柯西----许瓦尔兹（Cauchy —schwarz ）不等式） 设函数f(x)，g(x)在[]b a ,上连续，则
（1）.)()(])()([2
2
2
dx x g dx x f dx x g x f b
a b
a b
a ⎰⋅⎰≤⎰
（2）.}])([])({[)]()([2
212
2
12
2
dx x g dx x f dx x g x f b a
b a
b a
⎰+⎰≤+⎰ 性质13 变上限积分求导定理 设f(x)连续，)(),(x v x u 可导，则
).('))(()('))(()()
()(x v x v f x u x u f dt t f dx
d x u x v -=⎰ 1．定积分计算的方法
（1）牛顿一莱布尼兹公式 若
f(x)在
[]
b a ,上连续,则
)()()()()
()('a F b F x F dx
x f b a x f x F b a
-=⎰=.
（2）凑微分 dx x x f dx x g b
a b
a )('))(()(ϕϕ⎰=⎰
)).(())(())(()())(()
()('a F b F x F x d x f b a u f u F b a ϕϕϕϕϕ-=⎰==
（3）变量替换
)())(( )
(),()()(t d t f b a t x dx
x f a
b
ϕϕαβ
βϕαϕϕ⎰⎰===令
).()()()('))(()
('))(()('αβϕϕβ
αϕϕβ
αF F t F dt t t f t t f t F -=⎰==
（4）分部积分 设)(),(x v x u 在],[b a 上导数连续，则)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u b
a b
a b
a ⎰-=⎰ 具体的用法是)()()(')()(x dv x u dx x v x u dx x f b
a b
a b
a ⎰=⎰=⎰
·158
· dx x u x v x v x u x du x v x v x u b
a b a b a b a )(')()()()()()()(⎰-=⎰-=
如果能够计算出,)(')(dx x u x v b a ⎰就可以计算出.)(dx x f b
a ⎰
定积分的凑微分、变量替换、分部积分与不定积分中三种方法适合的被积函数相同，即不定积分用三种的哪一种方法，定积分也用三种方法的哪一种。

（5）设f(x)在],[a a -上连续，则⎩⎨
⎧⎰=⎰-.
)(,)(2,
)(,
0)(0
为偶函数若为奇函数若x f dx x f x f dx x f a a
a
事实上， dx x f dx x f dx x f a
a a
a )()()(00
⎰+⎰=⎰--
而⎪⎩⎪⎨
⎧⎰⎰-=-⎰=-⎰-⎰-=-.
)(,
)(,)(,)()()()
(00000为偶函数若为奇数若令x f dx x f x f dx x f dx x f dt t f x f a a a
a t
x a
故得证
推论.)]()([)(0dx x f x f dx x f a
a
a -+⎰=⎰-
证 由于,2
)
()(2)()()(x f x f x f x f x f --+-+=
且2)()(x f x f -+为偶函数，2
)()(x f x f -- 为奇函数，于是
dx x f x f x f x f dx x f a
a
a a ]2
)()(2)()([)(--+-+⎰=⎰-- .)]()([]2
)()([00dx x f x f dx x f x f a a -+⎰=-+⎰=
（6）设f(x)为周期函数且连续，周期为T ，则dx x f dx x f T T
a a
)()(0⎰=⎰+.
事实上dx x f dx x f dx x f dx x f T
a T
T a T
a a )()()()(00++⎰+⎰+⎰=⎰ 由于,)()()()(000dx x f dt t f dt T t f dx
x f a a a T
t x T
a T
⎰-=⎰=+⎰⎰+=+设于是.)()(0dx x f dx x f T T
a a ⎰=⎰+
（7）设f(x)在[0,1]上连续，则.)(sin 2
)(sin 00dx x f dx x xf ππ
π
⎰=⎰
事实上dt t f t dx
x xf t
x )][sin()()(sin 0
0--⎰-⎰-=πππππ
令
.)(sin )(sin )(sin )(000dx x xf dx x f dx x f x π
ππππ⎰-⎰=-⎰=
移项两边同除以2得dx x f dx x xf )(sin 2
)(sin 00ππ
π
⎰=
⎰.
·159·
（8）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--⋅-⋅--⋅-=⎰=⎰.,3
2231,,221231cos sin 202
0为奇数当为偶数当n n n n n n n n n n xdx xdx n n π
ππ
事实上.cos cos ,)2
(
sin sin 202002
2
2
xdx tdt dt t xdx n n
n
t
x n
π
π
ππ
π
π
⎰=⎰=-⎰-⎰-=令
记x xd xdx x xdx I n n n
n sin cos cos cos
cos 12
01
2020--⎰=⎰=⎰=π
π
π
)2(sin cos )1(sin sin cos
22020
1
≥-⎰+=--n xdx x n x x
x n n π
π
,)1()1()cos 1(cos )1(2222
0n n n I n I n dx x x n ---=-⎰-=--π
于是 422
311----⋅-=-=
n n n I n n n n I n n I 由于递推公式每次降2次，要讨论n 为奇偶数的情形，由,
2
,,1cos 2
0020
1π
π
π
=⎰==⎰=dx I xdx I 故⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧--⋅-⋅--⋅-=.,3
2231,,221231为奇数若为偶数若n n n n n n n n n n I n π
微元法
根据所给条件，画图，适当建立坐标系，在图中把所需曲线的方程表示出来，确定要求量Q 所分布的区间],[b a 且区间],[b a 上的总量Q 具有等于各小区间上部分量之和的特点.
（1）取近似求微元.选取区间)0](,[>∆∆+x x x x 。

