z变换的基本知识

z变换基本知识
1z变换定义
连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进
行研究。

一个连续信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)是复变量s的有理分式函数；而
微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为s的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。

因此，拉普拉斯
变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。

计算机控制系统中
的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z变
换。

连续信号f(t)通过采样周期为T的理想采样开关采样后，采样信号f*(t)的表达式为OO
f*(t)=1，f(kT)、(t-kT)=f(0)、(t)f(T)、(t-T)•f(2T)、(t-2T)k O
f(3T)5(t-3T)+|||(1)
对式(1)作拉普拉斯变换
F*(s)=L[f*(t)]=f(0)f(T)e^f(2T)e'sT f(3T)e4T lM
od
=£f(kT)e3r(2)
k0
从式(2)可以看出，F*(s)是s的超越函数，含有较为复杂的非线性关系,
因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。

为此，引入了另一个复
变量“z”，令
z=e sT(3)
代入式(2)并令F*(x)i=F(z),得s平lnz
F(z)=F(0)+f(T)z,+f(2T)zN+|||=：ff(kT)z-(4)
k 0
式(4)定义为采样信号£*("的2变换，它是变量z 的幕级数形式，从而有利于问题的简化求解。

通常以F(z)=L[f*(t)]表示。

由以上推导可知，z 变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信 号作z=e sT 的变量置换。

f*(t)的z 变换的符号写法有多种，如
Z[f*(t)],Z[f(t)],Z[f(k)],Z[F*(s)],F(z)等,不管括号内写的是连续信号、
离散信号还是拉普拉斯变换式，具概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z 变 换。

式(1),式(2)和式(3)分别是采样信号在时域、s 域和z 域的表达式，形式上都是多项式之和，加权系数都是f(kT),并且时域中的d(t-kT)>s 域中的
e"sT &z 域中的z”均表示信号延迟了k 拍，体现了信号的定时关系
在实际应用中，采样信号的z 变换在收敛域内都对应有闭合形式，具表达式
是z 的有理分式
或z 」的有理分式
Kz-L (1+d m^z~1+|||+d 1z um41+d 0z"n )
1Cn 」z"IIIGz"1C°zH
其分母多项式为特征多项式。

在讨论系统动态特征时,更为有用，式(5)可改写为式(7)
KN(z)K(z-zJ|H(z-z m )
F(z)==
D(z)(z-P I )|I|(Z -P n )
2求z 变换的方法
1)级数求和法
F(z)=
K(z m d m 」z m
，HId 〔zd 0)
z n +C —z n 」+|||+C i z +C 。

l=n-m(6)
z 变换写成零、极点形式
mWn ⑺
F(z)=
根据z 变换定义式(4)计算级数和，写出闭合形式 例1求指数函数£代)=靖的z 变换。

解连续函数f(t)的采样信号表达式为
od
f *(t)-e ，t-kT)=、：(t)e 」、：(t —T)e 2T ：(t-2T)■|||k 0
对应的z 变换式为
OO
F(z)="f(kT)z&=1e 」z/e^Tz -2|“
k
』
上式为等比级数，当公比e 」z,<1时，级数收敛，可写出和式为
例2求单位脉冲函数d(t)的z 变换解因为采样信号的表达式为
f*(t)=f(0)、(t)f(T)、(t-T)f(2T)、(t-2T)HI
对f(t)=6(t)函数，它意味着f*(t)仅由一项组成，即f*(t)=f(0》t)且
f(0)=1。

所以
QO
F(z)=Z[、(t)]-<：f(kT)z"-f(0)z9=1
k-0 2)部分分式展开法
最实用的求z 变换的方法是利用时域函数f(t)或其对应的拉普拉斯变换式
F(s)查z 变换表(见教材附录)，对于表内查不到的较复杂的原函数，可将对应
的拉普拉斯变换式F(s)进行部分分式分解后再查表。

F(s)的一般式为
(1)当A(s)=0无重根，则F(s)可写为n 个分式之和，即
F(z)=
T
」 1-ez
z
z-e
F(s)=
B(s)b 0s m :bs"[jjb m 」s:b m
A(s)
s n ■
a 1s n "Hla n ^sa n
(8)
CCCiCn
F(s)=•Ib—HI7
S-S n
系数C i可按下式求得，即
C i=(s-s)Es)sm
可展成如下部分分式之和，即
d,
C
r」=ds||_(s-si)F(s)(9)
(10)
(2)当A(s)=0有重根,
设5为r阶重根，.中, 5幸,HI,s n为单根,则
F(s)
F(s)=
C.」
(s-
s i)
r_1
(s-S)
C1C r1Cn
HI—・—^III—
(11)
s_s^s_s r1s-s n
式（11）中C r*IM,C n为单根部分分式的待定系数，可按式（10）
计算。

而重根项待定系数C i,C2,IM,CR的计算公式如下
c r=(s—s i)r F(s)
s=si
C r_j=
1d j j!ds j (12)
1d r4 (r-1)!ds rJ
例3已知F(s)=
s(s1)2(s3)
,求其相应
用F ⑸直接查z 变换表查不到，所以必须先进行部分分式分解。

