人教版A版高中数学必修4：平面向量的正交分解及坐标表示_课件8

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(2)向量的坐标表示
在向量 a 的直角坐标中，__x__叫做 a 在 x 轴上的坐标，_y____叫
做 a 在 y 轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．
(3)在向量的直角坐标中，i＝(1,0)，j＝__(_0_,_1_)__，0＝(0,0)．
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想一想 1.M 点的坐标与O→M的坐标含义相同吗？ 提示：含义不同． 2．相等向量的坐标相同吗？ 提示：相同．
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
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实例 ―理―解→ 平面向量的正交分解 ―掌―握→
平面向量的坐标运算 重点难点 重点：向量的坐标表示． 难点：向量的坐标表示与平面内点的坐标的关系．
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新知初探思维启动
1．平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个__互__相__垂__直____的向量，叫做 把向量正交分解．
∴x1＋1＝1 和－1－x2＝1 ，解得：x1＝0 和
y1－2＝2 2－y2＝2
y1＝4
x2＝－2

y2＝0
，∴C，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．
因此C→D＝(－2，－4)．
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【名师点评】 向量的坐标运算主要是利用加、减、数 乘运算法则进行，条件中如果知道的是起始点的坐标， 那么向量的坐标就等于终点的坐标减去起点的坐标．
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3．平面向量的坐标运算
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a＋b＝__(_x_1_＋__x_2_，__y_1_＋__y_2_)_，a－b＝
__(_x_1_－__x_2_，__y_1_－__y_2_)，即两个向量和(差)的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和(差)．
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(2)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)， a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)， 3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．
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方法感悟
1．点的坐标与向量的坐标的区别 (1)意义 点的坐标反映点的位置，它由点的位置决定；向量的 坐标反映的是向量的大小和方向，与位置无关；
(3)求形如λa＋μb的坐标，可直接利用向量的坐标运算公式， 即λ(x1，y1)＋μ (x2，y2)＝(λx1＋μ x2，λy1＋μ y2)．栏目 导引Fra bibliotek 精彩推荐典例展示
规范解答 求平面向量坐标运算中的参数 例3 (本题满分 12 分)已知点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若A→P
＝A→B＋λA→C(λ∈R)，试求 λ 为何值时， (1)点 P 在第一、三象限角平分线上？ (2)点 P 在第三象限内？
则无法用λ表示出点P的坐标，考试过程中最多给4分． 3 由P点所在的特殊位置，列出关于λ的不等关系，从而
求出λ的值或范围，这是得分点．
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3．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－
c，
(1)求p的坐标；
(解2)：若(以1)ap＝，(b2为，基－底4)＋，2求(－p的1,3表)－达(式6,5．)＝(－6，－3)．
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解：设点 A(x，y)，则 x＝|O→A|·cos 60° ＝4 3cos 60°＝2 3， y＝|O→A|sin 60°＝4 3sin 60°＝6， 即 A(2 3，6)，所以O→A＝(2 3，6)．
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题型二 平面向量的坐标运算 例2 已知点 A(－1,2)，B(2,8)及A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A.
(2)表示形式 如点 A(x，y)，向量 a＝O→A＝(x，y)．当平面向量O→A平行移 动到O→1A1时，向量不变，即O→1A1＝O→A＝(x，y)，但O→1A1的起 点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化．
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2．平面向量的坐标求法 (1)当向量的始点是坐标原点时，向量的终点坐标就是向量的 坐标． (2)当向量的起点和终点是坐标平面内的任意两点时，用向量 终点的坐标减去始点的相应坐标，即得向量的坐标．
答案：(－3，－3)
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典题例证技法归纳
题型探究
题型一 向量的坐标表示 例1 在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，
且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．
【解】 设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c， 又∵|O→A|＝|a|＝2，|O→B|＝|b|＝3，|O→C|＝|c|＝4.
(2)λa＝__(λ_x_1_，__λ_y_1_)__ (λ∈R)，即实数与向量的积的坐标等于
用这个实数乘以原来向量的相应坐标． (3)若 A 点坐标为(x1，y1)，B 点坐标为(x2，y2)，O 为坐标原
点，则O→A＝_(_x_1_，__y_1)__，O→B＝__(_x_2，___y2_)_，A→B＝O→B－O→A＝ (x2，y2)－(x1， y1)＝ _(_x_2_－__x_1_，__y_2－__y_1_)_， 即 一个 向量的坐标
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∴A( 2， 2)，B－32，3 2 3，C(2 3，－2)， ∴a＝( 2， 2)，b＝－32，32 3，c＝(2 3，－2)．
【名师点评】 向量的坐标表示是向量的另一种 表示方法，当向量的始点在原点时，终点坐标即 为向量的坐标．
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跟踪训练
1．如图，已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|O→A|＝4 3， ∠xOA＝60°，求向量O→A的坐标．
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(1)若点 P 在第一、三象限角平分线上， 则 5＋5λ＝4＋7λ 3 ，∴λ＝12.8 分 (2)若点 P 在第三角限内，则54＋ ＋57λλ<<00， ，
λ<－1， ∴λ<－74， 10 分∴λ<－1，即只要 λ<－1，点 P 就在第
三象限内．12 分
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抓关键 促规范 1 根据题意，设出 1 ，是求解本题的关键． 2 解答过程中，若未能根据向量相等的条件，推出 2 ，
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2．平面向量的坐标表示 (1)向量的直角坐标
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 __单__位__向__量__i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面 向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝_______， 则xi把＋有yj 序数对__________叫做(x向，量y) a的坐标．
(2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，
∴2λ－μ＝－6， －4λ＋3μ＝－3，
∴λ＝－221， μ＝－15，
∴p＝－221a－15b.
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跟踪训练
2．(1)已知平面上三个点 A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求A→B，A→C，2A→B ＋12A→C的坐标； (2)已知 a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量 a＋b，a－b,3a－4b 的坐标． 解：(1)∵A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)， ∴A→B＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)，A→C＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)， 2A→B＋12A→C＝2(3，－1)＋12(－3,2)＝(6，－2)＋ (－32，1)＝(92，－1)．
等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
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做一做
1.已知a＝(1,2)，b＝(－1,3)，则a＋2b＝________. 解析：∵2b＝(－2,6)，∴a＋2b＝(1,2)＋(－2,6)
＝(1－2,2＋6)＝(－1,8)． 答案：(－1,8)
2．若 A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，则A→B－2B→C＝________. 解析：A→B－2B→C＝(1,1)－2×(2,2)＝(－3，－3)．
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【解】 设点 P 的坐标为(x，y) ， 1 则A→P＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)， A→B＋λA→C＝(5－2,4－3)＋λ[(7,10)－(2,3)] ＝(3＋5λ，1＋7λ).2 分∵A→P＝A→B＋λA→C(λ∈R)， ∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，4 分 ∴yx－－32＝＝13＋＋75λλ，，2 ∴yx＝＝45＋＋75λλ，， ∴P(5＋5λ，4＋7λ).6 分
求点 C，D 和C→D的坐标． 【解】 设 C，D 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题可 得A→C＝(x1＋1，y1－2)，A→B＝(3,6)，D→A＝(－1－x2,2－y2)， B→A＝(－3，－6)．
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∵A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A，
∴(x1＋1，y1－2)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝(1,2)，