写出部分量Q ∆的近似值,)(x x f ∆即
.)(x x f Q ∆≈∆
要求x x f ∆)(是Q ∆的线性主部.dQ 即计算的过程中，可以略x ∆的高阶无穷小。

这一步是关键、本质的一步，所以称为微元分析法或简称微元法. （2）得微分. dx x f dQ )(= （3）计算积分. ⎰
=b
a
dx x f Q .)(
注：第一步一定要把Q ∆表示成x 的函数与x ∆的乘积形式. 由dx x =∆，于是又可写成下面的步骤：
（1）选取),0](,[>+dx dx x x 求Q ∆的线性主部dQ ，dx x f dQ )(=,
·160
· （2）⎰
=
b
a
dx x f Q .)(
二、考题类型、解题策略及典型例题
类型1.1涉及到定积分的方程根的存在性 解题策略利用积分中值理，定积分的13条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，
证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。

例3.2.1设函数f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且).0()(31
32f dx x f =⎰证明在（0。

1）内存在一点ξ，使0)('=ξf . 分析 由结论知对被积函数用罗尔定理. 证
由
积
分
中
值
定
理
知
，
在
]1,3
2
[上存在一点c ，使
).0()()(313)(313
2f c f c f dx x f ==⋅
=⎰⋅且13
2
0≤≤<c ，由f(x)在(0，c)上连续，在[0，c]内可导，f(0)=f(c)，由罗尔定理知至少存在一点),1,0(),0(⊂∈c ξ使.0)('=ξf
例3.2.2 设函数f(x)在],0[π上连续，且0cos )(,0)(00=⎰=⎰xdx x f dx x f π
π，试证：在),0(π内至少存在两个不同的21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f
分析 构造f(x)的原函数dt t f x F x
)()(0⎰=在三个不同点函数值相等，再分别用二次罗尔定理.
证法一 令,0,)()(0π≤≤⎰=x dt t f x F x
则有0)(,0)0(==πF F ，又因为
xdx x F x x F x xdF xdx x f sin )(cos )()(cos cos )(00000ππππ⎰+=⎰=⎰=xdx x F sin )(0π
⎰=,
所以存在),0(πξ∈，使.0sin )(=ξξF 因为若不然，则在),0(π内或F （x ）sinx 恒为正或
F (x)sinx 恒为负，均与0sin )(0=⎰dx x x F π矛盾. 但当),0(πξ∈时，,0sin ≠ξ知.0)(=ξF 再对F (x )在区间],[],,0[πξξ上分别应用罗尔定理，知至少存在),(),,0(21πξξξξ∈∈，使
,0)(')('21==ξξF F 即.0)()(21==ξξf f
证法二 由0)(0=⎰dx x f π
知，存在).0(1πξ∈，使0)(1=ξf ，因若不然，则在),0(π内或f(x)恒为正，或f(x)恒为负，均于0)(0=⎰dx x f π
矛盾.
若在),0(π内f(x)=0仅有一个实根ξ=x ，则由0)(0=⎰dx x f π
知，f(x)在),0(1ξ内与),(1πξ内
·161·
异号，不妨设在),0(1ξ内f(x)>0，在),(2πξ内f(x)<0，于是再由0cos )(0=⎰xdx x f π
与
)(0=⎰dx x f π及cosx 在
]
,0[π上单调性知
dx x x f dx x f xdx x f )cos )(cos ()(cos cos )(010010ξξπππ-⎰=⎰-⎰=
0)cos )(cos ()cos )(cos (11011>-⎰+-⎰=dx x x f dx x x f ξξπξξ，
得出矛盾，从而知，在),0(π内除1ξ处，0)(,0)(1==x f f ξ至少还有另一实根ξ.故知存在),0(,21πξξ∈，
.0)()(,2121==≠ξξξξf f 使
例3.2.2 设f(x)在[a,b]上连续，,0)(2
=⎰dx x f b
a 证明],[
b a x ∈时，.0)(≡x f
分析 用极限的保号性与定积分不等式性质.
证 用反证法，假设],[b a x ∈时0)(≠x f ，即存在],[0b a x ∈时，0)(,0)(02
0>≠x f x f 知，不妨设)
,(0b a x ∈，由f(x)在[a,b]上连续，则在x 0处也连续，有,
02
)
()()(0202
2
lim
>>=→x f x f x f x
x 由保号性存在0>δ，当),(],[00b a c x x x δδ+-∈时，.02
)
()(022
>>
x f x f 于是 dx x f dx x f dx x f dx x f b x x x x
a b a )()()()(2
222
00
00δδδ
δ++-⎰+⎰+⎰=⎰- .0)(2
)(2)()(0202022
000000>=⎰=⎰
≥⎰
≥+-+-+-δδ
δδδ
δδ
x f dx x f dx x f dx x f x x x x x x 与题目条件矛盾，故假设不成立，所以].,[,0)(b a x x f ∈≡ 类型1.2涉及到定积分的适合某种条件ξ的等式.
解题策略利用积分中值理，定积分的13条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，
证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。

