湖北省武汉市2019届高三第二次模拟考试 文科数学试卷

湖北省武汉市2019届高三第二次模拟考试
数 学（文科）
本试卷共4页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔
在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1． 已知集合A ＝{x |x ﹣1＜2}，B ＝{x |1＜2x
＜16}，则A ∩B ＝
A ．（﹣∞，8）
B ．（﹣∞，3）
C ．（0，8）
D ．（0，3）
2． 复数z ＝5
1i i
-（i 为虚数单位）的虚部为
A ．－
12
B ．
12
C ．－
12
i D ．
12
i 3． 双曲线9x 2
﹣16y 2
＝1的焦点坐标为
A ．⎪⎭
⎫
⎝⎛±
0,125 B ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛
±
125,0 C ．（±5，0） D ．（0，±
5） 4． 若
，则cos2α＝
A ．－
1
2
B ．－
13
C ．
13
D ．
12
5． 已知函数)(x f 在),(+∞-∞上单调递减，且当x ∈[﹣2，1]时，f （x ）＝x 2
﹣2x ﹣4，则关于x 的不等式
1)(-<x f 的解集为
A ．)1,(--∞
B ．)3,(-∞
C ．)3,1(-
D ．),1(+∞-
6． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．3π
B ．4π
C ．6π
D ．8π
7． 执行如图的程序框图，依次输入x 1＝17，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，
x 5＝23，则输出的S 值及其统计意义分别是 A ．S ＝4，即5个数据的方差为4 B ．S ＝4，即5个数据的标准差为4 C ．S ＝20，即5个数据的方差为20 D ．S ＝20，即5个数据的标准差为20
8． △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知
1，则cos B 的取值范围为
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21
B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21
C ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,21
D ．⎪⎭
⎫⎢⎣⎡1,21
9． 已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足031216=--，则
A ．AC A
B OA 312+= B ．A
C AB OA 312-= C ．312+-=
D ．312--=
10．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中
末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC
是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足618.02
1
5≈-==AC BC AB AC ． 后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点在 △ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在△ABC 内任取一 点M ，则点M 落在△APQ 内的概率为
A B ．25-
C D 11．已知F 为抛物线C ：x 2＝4y 的焦点，直线y ＝
2
1
x +1与曲线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB ＝ A ．
5
52 B ．
5
54 C ．5 D ．52
12．函数x x x g x kx x f -=-=ln 2)(,ln )2()(，若f （x ）＜g （x ）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，
则k 的取值范围为
A ．⎪⎭
⎫⎢⎣⎡
--3ln 134,2ln 211 B ．⎥⎦
⎤ ⎝⎛
--
3ln 134,2ln 211 C ．⎪⎭
⎫⎢⎣⎡--2ln 12,3ln 1
34
D ．⎥⎦
⎤ ⎝⎛--2ln 12,3ln 1
34 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知函数⎩
⎨⎧≤->=1,131
,log )(3x x x x f x ，则))2((f f ＝ ．
14．设x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤--≤-+,1,012,01123x y x y x 则z ＝2x +y 的最大值为 ．
15．在三棱锥P ﹣ABC 中，AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝3，则三棱锥P ﹣ABC 的内切球
的表面积为 ． 16．已知函数)0(2
1
6sin )(>+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
=ωπωx x f ，点P ，Q ，R 是直线y ＝m （m ＞0）与函数f （x ）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ |＝|QR |＝
3
2π
，则=+m ω ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考
生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．（12分）
设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝1﹣a n （n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n ＝log 2a n ，求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n T ．
18．（12分）在五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为矩形，CD ＝2DE ＝2AD ＝2AB ＝4，AC ＝52，∠EAD ＝30°．
（1）证明：AB ⊥平面ADE ； （2）求该五面体的体积．
19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一
如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数y
ˆ，再求y ˆ与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．
（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；
（2）若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程a x b y ˆˆˆ+=，并判断此方程是否是“恰当
回归方程”；
（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到
整数）分钟．
附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），……，（x n ，y n ），其回归直线a x b y ˆˆˆ+=的斜率和截距的最
小二乘估计分别为：
20．（12分）
已知点⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-3,22),2,1(都在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点M （0，1）的直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q （异于顶点），记椭圆与y 轴的两个交点分
别为A 1，A 2，若直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，证明：点S 恒在直线y ＝4上．
21．（12分）
已知函数f （x ）＝e x
﹣2ax （a ∈R ）
（1）若曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线与直线x +2y ﹣2＝0垂直，求该切线方程； （2）当a ＞0时，证明f （x ）≥﹣4a 2
+4a
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩
⎨⎧==,sin 2,
cos 2θθy x （θ为参数）已知点Q （4，0），点P
是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；
（2）已知直线kx y l =:与曲线C 2交于A ，B 两点，若AB OA 3=，求k 的值．
23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)
已知函数)0(12)(>-++=a x a x x f ． （1）求)(x f 的最小值；
（2）若不等式05)(<-x f 的解集为（m ，n ），且n ﹣m ＝4
3
，求a 的值．
数学（文科）参考答案。