北师大版八年级数学下册第四章：3、公式法 第1课时 教学课件%28共25张PPT%29
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＝[(m－a)＋(n＋b)][(m－a)－(n＋b)] ＝(m－a＋n＋b)(m－a－n－b)；
五、 课堂练习
（3）x2－(a＋b－c)2 ＝[x＋(a＋b－c)][x－(a＋b－c)] ＝(x＋a＋b－c)(x－a－b＋c)；
（4）－16x4＋81y4 ＝(9y2)2－(4x2)2 ＝(9y2＋4x2)(9y2－4x2) ＝(9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x)．
四、 典例精讲
例3 判断下列分解因式是否正确．错误的加以改正． （2）a4－1＝(a2)2－1＝(a2＋1)·(a2－1)．
解：不正确． 错误原因是因式分解不彻底，因为a2－1还能继续分解成(a＋ 1)(a－1)．正确解答应为 a4－1＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
五、 课堂练习
3．把下列各式因式分解： （1）36(x＋y)2－49(x－y)2； 解：36(x＋y)2－49(x－y)2 ＝[6(x＋y)]2－[7(x－y)]2 ＝[6(x＋y)＋7(x－y)][6(x＋y)－7(x－y)] ＝(6x＋6y＋7x－7y)(6x＋6y－7x＋7y) ＝(13x－y)(13y－x)；
六、 课堂小结
1．我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差 公式法．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后 看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行．
第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要 进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止．
六、 课堂小结
第四章 因式分解
4.3 公式法 第1课时
一、 学习目标
1．经历通过整式乘法公式(a＋b)(a－b)= a2－b2 的逆向变形得出公式 法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力。 2. 会用平方差公式分解因式。
二、 情境导入
问题1：请同学们观察多项式x2－25，9x2－y2，它们有什么共同 的特征？
二、 情境导入
事实上把乘法公式(a＋b)(a－b)= a2－b2反过来，就得到平方差公式 a2－b2=(a＋b)(a－b)．
三、 探究新知
1．平方差公式的再认识 问题1：上面我们将一个具备一定特征的多项式进行了分解因 式，这里的特征就是该多项式是两项差式，各项都能够写成平方形 式．
现在你能结合平方差公式具体谈谈它的用途吗？
三、 探究新知
将图1中下方的阴影部分割补到上方阴影的右侧（如图2 ）， 在图2中阴影的面积为(a＋b)(a－b)．
图1
图2
所以有a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
四、 典例精讲
例1 分解因式：（1）25－16x2；（2） 9a2－ 1 b2． 4
解：（1）25－16x2＝52－(4x)2＝(5＋4x)(5－4x)；
2．分解因式的一般程序： （1）观察．观察多项式的结构特征，明确下一步的方向． （2）提取公因式．有公因式的先提取出来，为下一步做好准
备． （3）使用平方差公式继续分解． （4）分解因式的最终结果必须彻底到位．
再见
五、 课堂练习
1．判断正误．
（1）x2＋y2＝(x＋y)(x－y ) ；
( ×)
（2）x2－y2＝(x＋y)(x－y)；
(√ )
（3）－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)； ( × )
（4）－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)． ( × )
五、 课堂练习
2．把下列各式分解因式． （1）a2b2－m2；（2）(m－a)2－(n＋b)2； （3）x2－(a＋b－c)2；（4）－16x4＋81y4． 解：（1）a2b2－m2＝(ab)2－m2＝(ab＋m)(ab－m)； （2）(m－a)2－(n＋b)2
四、 典例精讲
（2）2x3－8x＝2x(x2－4)＝2x(x＋2)(x－2)． 点评：本题的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后 借助于整体方法使用平方差公式分解因式，公式中的a在这里指代的 是3(m＋n)，b指代的是m－n；
四、 典例精讲
（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此 可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时， 首先要考虑提公因式法，再考虑公式法．
三、 探究新知
公式
，从左向右用来处理特殊的整式乘
法，而由右向左则用来处理特殊多项式的分解因式问题．由此可以