例3.2.3 设)(x f 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且满足),1()()1(110
>⎰=-k dx x f xe k f x k 证明至少存在一点)1,0(∈ξ,使).()1()('1
ξξξf f --=
分析 由前面的例知原理相同，对被积函数用罗尔定理.
证 由)()1(11
x f xe k f x k -⎰=及积分中值定理，知至少存在一点)1,0[]1,0[⊂∈k
c ，使得
·162
· )1(1)(1
)()()1(1111110
f e c f ce k
c f e c k dx x f xe k f c c x R ⋅⋅==⋅
⋅⋅=⎰=---- 令),()(1x f xe
x x
-=ϕ由)(x ϕ在[c,1]上连续，在（c,1）内可导)1(ϕ),(c ϕ=。

由罗尔定理知，至少
存在一点)1,0()1,(⊂∈c ξ，使得0)('=ξϕ，由),(')()()('111x f xe x f xe x f e x x x x
⋅+-----ϕ
得 ,0)(')()(111=+----ξξξξξξξξ
f e f e f e
即).()1()('1ξξξf f --=
例 3.2.4 设f(x),g(x)在],[b a 上连续且g(x)不变号，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使
.)()()()(dx x g f dx x g x f b a b
a
⎰=⎰
ξ
（推广的积分中值定理）
证 （1）当g(x)=0，],[b a x ∈，有,0)()()(,0)(=⋅⎰=⎰=⎰dx x f dx x g x f dx x g b
a b
a b
a 此时ξ可以[a,b]上任何一个值，都有.0)()()()(=⎰=⎰dx x g f dx x g x f b
a b
a ξ
（2）当0)(≠x g ，由g(x)不变号，必有对每一个],[b a x ∈，或者g(x)都大于零或者都小于零，不妨设],[b a x ∈时，g(x)>0，由f(x)在[a,b]上连续，必取到最小值m 与最大值M ，且R(f)=[m,M]，对于一切],[b a x ∈，都有⇒≤≤⇒≤≤)()()()()(x Mg x g x f x mg M x f m
.)()()()()()(dx x g M dx x Mg dx x g x f dx x mg dx x g m b
a b a b a b a b a ⎰=⎰≤⎰≤⎰=⎰
由于,0)(>⎰dx x g b
a 得
.)()()(M dx
x g dx
x g x f m b a b a ≤⎰⎰≤
故至少存在一点],[b a ∈ξ，使)()()()(ξf dx
x g dx x g x f b a b a =⎰⎰，即 .)()()()(dx x g f dx x g x f b
a b a ⎰=⎰ξ
注：这题可作为结论记住
例 3.2.5 设f(x)在],[b a 上连续，g(x)在],[b a 上的导数连续且不变号，试证至少存在一点
],[b a ∈ξ，使dx x f a g dx x f b g dx x g x f a b b a )()()()()()(ξ
ξ⎰+⎰=⎰.
（第二积分中值定理）
证 由分部积分、推广的积分中值定理、区间可加性，有
))(()()()(dt t f d x g dx x g x f x
a b a b a ⎰⎰=⎰dx dt t f x g dt t f x g x a b a b a x a ))()('()()(⎰⎰-⎰⋅=
·163·
dx x g dt t f dt t f b g b a a b a )(')()()(⎰⋅⎰-⎰=ξdx x f a g b g dx x f b g a b a )()]()([)()(ξ
⎰--⎰=
dx x f a g b g dx x f dx x f b g a b a )()]()([])()()[(ξξξ⎰--⎰+⎰=.)()()()(dx x f a g dx x f b g a b ξξ⎰+⎰=
例 3.2.6 设f(x),g(x)在],[b a 上连续，证明至少存在一点),(b a ∈ξ,使
.)()()()(dx x f g dx x g f a b ξξξξ⎰=⎰
证 要证原等式成立，只要证0)()()()(=⎰-⎰dx t f g dx x g f t
a b ξξξ 成立，只要证0])()()()([=⎰-⎰=ξt t
a b
t dt t f t g dx x g t f 成立，只要证0]'
)()([=⎰⋅⎰=ξ
t b
t t
a dx x g dx x f 成立，设dx x g dx x f t F
b t t a )()()(⎰⋅⎰=，只要证
0)('=ξF （1）
成立，由F(t)在],[b a 上连续，在（a,b ）内可导，F(a)=F(b)=0，由罗尔定理知至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)('=ξF 成立，即（1）式成立，由每一步可逆，故原等式成立。

例3.2.7 设f(x)是区间[0，1]上的任意一非负连续函数,
（1） 试证存在)1,0(0∈x ，使在区间[0，x 0]上以f(x 0)为高的矩形面积，等于在区间[x 0,1]上以y=f(x) 为曲边的曲边梯形面积。