该式可
分解为
F(s)=
C 2C 1C 3C 4
-T-"T"
(s1)2s1
其中
C 2=(s1)2
I_2
s(s1)2(s3)
sa
2
C1
=7s '1)2L
s(s +1)2
(s+3)1
s’
4
_(s -
S]
.(s -
对照z 变换表，查得
3z 变换的基本定理
z 变换的基本定理和拉普拉斯变换很相似，见表1。

这些定理一般均可用z
变换定义来证明，以下选择一些常用的定理进行证明。

表1拉普拉斯变换和z 变换特性
拉普拉斯变换
k
=s k F(s)s k_j f (j4)(0)
j 1
s(s1)2(s3)
s-0
C 4=(s3)2
4s(s1)2(s3)
将诸常数代入部分分式中，有
s -_3
+—J-~
12s3
F(z)=-
Tze 」3
2(z-e 」)2
4z-e 」
2iz1I
z
■--2Tze 」-3z 23ze 」
T
、2
4(z-e)
3z-112z-e
3T
(13)
Z 变换
线性
L[f 1(t)-f 2(t)]=F 1(s)—F 2(s)
Z[f 1(t)—f 2(t)]=F 1(z)—F 2(z)
1
L[F 1(s)-F 2(s)]=f 1(t)-f 2(t) 1
Z 」[F 1(z)-F 2(z)]=f 1(t)-f 2(t) L[af(t)]=aF(s) Z[af(t)]=aF(z)
L 」[aF(s)]=af(t)
Z 4[aF(z)]=af(t)
实微分（实超 前位移）
L g f ⑴:
ZIf(tlT)l
l4
=z l F(z)-%z lT f(j)
jH
复微分L[
f(t)]=ds F(s)Z[tUf(t)]--Tz() dz
tU
(1)右位移(延迟)定理
若Z[f(t)]=F(z),则
Z[f(t-nT)]=z 』F(z)
式中n 是正整数。

证明根据定义
Z[f(t-nT)]="f(kT-nT)z&=z5"f(kT-nT)z 4kul)
k=0
Z[f(t-nT)]=z ''、f(mT)z^
m=-n
根据物理可实现性，t M0时f(t)为零，所以上式成为
实延迟 位移 L[f(t-T 。

)1(t-T 0)]=e^T 0
F(s)
Zlf(t-lT) .1(t —lT)]=z 」F(z)
初值 lim f(t)
=limsF(s)
s -咨
limf(kT)=
limF(z)
终值
段f(t)
=lim)sF(s)
limf(kT)=k __
ic
网(1-z 」)F(z) 比例尺变换 L[f(at)]
1
F 「s |'
Fa l a J
Z[f(anT)]:
l/"a 、二F(z)
实卷积 L[M(t)* f 2(t)]=F 1(s)H(s)
Z[ G(n)*f 2(n)]=、(z)F 2(z)
求和
一
Z ")[
=11」F(z) 1-z
f(kT) ■z
T - kT
1)实域位移定理 #+1km
二F()
复积分
=sF(p)dp
Z _—)
(14)
k =fi
oCi
Z[f(t —nT)]=z 」v f(mT)z5=z —n F(z)
mq0
位移定理的时域描述如图1所示。

图1位移定理的时域图形描述
从图中可以看出，采样信号经过一个z n 的纯超前环节，相当于其时间特性 向前移动n 步；经过一个z 」的纯滞后环节，相当于时间特性向后移动n 步
(2)左位移(超前)定理
若Z[f(t)]=F(z),则
证明根据定义有
QO
Z[f(tnT)]-\f(kTnT)z”
k=0 令k,n=r,贝U
Z[f(tnT)]="f(rT)z"3)=z n
，f(rT)z"二
r
才r=n
n4n
」
z n '、f(rT)z’J f(rT)z"=z n F(z)J f(kT)z 」_r=0r=0_k=0
当f(0)=f(T)=f(2T)=|||=f[(n-1)T]=0时，即在零初始条件下，则超前定理 成为
Z[f(tnT)]:z n
n
」
F(z —f(kT)z”
,k =0
(15)
(16)
Z[f(tnT)]=z n F(z)
2)复域位移定理
若函数f(t)有z变换F(z),则
Z[e,at f(t)]=F(ze妒)(17)
式中a是常数。