又进一步体会到整式乘法与因式分解的互逆过程．
三、 探究新知
问题2：你能给平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)一个直观的解释 吗？
答：如图1，在边长为a的大正方形左下角挖去一个边长为b 的小正方形后剩下的图形面积为a2－b2；
答：因为多项式x2－25，9x2－y2，可分别化为x2－52和(3x)2－ y2的形式，所以它们的共同特征是：都是两个数平方差的形式．
二、 情境导入
问题2：尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流．
答：多项式x2－25，9x2－y2的共同特征都是两项，且都是差的 形式，各项都能写成平方的形式：x2－25＝x2－52＝(x＋5)(x－5)； 9x2－y2＝(3x)2－y2＝(3x＋y)(3x－y)．
（2）9a2－
1 4
b＝2 (3a)2－(
1 2
b)2＝(3a＋1b)(3a－
2
1 2
b)．
点评：本题是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，
再利用平方差代3a，b指代 12b．
四、 典例精讲
例2 把下列各式分解因式： （1）9(m＋n)2－(m－n)2；（2）2x3－8x． 解：（1）9(m＋n)2－(m－n)2＝[3(m＋n)]2－(m－n)2 ＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)] ＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n) ＝(4m＋2n)(2m＋4n) ＝4(2m＋n)(m＋2n)．
四、 典例精讲
例3 判断下列分解因式是否正确．错误的加以改正． （1）(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2．
解：不正确． 本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是 整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果未对所 给多项式进行因式分解，而是典型的整式乘法化简题，正确应为：(a＋b)2 －c2＝(a＋b＋c)(a＋b－c)．
五、 课堂练习
3．把下列各式因式分解： （2）(x－1)＋b2(1－x)；
解：(x－1)＋b2(1－x)＝(x－1)－b2(x－1) ＝(x－1)(1－b2) ＝(x－1)(1＋b)(1－b)；
五、 课堂练习
3．把下列各式因式分解： （3）(x2＋x＋1)2－1．
解：(x2＋x＋1)2－1 ＝(x2＋x＋1＋1)(x2＋x＋1－1) ＝(x2＋x＋2)(x2＋x) ＝x(x＋1)(x2＋x＋2)．
五、 课堂练习
（3）x2－(a＋b－c)2 ＝[x＋(a＋b－c)][x－(a＋b－c)] ＝(x＋a＋b－c)(x－a－b＋c)；
（4）－16x4＋81y4 ＝(9y2)2－(4x2)2 ＝(9y2＋4x2)(9y2－4x2) ＝(9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x)．
四、 典例精讲
例3 判断下列分解因式是否正确．错误的加以改正． （2）a4－1＝(a2)2－1＝(a2＋1)·(a2－1)．
解：不正确． 错误原因是因式分解不彻底，因为a2－1还能继续分解成(a＋ 1)(a－1)．正确解答应为 a4－1＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
五、 课堂练习
3．把下列各式因式分解： （1）36(x＋y)2－49(x－y)2； 解：36(x＋y)2－49(x－y)2 ＝[6(x＋y)]2－[7(x－y)]2 ＝[6(x＋y)＋7(x－y)][6(x＋y)－7(x－y)] ＝(6x＋6y＋7x－7y)(6x＋6y－7x＋7y) ＝(13x－y)(13y－x)；
六、 课堂小结
1．我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差 公式法．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后 看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行．
第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要 进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止．
六、 课堂小结
第四章 因式分解
4.3 公式法 第1课时
一、 学习目标
1．经历通过整式乘法公式(a＋b)(a－b)= a2－b2 的逆向变形得出公式 法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力。 2. 会用平方差公式分解因式。
二、 情境导入
问题1：请同学们观察多项式x2－25，9x2－y2，它们有什么共同 的特征？
二、 情境导入
事实上把乘法公式(a＋b)(a－b)= a2－b2反过来，就得到平方差公式 a2－b2=(a＋b)(a－b)．
三、 探究新知