（2） 又设f(x)在区向（0，1）内可导，且x
x f x f )
(2)('-
>，证明（1）中的x 0是唯一的。

分析 把结论转化为0)(='ξF ，利用罗尔定理.
证法一 （1）要证原结论成立，只要证dx x f x f x x )()(1
000⎰=成立，只要证
0)()(0010=-⎰x f x dx x f x 成立，只要证0)]()([01=-⎰=x t t t tf dx x f 成立，只要证
0]')([0
1=⎰=x t t dx x f t 成立，设dx x f t t F t )()(1
⎰=，只要证F'(x 0)=0 （1）
成立，由F(t)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，F （0）=F （1）=0，由罗尔定理知至少存在一点)1,0(0∈x ，使0)('0=x F 成立，即（1）式成立，由每一步可逆，故原等式成立。

（2）设)()()(1
t tf dt t f t t -⎰=ϕ，则当)1,0(∈t 时，
)(')(2)(')()()('t tf t f t tf t f t f t --=---=ϕ，
·164
· 又条件知0)(')(2)
(2)('<--⇔-
>x xf x f x
x f x f ，
知.0)('<t ϕ所以)(t ϕ在[0,1]上严格递减，故（1）中的x 0是唯一的。

证法二 （1）设在区间)2
1
)(1,(≥
a a 内取x 1，若在区间[x 1,1]上0)(≡x f ，则在(x 1,1)内任一点都可作x 0，否则可设0)(2>x f 为连续函数f(x)在[x 1,1]上的最大值，].1,[12x x ∈ 在区间[0,x 2]上，作辅助函数)()()(1
t tf dx x f t t -⎰=ϕ，则)(t ϕ连续，且
)()1)(()()()(,0)()0(2222221
2102
x f x x x f x f x dx x f x dx x f x --≤-⎰=>⎰=ϕϕ
0)()21(22<-=x f x ，因而由根的存在定理知至少存在一点)1,0(),0(20⊂∈x x ，使.0)(0=x ϕ（2）证法同证法一.
例3.2.8 设f(x)在[a,b]有二阶连续导数，试证在],[b a 上至少存在一点c ，使
).(")(241
)2(
)()(3c f a b b a f a b dx x f b a -++-=⎰ 分析 由结论中出现)2(b a f +与高阶导数，故在20b
a x +=
处展成泰勒公式. 证法 由泰勒公式展开式知
2)2)(("21)2)(2(')2(
)(b a x f b a x b a f b a f x f +-++-+++=ξ，其中ξ介于
2
b
a +，x 之间. .)2)(("21)2()2(')2()()(2
dx b a x f dx b a x b a f b a f a b dx x f b a
b a b a +-⎰++-⎰+++-=⎰ξ 设)("),("m ax
m in
x f M x f m b x a b x a ≤≤≤≤==，则
.)2
()2)((")2(222dx b a x M dx b a x f dx b a x m b
a b a b a +-⎰≤+-⎰≤+-
⎰ξ 12)()2)(("12)(323a b M b a x f a b m b a -≤+-⎰≤-ξ，M a b dx b a x f m b
a ≤-+-⎰≤12
)
()2)(("3
2ξ 由],[)"(M m f R =，知至少存在一点],[b a c ∈，使
)("12
)
()2)(("3
2
c f a b dx
b a x f b a =-+-
⎰ξ或),(")(121)2)(("22c f a b dx b a x f b a -=+-⎰ξ 所以 ).(")(241)2()()(3c f a b b a f a b dx x f b
a -++-=⎰
·165·
注1 ξ是介于
x b
a ,2
+之间，x 变，ξ也变，故)("ξf 不能提到积分号的前面 例3.2.9 设f(x)在],[a a -上存在连续的二阶导数，f(0)=0，证明至少存在一点],[a a -∈ξ，使.)(3)("3dx x f a
f a
a -⎰=
ξ 分析 由于涉及二阶导数且与函数f(x)有关，考虑用泰勒公式 证 由泰勒公式知,2)(")0('!2)(")0(')0()(2
2x f x f x f x f f x f ηη+=+
+=其中η介于0,x 之间，于是 .)("2
12)(")0(')(2
2dx x f dx x f xdx f x f a a a
a
a a a a ηη----⎰=⎰+⎰=⎰ 因为)("x f 在],[a a -上连续，设)("),("m ax
m ax
x f M x f m a x a a x a ≤≤-≤≤-==，知
M a dx x M dx x f dx x m m a a a a a a a 3
21)("2121332
223=⎰≤⎰≤⎰=---η， 得M a dx
x f m a
a ≤⎰≤-3)("213
2η，由],[)'(M m f R =，知至少存在一点],[a a -∈ξ，使).("3)("2132ξηf a dx x f a a =⎰-即).("3)(3ξf a dx x f a a =⎰-因此有).(")(33ξf dx x f a
a a =⎰- 类型1.2涉及到定积分的不等式.
解题策略利用积分中值理，定积分的13条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定
理，证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。

． 例3.2.10 设f(x)，g(x)在],[b a 上连续， 证明dx x g dx x f dx x g x f b
a b
a b
a )()(])()([2
2
2
⎰⋅⎰≤⎰. （柯西——许瓦尔兹（Cauchy —schwarz ）不等式）
证法一 要证原不等式成立，只要证0])()([)()(2
2
2
≥⎰-⎰⋅⎰dx x g x f dx x g dx x f b
a b
a b
a 成立。

