高等电力系统分析-第二章-电力系统网络矩阵

第二章
电力系统网络矩阵作业：2-1, 2-6, 2-7
2
2．1 节点导纳矩阵Y
●N 个节点（不含地），b 条支路●A 0－(N+1)×b 阶, y b －b ×b 阶●则(N+1)×(N+1)阶节点不定导纳矩阵为：
T 00b 0
Y A y A
2.1.1 Y 的性质、特点及物理意义(1)节点不定导纳矩阵0
Y
3
01
b
T k k k
k y ===∑Y M M k k
k
k
y y y
y --想象：透明胶片的叠加
4
节点方程
1,11,21,1,1112,12,22,2,122,1,2,,1`1,11,21,1,111N N N N N N N N N N N N N N N N
N N N N Y Y Y Y V I Y Y Y Y V I Y Y Y Y V I Y Y Y Y V I ++++++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦
参考节点
6
节点不定导纳矩阵Y 0的性质
性质1：无移相器时，Y 0对称：=T 00b 0
Y A Y A
中的每个非零元都是实数，而Y b 是对角线矩阵。

0A 由于
=T 00
Y Y
8
性质3：Y 0是奇异矩阵，并有0Y 1=0
证明：
=T 00b 0
Y A Y A
01
b
T k k k
k y =∴==
∑Y M M k k k
k
y y y y --01
1
()()
b b
T T k k k
k k k
k k y y ==∴==∑∑Y 1M M 1M M 10
T k
=M 1而
9
◆齐次方程存在非零解,所以
Y 0奇异（数学
上的理解）；
◆所有节点电位相同时，支路无电流（物理意义上的理解）；
0Y 1=0
怎样理解？
10
T ∴1I = 0∴T
1Y =0 V 0Y 1=0
0T
1Y =0
对任意节点电压都成立
1
3
2
4
1
I 2
I 3
I 4
I 1,1
1,21,31,411
2,12,22,32,4223,13,23,33,4334,1
4,24,34,444Y Y Y Y V I Y Y Y Y V I Y Y Y Y V I Y Y Y Y V I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
12340
I I I I +++= N=3, N+1=4
11
如果电力网络无接地支路，这时是一个浮空网:
13
2
4
1
I 2
I 3
I 4
I 40
I = 1230
I I I ++= N 个节点的
网络Y 0奇异
此时不独立
3I 例
12
（2）节点定导纳矩阵Y
选地为参考节点，排在N+1位置，参考电压是零
T I
y = V 0o T o
o o y I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
Y y I y V 是地节点电流平衡方程
是网络方程，不含地节点Y =I
V 不独立
13
1
3
2
4
1
I 2
I 3
I 4
I 1,1
1,21,31,411
2,12,22,32,4223,13,23,33,433
4,1
4,24,34,440Y Y Y Y I V Y Y Y Y I V Y Y Y Y I V Y Y Y Y I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1,11,21,311
2,12,22,3223,13,23,333Y Y Y V I Y Y Y V I Y Y Y V I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
节点不定导
纳矩阵
节点定导纳
矩阵
例
Y =I
V
14
433
Y V 411
Y V 1
4,14,24,3243V Y Y Y V I V ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎣
⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
4411422433
I Y V Y V Y V =++ 1
3
2
4
1
I 2
I 3
I 4
I 422
Y V 411
y V 4141
Y y =-地节点电流平衡方程
4123
I I I I =--- 各节点接地支
路电流
•天网上节点注入电流之和＝接地支路电流之和的负值＝流出地节点电流
T
I y = V
15
节点定导纳矩阵的性质
性质1：无移相器支路时，Y 是N ×N 阶对称矩阵
T
b Y =Ay A
性质2：Y 是稀疏矩阵
对Y 的贡献
k k k
k
y y y y --i
k
y j
16
[]T l
m l l k T m
k k
y y y
y ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
M M M M T T T T
l l l
l m k
k m l
k k k
y y y y =+++M M M M M M M M
1
l m l
m m k m
k z z y y z z y y -⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
i
l
z j
p
k
z q
m
z 两条支路有互感时，它们对应的支路导纳子矩阵是：
对节点导纳矩阵的贡献是
17
l m l m m k m k l m l m m
k
m
k
i p j q y y y y i y y y y p y y y y j y y y y q ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
对节点导纳矩阵的贡献是
i
j
p
q
新增耦合等值支路
i
l
z j
p
k
z q
m
z i
j
p
q
m y -m
y -m
y m
y l y k
y
18
性质3：有接地支路时，Y非奇异，Y每行元素之和等于该节点接地导纳
1
3
2
4
1
I 2
I 3
I 4
I 1,11,21,32,12,22,33,13,23,3Y Y Y Y Y Y Y Y Y ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
节点4不包括在内
如果节点接地支路的导纳较小
时，Y接近奇异
例
19
12131012
13
21122320
23
3132
132330y y y y y y y y y y y y y y y ++--⎡⎤⎢⎥=-++-⎢⎥
⎢⎥--++⎣
⎦
Y N =3，b =6，N +1=4
1
3
2
1
I 2
I 3
I 0
I 节点定导纳矩阵的形态
例
21
（3）Y 的物理意义
表示短路参数：在节点i 接单位电压源，其余节点短路接地，流入节点i 的电流数值为自导纳Y ii ，流入节点j 的电流数值为互导纳Y ji
32
Y 123
12
Y 22
Y +_
1
[]1222321Y Y Y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
Y
22
1
3
2
22112
I Y y ==- 111121310
I Y y y y ==++ 12
y 33113
I Y y ==- 13
y 10
y 1
+_ 示例
例
（自导纳）（互导纳）
（互导纳）
24
2.1.3 Y 的修改
◆支路追加和移去
T l l l
y '=±Y Y M M
◆节点合并
(母联开关合上）
注意移去连支、树支、桥支路的情况
行相加（电流之和等于总电流）
1,11,21,311
2,12,22,3223,13,23,333Y Y Y V I Y Y Y V I Y Y Y V I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2
V 3
V 23
V V = 23I I I +=
列相加（节点电压相等）
25
1,11,21,311
2,12,22,3223,13,23,323Y Y Y V I Y Y Y V I Y Y Y V I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1,11,21,31
12,12,22,3223,13,23,33Y Y Y I V Y Y Y I V Y Y Y I ⎡⎤⎡⎤+⎡⎤⎢⎥
⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
1,11,21,311
2,13,12,22,33,23,3232Y Y Y I V Y Y Y Y Y Y I I V +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦
23
V V = 23I I I +=
26
节点p消去
n p T p pp Y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
Y Y Y p T p
pp Y ⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
Y Y 1T n n p pp p
Y -=-Y Y Y Y 1
T p pp p
Y --Y Y
p
p
擦除
增加
27
◆某节点
s 电压给定，V s 是已知量，求其余节点的
电压
n s n n T s
ss s s Y V I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
Y Y ΙY V n n n s s
V =-Y ΙY V 把节点s的电压源变
成电流源
减少一个待求量，方程减少一阶
和s 相连的节点，注入电流有一个增量
28
◆变压器变比变化时的修正
变比由
变成
t
t '
[]
111/1/l y t
t ⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
Y []
111/1/l y t t ⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥''
=-'⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
Y '∆=-Y Y Y
可在原网络上贴
◆支路参数变化时的修正
l y l y '
参数由变成在原网络上贴
y y y
'∆=-变压器支路对导纳矩阵的贡献
29
（1）以地为参考节点的Z ，N ⨯N 阶（有接地支路）
2．2 节点阻抗矩阵Z
1
-=Z Y
2.2.1 Z 的性质、特点及其物理意义
.
Z I = V
（2）Z 元素的物理意义
开路参数
（3）Z 矩阵的性质
Z矩阵对称（互易定理）
Z是非奇异的满阵（为什么非奇异？为什么满阵？）
对纯感性支路组成的无源网，节点自阻抗更大，即| Z ii|≥| Z ij|
对纯感性支路组成的无源网，节点对的自阻抗更大，| Z ij,ij|≥| Z ij,kl|
节点对的自阻抗| Z ij,ij|≠0，除非ij端口存在短路。