1．平方差公式的再认识 问题1：上面我们将一个具备一定特征的多项式进行了分解因 式，这里的特征就是该多项式是两项差式，各项都能够写成平方形 式．
现在你能结合平方差公式具体谈谈它的用途吗？
三、 探究新知
将图1中下方的阴影部分割补到上方阴影的右侧（如图2 ）， 在图2中阴影的面积为(a＋b)(a－b)．
图1
图2
所以有a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
四、 典例精讲
例1 分解因式：（1）25－16x2；（2） 9a2－ 1 b2． 4
解：（1）25－16x2＝52－(4x)2＝(5＋4x)(5－4x)；
2．分解因式的一般程序： （1）观察．观察多项式的结构特征，明确下一步的方向． （2）提取公因式．有公因式的先提取出来，为下一步做好准
备． （3）使用平方差公式继续分解． （4）分解因式的最终结果必须彻底到位．
再见
五、 课堂练习
1．判断正误．
（1）x2＋y2＝(x＋y)(x－y ) ；
( ×)
（2）x2－y2＝(x＋y)(x－y)；
(√ )
（3）－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)； ( × )
（4）－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)． ( × )
五、 课堂练习
2．把下列各式分解因式． （1）a2b2－m2；（2）(m－a)2－(n＋b)2； （3）x2－(a＋b－c)2；（4）－16x4＋81y4． 解：（1）a2b2－m2＝(ab)2－m2＝(ab＋m)(ab－m)； （2）(m－a)2－(n＋b)2
四、 典例精讲
（2）2x3－8x＝2x(x2－4)＝2x(x＋2)(x－2)． 点评：本题的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后 借助于整体方法使用平方差公式分解因式，公式中的a在这里指代的 是3(m＋n)，b指代的是m－n；
四、 典例精讲
（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此 可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时， 首先要考虑提公因式法，再考虑公式法．
三、 探究新知
公式
，从左向右用来处理特殊的整式乘
法，而由右向左则用来处理特殊多项式的分解因式问题．由此可以
又进一步体会到整式乘法与因式分解的互逆过程．
三、 探究新知
问题2：你能给平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)一个直观的解释 吗？
答：如图1，在边长为a的大正方形左下角挖去一个边长为b 的小正方形后剩下的图形面积为a2－b2；
答：因为多项式x2－25，9x2－y2，可分别化为x2－52和(3x)2－ y2的形式，所以它们的共同特征是：都是两个数平方差的形式．
二、 情境导入
问题2：尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流．
答：多项式x2－25，9x2－y2的共同特征都是两项，且都是差的 形式，各项都能写成平方的形式：x2－25＝x2－52＝(x＋5)(x－5)； 9x2－y2＝(3x)2－y2＝(3x＋y)(3x－y)．
（2）9a2－
1 4
b＝2 (3a)2－(
1 2
b)2＝(3a＋1b)(3a－
2
1 2
b)．
点评：本题是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，
再利用平方差代3a，b指代 12b．
四、 典例精讲
例2 把下列各式分解因式： （1）9(m＋n)2－(m－n)2；（2）2x3－8x． 解：（1）9(m＋n)2－(m－n)2＝[3(m＋n)]2－(m－n)2 ＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)] ＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n) ＝(4m＋2n)(2m＋4n) ＝4(2m＋n)(m＋2n)．
四、 典例精讲
例3 判断下列分解因式是否正确．错误的加以改正． （1）(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2．
解：不正确． 本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是 整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果未对所 给多项式进行因式分解，而是典型的整式乘法化简题，正确应为：(a＋b)2 －c2＝(a＋b＋c)(a＋b－c)．
五、 课堂练习
3．把下列各式因式分解： （2）(x－1)＋b2(1－x)；
解：(x－1)＋b2(1－x)＝(x－1)－b2(x－1) ＝(x－1)(1－b2) ＝(x－1)(1＋b)(1－b)；
五、 课堂练习
3．把下列各式因式分解： （3）(x2＋x＋1)2－1．
解：(x2＋x＋1)2－1 ＝(x2＋x＋1＋1)(x2＋x＋1－1) ＝(x2＋x＋2)(x2＋x) ＝x(x＋1)(x2＋x＋2)．