设,])()([)()()(2
2
2
dx x g x f dx x g dx x f t F t
a t
a t
a ⎰-⎰⋅⎰=只要证
)()(a F b F ≥ （1）
成立，由F(t)在[a,b]上连续，在),(b a 内可导，且
dx x g x f t g t f dx x f t g dx x g t f t F t a t a t a )()()()(2)()()()()('2222⎰-⎰+⎰=
dx x f t g x g x f t g t f x g t f t
a )]()()()()()(2)()([2
2
2
2
+-⎰=
·166
· 0)]()()()([2
≥-⎰=dx x f t g x g t f t a ，
知F(t)在],[b a 上递增，由b>a ，知)()(a F b F ≥，即不 等式（1）成立，由每一步可逆，故原不等式成立。

证法二 ,R t ∈∀由.0))()((2
≥+⎰dx x g x tf b
a ，即
0)()()(2)(2
2
2
≥⎰+⎰+⎰dx x g dx x g x f t dx x f t b
a b
a b
a . （1）
（i ）若,0)(2
=⎰dx x f b
a 知,0)(2
≡x f 即,0)(≡x f 此时结论显然成立，不等式中取等号。

（ii ）若,0)(2
>⎰dx x f b
a 知（1）式的左边是t 的一元二次函数，且该函数始终大于等于零，故判别式 .0)()(4])()([42
2
2
≤⎰⋅⎰-⎰dx x g dx x f dx x g x f b
a b
a b
a 即 .)()(])()([2
2
2
dx x g dx x f dx x g x f b
a b
a b
a ⎰⋅⎰≤⎰
注：证法一需要f(x), g(x)连续，证法二只需f(x), g(x)可积.
例3.2.11 证明2
212
2
1
22}])([])({[)]()([dx x g dx x f dx x g x f b a b a b a ⎰+⎰≤+⎰
（a<b ，柯西—许瓦尔兹不等式） 证 由例3.2.4可得
dx x g dx x g x f dx x f dx x g x f b a b a b a b a )()()(2)()]()([2
22⎰+⎰+⎰=+⎰
dx x g dx x g dx x f dx x f b a b a
b a
b
a
)(])([])([2)(2
2
12
2
12
2
⎰+⎰⎰+⎰≤ 2
212
2
1}])([])({[2dx x g dx x f b a
b a
⎰+⎰=.
例3.2.12 设f(x)在[0,1]上导数连续，试证：]1,0[∈∀x ，
有.|])(||)('[||)(|1
0dx x f x f x f +⎰≤ 分析 利用最小值与定积分的不等式性质。

证 由条件知|f(x)|在[0,1]上连续，必有最小值，即存在|,)(||)(|],1,0[00x f x f x ≤∈由
dt t f x f x f x f x f dt t f x x x x )(')()()()()('0
00⎰+=⇔-=⎰，
dt t f x f dt t f x f x f x
x x x |)('||)(||)(')(||)(|0
000⎰+≤⎰+=
·167·
dt t f dt x f dt t f x f |)('||)(||)('||)(|1
0010100⎰+⎰=⎰+≤
.])('|)([||])('||)([||)('||)(|1
0101010dx x f x f dt t f t f dt t f dt t f +⎰=+⎰=⎰+⎰≤
例
3.2.11设
,[)(b a x f 在上导数连续，且0)()(==b f a f ，试证⎰
-≥
'≤≤dx x f a b x f b a
b
x a )()(4)(2
max
，
分析 给把函数转化为导数利用拉格朗日定理与定积分的不等式性质.
证 由],[)(,],[)(b a x f b a x f 在知上连续在''上连续，有最大值，设,)(max
x f M b x a '=≤≤要证原
不等式成立，只要证
M a b dx x f b a
4)()(2
-≤⎰
成立，由
dx x f dx x f dx x f b b a b a a
b
a
)()()(2
2⎰⎰
⎰
+++=
.
4
)(2
)(2
)
()()())(())(()()()()(22
2
22
2
222
122
2M a b x b M
a x M
dx x b M dx a x M dx
x b f dx a x f dx
x f b f dx a f x f b
b a b a a
b b a b a a
b b a b a a
b b a b a a -=---=-+-≤-'+-'=-+-=++++++++⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰ξξ
故原不等式成立.
例3.2.12 证明
0)(,)()(0
≥≥
⎰⎰
x f dx x f dx x f 其中β
αα
β
α
在[0，1]上连续递减且0＜α＜β＜1. 分析 利用积分中值定理与函数的单调性. 证 由积分中值定理知
·168
· ⎰
⎰
∈-=∈=],[),)(()(,
],0[,)()(22110βαξαβξαξαξβααf dx x f f dx x f 。

由于),()(,)(,2121ξξξξf f x f ≥≤有递减且即
⎰
⎰⎰
≥
-≥
dx x f dx x f dx x f )(1
)(1
)(1
β
α
βα
α
βαβα
故
dx x f dx x f )()(0
⎰
⎰
≥
βα
α
β
α.
例3.2.13 设]1,0[)(在x f 上连续且递减，证明当0＜λ＜1时，
dx x f dx x f )()(100
⎰⎰
≥λλ。