证明根据z变换定义有
Z[e*at f(t)]=%f(kT)e干akT z/
kz0
令z i=ze*T,则上式可写成
Z[e”f(t)]一一f(kT)z/=F(z i)
k斗
代入z i=ze*T,得
Ze”f⑴=F(ze aT)
3)初值定理
如果函数f(t)的z变换为F(z),并存在极限limF(z),则z二
limf(kT)=lmF(z)(18)
或者写成
f(0)=limF(z)(19)
z-：:：
证明根据z变换定义，F(z)可写成
oo
F(z)=，，f(kT)z"二f(0)f(T)z'f(2T)z，HI k=0
当z趋于无穷时，上式的两端取极限，得
limF(z)=f(0)=limf(kT)zk—0
4)终值定理
假定f(t)的z变换为F(z),并假定函数(1-z')F(z)在z平面的单位圆上或圆外没有极点，则
limf(kT)=lim(1-z")F(z)(20)
证明考虑2个有限序列 n 2f(kT)z-=f(0)+f(T)z J +|||+f(nT)z J (21) k £ 和 n 工f[(k-1)T]z A =f(4)+f(0)z,+f(T)z/+|||+f[(n —1)T]z 』(22) k 卫 假定又t 于t<0时所有的f(t)=0,因此在式(3-34)中f(-T)=0,比较式(22) 和式(21),式(22)可写成 nn 1 工f[(k —1)T]z”=z ,2f(kT)z”(23) kz0kz0 令z 趋于1时，式(21)与式(23)差取极限，得nn 1 lim'f(kT)z"-z~f(kT)z” 3kz01 nn 1 八f(kT)-，f(kT)=f(nT)(24) kz0kz0 在式(24)中取n T 比时的极限，得 nn 」 limf(nT)=lim^lim 匹f(kT)z“-z 」£f(kT)zf(25) "T n —?°[T ]k=0k=0_|J 在该式右端改变取极限的次序，且因上式方括号中当n T S 时，两者的级数和均 为f(z),由此得 阿f(nT)=呵(1-z 」)F(z) 终值定理的另一种常用形式是
必须注意，终值定理成立的条件是，(1-z')F(z)在单位圆上和圆外没有极 点，即脉冲函数序列应当是收敛的，否则求出的终值是错误的。

如函数F(z)—,z-2
其对应的脉冲序列函数为f(k)=2k ，当kT 8时是发散的，而直接应用终值定理n m”nT)=理(2-1)F(z)
(26)
f*/「则1-z 」)告=。

"
z Z-2
4z 反变换
1)定义
求与Z 变换相对应的米样函数f(t)的过程称为Z 反变换，并表示成
1__*,_
Z[F(z)]=f(t)=f(kT) 注意：z 反变换的结果只包含了采样时刻的信息，它与连续信号无一一对应关系,即
_1_-
Z[F(z)]=f(t) 如图2所示，3种不同的连续信号对应着同一个采样信号序列
图2采样信号与连续信号的关系
换句话说，z 反变换唯一对应采样信号，但可对应无穷多个连续信号。

2)z 反变换的求法
(1)幕级数展开法(长除法)
根据z 变换的定义，若z 变换式用幕级数表示，则z*前的加权系数即为采样时刻的值f(kT),即
与实际情况相矛盾。

这是因为函数 F(z)不满足终值定理的条件所致。

(27) (28)
F(z)=f(0)f(T)z,f(zT)z J |bf(kT)z*"I
对应的采样函数为 f(t)=f(0)、(t)f(T)、(t-T)f(2T)、(t-2T)f(kT)、(t-kT)川 11z 2—15z6 z 3-4z 25z-2 解利用长除法 11z,29z^67z 与145z%
、一2一一」
-)11z-44z55-22z ~z~~j
29z-4922z
-1-2 -)29z-116145z-58z
67-123z 」58z^
-)67-268z 」川
145z 」
由此得采样函数为
_*-d 一-iLi
f(t)=11、(t-T)29c(t-2T)67、(t-3T)145、(t-4T)|||
用长除法求z 反变换的缺点是计算较繁，难于得到f(kT)的通式；优点则是计算并无难度，用计算机编程实现也不复杂，而且工程上也只需计算有限项数即可。

(2)查表法(部分分式展开)
工程上最常用的方法是查表法，若F(z)较复杂，则首先必须进行部分分式 展开，以使展开式的各项能从表中查到。

经常碰到z 变换式F(z)是z 的有理分式,对此，可以将F(z)/z 展开成部分分式，然后各项乘以z,再查表。

这样做是因为绝大部分z 变换式的分子中均含有一个z 因子。

首先假定F(z)的所有极点是一阶非重极点，则展开式如下 已知F(z)= ，求f *(t) z 3-4z 25z-z
11z
2-15z6
皿二AI”.4 zz-z1z-z2z-z n
(29)
式中乙(i=1,2,||[,n)是F(z)的极点，系数A 可由下式求出
A=(z —为工i=1,2,|||,n(30)
z Z 凸
在式(29)两端同乘z,得
一、A 1zA 2z i A n z
F(z)=——+——+|||+—-n-^(31)
z -4z -z 2z -z n
从z 变换表中查得每一项的z 反变换，得
n
f(kT)=A i z i k +A 2z ：+|||+Az ：=£Az ：(32)
i4
由此得
n
f(t)=£(Z Az k )6(t —kT)(33)
k=0i 1
当F （z ）有重根时，部分分式形式及系数计算参见式（10）和式
（12） 例5求下式的z 反变换
解该式的部分分式分解可得以a 的部分分式展开式为:
z F(z)23
一一，,、2一,
z(z —1)z —1 查表得
f(k)=-2k-3u(k)
采样信号为
oO
f*(t)-\[-2k-3u(k)](t-kT)
k=0 F(z)= _2_2
-3zz(z-3z)
z 2-2z1(z-1)2
其中 u(k)=10 k-0
k0。