30
2.2.2 支路追加法形成Z--系统化的方法•直观的想法
–已经形成部分网络的节点阻抗矩阵，追加一条支路
，求新的部分网络的节点阻抗矩阵；
–先处理接地支路－> 对角线矩阵
–再追加连支－> 利用矩阵求逆辅助定理求新的矩阵
Z
（0）
其他候选支路
31
32
a T A =A +M N 1111c -----T A =A A M N A
111
()
T c a ---=+N A M 矩阵求逆辅助定理
可以通过互逆矩阵两者相乘，其值为单位矩阵来验证
33
（1）部分网络：
100
-=y z
假设已经形成了部分网络的节点阻抗矩阵
部分网络的元件阻抗矩阵z 0和元件导纳矩阵y 0
(0)
Z
58
1n s n s n T T s ss s
ss Y Z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦Y Y Z Z I Y Z n s n n T T s s ss Y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦⎣⎦Y Y Z I Z Y ()1T n
s ss
s
n
n
Y
--=Y
Y Y
Z
I n n =Y Z I
●N 个节点的电网，如果存在接地支路，则N ⨯N 阶矩阵Y 可逆，其逆为Z 。

●如果在其中选择一个节点s ，其余节点共有n 个，
消去节点s
单位
矩阵
2．3 Y 和Z 之间的关系
59
1
n n
-≠Z Y
1n n
-=Z Y 1T n n s ss s
Y -=-Y Y Y Y n
Y -n
Y =
s Y T s
Y
1
ss
Y
-n
Z n
Y ()
1
11T n n n s ss s Z ---==-Y Z Z Z Z
60
有接地支路时，Y 与Z 互逆（N N 阶）
n n Z Y 和互逆n n Z Y 和互逆Z Y 和互逆
n n Z Y 和不互逆
Z
Y n
Z n
Y n
Z n
Y
61
若无接地支络，N ⨯N 阶Y 矩阵不可逆，则可选一个节点电压给定，n ⨯n 阶Y n 矩阵可逆
1
3
2
1
I 2
I 3
I 1
320
1
I 2
I 3
I 0
I N ⨯N 阶Y 矩阵
N=3n ⨯n 阶Y n 矩阵，n =2
62
2．4 节点法和回路法的关系
T T T b L b N
--1=(T B Z B T ) I z I N b b
=T V z I =(T T T N N b b L b N
=--1Z T T T B Z B T ) V I z z z I radial loop =+=T
T T T T T T T T L T T T
--1Z Z Z T T T B Z B T
z z z radial =T T T T
Z T T
z。