分析 利用积分中值定理与函数的单调性. 证法一
dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f )()()()()(1
00100
⎰⎰⎰
⎰⎰--=-λλλλλλλ
)),()()(1()()1()()1()()()1(21211
0ξξλλξλλξλλλλλλf f f f dx x f dx x f --=---=--=⎰⎰
其中0]1,0[)(,121在而x f ≤≤≤≤ξλξ上递减，知,0)()(21≥-ξξf f
又0＜λ＜1，0＜1λ-＜1，从而
⎰
⎰≥-0)()(100
dx x f dx x f λλ，即dx x dx x f )()(1
00⎰⎰≥λλ。

分析 利用函数的单调性与积分不等式性质. 证法二
dx x f dx x f dt t f t x dx x f )()()()(1
010100
λλλλλλλλ⎰⎰⎰⎰
===设，
由0＜λ＜1，知 )(,x f x x 又≤λ递减，知),()(x f x f ≥λ得dx x f dx x f )()(101
⎰⎰
≥λ.
从而
dx x f dx x f dx x f )()()(1
0100
⎰⎰⎰
≥=λλλλ.
分析 利用单调性定理与积分中值定理.
证法三 要证原不等式成立，只要证dx x f dx
x f )()(1
⎰
⎰≥λ
λ成立，令t
dx x f t F t ⎰=
)()(0
，
由⎰⎰≥∈==
)1()(,)1,0(,)()1(,)()(100
F F dx x f F dx
x f F λλλ
λλ时只要证 （1）
成立，由]1,0[,]1,0[)(在上连续在t F 内可导，且
·169·
,)
()()()()()()(2
0t
c f t f t t c f t t f t dx
x f t t f t F t -=-=
-=
'⎰其中,0t c ≤≤知
]1,0()(,0)(),()(在知有t F t F t f c f ≤'≥上递减，又0＜λ＜1，有),1()(F F ≥λ
即（1）式成立，由每一步可递，故原等式成立。

例3.2.14 设],[)(b a x f 在上连续递增，证明
dx x f b a dx x xf b
a b
a
)(2)(⎰
⎰
+≥
. 分析 转化为同一个函数在区间两端点函数值大小的比较，用单调性定理. 证法一 .要证原不等式成立，只要证0)(2
)(≥+-
⎰⎰
dx x f b a dx x xf b
a b a
成立 设)()(,)(2)()(a F b F dx x f t a dx x xf t F t
a t
a
≥+-
=
⎰
⎰
只要证 （1） 成立，由),(,],[)(b a b a t F 在上连续在内可导，且
)],()([2
)(2)(2)(2)(21)()(c f t f a
t c f a t t f a t t f t a dx x f t tf t F t a --=---=+--
='⎰ 其中,0)(),()(,],[)(,≥'≤≤≤t F t f c f b a x f t c a 知有递增在又
从而F （t ）在],[b a 上递增，由b ＞a ，得)1().()(即a F b F ≥式成立，由每一步可逆，故原不等式成立.
证法二 要证原不等式成立，只要证0)(2
)(≥+-
⎰⎰
dx x f b a dx x xf b
a b a
成立，只要证
0)()2
(≥+-
⎰dx x f b
a x
b a
成立，由,0)2
(21)2()2()2(2=+-⋅+=++-⎰b a b
a b a x b a f dx b a f b a x 只要证
0)]2
()()[2(≥+-+-⎰dx b a f x f b a x b
a （1）
成立，由],[)(b a x f 在递增，知)2
()(2b
a f x f
b a x +-+-与同号，有
,0)]2
()()[2(≥+-+-b a f x f b a x 从而（1）式成立，且每一步可逆，故原不等式成立.
证法三 由证法二知只要证0)()2
(≥+-⎰dx x f b a x b
a 成立，
由
dx x f b a x dx x f b a x dx x f b a x b b
a b
a a
b a
)()2()()2()()2(2
2+-++-=+-⎰⎰⎰
++ dx b
a x f dx
b a x f b b a b
a a
)2()()2()
(2
221+-++-
⎰⎰
++ξξ由推广的积分中值定理
·170
· )]()([2
)()(2)()(2)(122
2212ξξξξf f a b f a b f a b --=-+--=
其中],[)(,2
21b a x f b b
a a 在且≤≤+≤
≤ξξ上递增，知0)()(12≥-ξξf f 故不等式成立，因此原不等式成立。

例3.2.15 设)(x f 在区间[0，1]上可导，且满足,0)0(1)(0=≤'≤f x f 及证明 dx x f dx x f 3
10210
)]([])([
⎰⎰
≥.
分析 转化为同一个函数在区间两端点函数值大小的比较，用单调性定理. 证 要证原不等式成立，只要证0)]([])([3
1021
≥-⎰⎰
dx x f dx x f
成立，设,0)0(,)]([])([)1(,)]([])([
)(3
102103020
=-=-=⎰⎰⎰⎰
F dx x f dx x f F dx x f dx x f t F t t
由只
要证)0()1(F F ≥ （1）成立，
由]1,0[)(在t F 上连续，在（0，1）内可导，且 )],()(2)[()()()(2
)(2030
t f dx x f t f t f t f dx x f t F t t
-=-⋅='⎰⎰
由于,0)0()(,]1,0(.]1,0[)(,1)(0=≥∈≤'≤f t f t t f t f 时当上递增在知 令⎰
=∈-=,0)0(],1,0[),()(2
)(20
g t t f dx x f t g t
0))(1)((2)()(2)(2)(≥'-='-='t f t f t f t f t f t g .
知]1,0[)(在t g 上递增，当,0)(,0)0()(,]1,0(≥'=≥∈t F g t g t 从而时
因此上在]1,0[)(t F 递增，由1＞0，得),0()1(F F ≥即不等式（1）成立，且每一步可逆，故原不等式成立。

例3.2.16 设)(x f 在区间[0，1]上正值连续且递减，证明.)()()()(102
101
0210dx
x f dx x f dx x xf dx x xf ⎰⎰≤⎰⎰ 分析 转化为同一个函数在区间两端点函数值大小的比较，用单调性定理.
证 要证原不等式成立，只要证0)()()()(2
1
01
01
02
1
0≤⎰⎰-⎰⎰dx x f dx x xf dx x f dx x xf 成立 设,)()()()()(2
0002
0dx x f dx x xf dx x f dx x xf t F t
t
t
t
⎰⋅⎰-⎰⋅⎰=只要证
)0()1(F F ≤ （1）
·171·
成立，由F （t ）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且
dx x xf t f dx x f t tf dx x xf t f dx x f t tf t F t t t t )()()()()()()()()('02202002⎰-⎰-⎰+⎰=
dx x xf t f x tf x xf x f t tf t f t )]()()()()()([)(220--+⎰= dx x xf t f x tf x xf x f t tf t f t )]()()()()()(([)(220--+⎰=
dx x f t f x xf x f t f x tf t f t ))]()()(())()()(([)(0---⎰=dx x f t f x t x f t f t ))()()()(()(0--⎰=
由f(x)在[0，1]上递减且为正值，知(t-x )与))()((x f t f -异号，,0)(,0)(≥≥x f t f 所以
0)('≤t F ，因此F(x )在[0,1]上递减，又1>0，得)0()1(F F ≤,即不等式（1）成立，由每一步可逆，
故原不等式成立。

例3.2.17 设)(x f y =处处二阶可导，且,0)("≥x f 设)(t u u =为任意连续函数，证明
])(1[)]([100dt t u a
f dt t u f a a a ⎰≥⎰ （a>0常数）. 证 设
ab dt t u b dt t u a
a
a =⎰⇒=⎰)()(100， 由0)("≥x f 知)(x f y =是凹的，在曲线)(x f y =点))(,(00x f x 处的切线方程为
).)((')(000x x x f x f y -=-
对任意一点)(t u x =，由凹的定义知])()[(')())((b t u b f b f t u f -+≥，于是
dt b t u b f dt b f dt t u f a a a ])()[(')()]([000-⎰+⎰≥⎰
)()(')(')()(')()(')(b af ab b f ab b f b af a b bf dt t u b f b af a
b =-+=-⎰+=
即
].)(1[)()]([100dt t u a
f b f dt t u f a a
a ⎰=≥⎰ 例3.2.18 设],[)(
b a x f 在上连续且为正值，证明.)(ln 1))(1ln(dx x f a
b dx x f a b b
a b a ⎰-≥⎰-
证 由f(x)在],[b a 上连续必可积，有∑=→∆=
⎰n
i i
i
b
a
x
f dx x f 1
lim 0
)()(ξλ
把区间],[b a n 等分，则n
a
b x i -=
∆，有 .)(1)()()(1
lim
1
lim ∑∑
=∞→=∞
→-=-=
⎰n i i n n
i i n b a
f n a b n a b f dx x f ξξ
·172
· ∑=∞→=⎰-⇔n i i n b a f n dx x f a b 1
lim
)(1)(1ξ
由不等式算术平均数大于等于几何平均数知
.)]()()([)(11
211
n n n
i i f f f f n ξξξξ ≥∑= 两边取对数有 ，∑∑===≥n
i i n
n n i i f n f f f f n 1
1
211)(ln 1)]()()(ln[)(1ln ξξξξξ
令∞→n 得
∑∑=∞→=∞
→≥n i i n n i i n f n f n 1
lim
1lim
)(ln 1)(1ln ξξ n a b f a b f n f n n
i i n n i i n n i i n --=≥⇔∑∑∑=∞→=∞→=∞
→1
1lim
1lim )(ln lim 1)(ln 1)(1ln
ξξξ 有.)(ln 1])(1ln[
dx x f a
b dx x f a b b
a b a ⎰-≥⎰- 例3.2.19 设)(,0)("x x f ϕ>在[a,b]连续，证明.)]([1])(1[
dx x f a
b dx x a b f b
a b a ϕϕ⎰-≤⎰- 证 由)(x ϕ在],[b a 上连续必可积，把区间[a,b]分成n 等分，n
a
b x i -=∆，于是
n
a
b dx x n
i i n b a -=
⎰∑=∞
→1
lim )
()(ξϕϕ 由于,0)(">x f 知f(x)上凹，由凹的不等式知
])([1])(1[11∑∑==≤n i i n i i f n n f ξϕξϕ或.))((.1])(1[112n
a b f a b n a b a b f n i i n
i --≤-⋅-∑∑==ξϕξϕ 令∞→n 得 .)]([1])(1[
dx x f a
b dx x a b f b
a b a ϕϕ⎰-≤⎰-
例3.2.20 设f(x)在),(+∞-∞上有连续导数，且M x f m ≤≤)(，
（1）dt a t f a t f a
a
a
a )]()([412lim
0--+⎰-→+
；（2）证 )0()()(21>-≤-⎰-a m M x f dt t f a a a . 解（1）由积分中值定理和微分中值定理有
a
a f a f dt a t f a t f a a a a a 2)()()]()([41lim
2lim 0
--+=--+⎰+
→-+
→ξξ )0(')(')('1lim 01lim 01
f f f a ===+
+
→→ξξξ).22(1a a a a ≤+<<-≤-ξξξ
证（2） 由f(x)的有界性及积分不等式性质有M dt t f a
m a
a ≤⎰≤-)(21， 又 ,)(m x f M -≤-≤- 故有 m M x f dt t f a
m M a
a -≤-⎰≤---)()(21)(， 即 .|)()(21|
m M x f dt t f a
a
a -≤-⎰- 类型1.4 涉及到定积分的等式证明.
解题策略 用变量代换较多或利用周期函数的性质.
例3.2.21 证明
⎰
⎰
=20
20
)(cos )2(sin π
π
dx x f dx x f .
证
⎰⎰⎰
---==--22
2220
2
2)(cos 21
)]2[sin(21)2(sin π
ππ
ππ
π
πdt t f dt t f dx
x f t
x 令 ⎰
⎰
==20
2
).)(cos ()(cos )(cos π
π
是偶函数x f dx x f dt t f
例3.2.22 设f(x)是以π为周期的连续函数，证明
⎰
⎰+=+ππ
π20
)()2()()(sin dx x f x dx x f x x .
证 ⎰⎰
⎰
+++=+ππ
π
π0
220
)()(sin )()(sin )()(sin dx x f x x dx x f x x dx x f x x
而
dt t f t t dx
x f x x t
x ⎰⎰
++++++=π
π
π
ππππ20
)(])[sin()()(sin 令
⎰⎰⎰⎰++-=++-=π
π
π
π
ππ0
)()()(sin )()()(sin dx x f x dx x xf dt t f t dt t tf
故
⎰⎰⎰⎰
++-+=+ππ
πππ0
20
)()()(sin )()(sin )()(sin dx x f x dx x xf dx x f x x dx x f x x
)()2(0
x f x ⎰+=π
π.
例3.2.23 设f(x)在[0,1]上连续，试证：⎰
⎰=
20
20)|sin (|4
1)(sin π
π
dx x f dx x f . 分析 利用周期函数积分的性质. 证 由)2cos 1(2
1
sin |sin |2
x x x -=
=是π为周期的函数，当然也是以π2为周期的函数，知|)sin (|x f 也是以π为周期的函数，于是
⎰⎰⎰-==πππ
π0
20|)sin (|21|)sin (|41|)sin (|41dx x f dx x f dx x f ⎰⎰⎰-===22
2020)(sin |)sin (||)sin (|21
π
ππ
π
dx x f dx x f dx x f
例3.2.24 设f(x)是以π为周期的连续函数，证明
⎰
⎰+=+ππ
π20
)()2()()(sin dx x f x dx x f x x .
分析 利用周期函数积分的性质与变量代换.
证 ⎰⎰
⎰
+++=+ππ
π
π0
220
)()(sin )()(sin )()(sin dx x f x x dx x f x x dx x f x x
而
dt t f t t dx
x f x x t
x ⎰⎰
++++++=π
π
π
ππππ20
)(])[sin()()(sin 令
⎰⎰⎰⎰++-=++-=π
π
π
π
ππ0
)()()(sin )()()(sin dx x f x dx x xf dt t f t dt t tf
故
⎰⎰⎰⎰
++-+=+ππ
πππ0
20
)()()(sin )()(sin )()(sin dx x f x dx x xf dx x f x x dx x f x x
)()2(0
x f x ⎰+=π
π.
类型1.5 涉及到定积分变上下限函数的等式证明.
解题策略 用分变上下限函数的求导，注意要化成标准形式.以下两题类似.
例3.2.25 设连续函数f(x)满足
dx x f e dt t x f x x ⎰
⎰-=--0
1
2)(,1)(求.
分析 要化成变上下限函数的标准形式，然后等式两边对x 求导 解 令u t x =-，有⎰
⎰⎰=-=-x
x
x
du u f du u f dt t x f 0
0 0
,)()()(
从而得到
⎰
-=-x
x
e
du u f 0
21)(，令x=1有 ⎰⎰-==-10
1
2.1)()(e dx x f du u f
例3.2. 26 求连续函数f(x)，使满足
⎰
+=1
.)()(x xe x f dt xt f
分析 通过变量代换把左边的积分化成变上限函数的标准形式，然后等式两边对x 求导 解
⎰
⎰
⎰=⋅=1
)(11)()(x
x
u
xt du u f x du x u f dt
xt f 令代入等式并化简有
⎰
+=x
x e x x xf du u f 0
2)()(，
等式两边同时对x 求导有 x
x
e x xe x x
f x f x f 2
2)(')()(+++=，
得 )2()('x
x
xe e x f +-=.
于是 c xe e c e xe e dx xe e x f x
x x x x x x +--=+---=+⎰-=)(2)2()(.。