六年级上册思维体操

二、长方体和正方体
(一)表面积
【思维训练】
例1、有一种长方体塑料落水管，截面长是10厘米,宽是6厘米,一根这样的落水管长2米，做10根这样的落水横管至少需要多大面积的塑料？(落水管厚度与接头忽略不计)
[思路点拨］
在实际生产和生活中，经常不需要计算长方体(或正方体）六个面的总面积，而是要根据实际情况，计算某几个面的面积.例如计算做落水管所需材料的面积，只需要计算落水管的侧面积(即4个面的面积）.
[试一试］
一个游泳池长50米,宽25米，深2米.这个游泳池占地多少平方米？在游泳池的四壁和底面贴上每块面积是4平方分米的瓷砖，共需多少块?
例2、有两个棱长是3厘米的正方体，从
第一个正方体的一个顶点处挖去一个棱长是1
厘米的小正方体，在第二个正方体的上面中央
粘上一个棱长是1厘米的小正方体，求两个所
得物体的表面积。

[思路点拨］
计算不规则的长方体或正方体的表面积,关键在于观察.例如第一个正方体的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的小正方体，挖去后形成的三个小正方形的面积正好可以填补从正方体表而上挖去的面积，求该不规则物体的表面积就是求正方体的表面积;第二个正方体的上面中央粘上一个棱长是1厘米的小正方体,如果把小正方体当作按钮按下去，则可以看到小正方体的上面正好可以填补大正方体上面被遮挡的面积，那么求这个组合体的表面积就是求大正方体的表面积与小正方体的侧面积之和。

［试一试]
有一个棱长足4厘米的正方体，从它一个而的中央挖去
一个棱长是1厘米的小正方体,所得物体的表面积是多少?如果
每个面的中央都挖去这样一个小正方体,所得物体的表面积义
是多少？
[想想做做］
1、一种火柴盒的长是4厘米，宽是3厘米,高是1。

5厘米。

如果把内盒的长、宽、高看做与外盒的长、宽、高相同来计算，做这样一个火柴盒一共需要多少平方厘米的硬纸？
2、在棱长3厘米正方体的一条棱上挖去一个棱长1厘
米的小正方体，所得物体的表面积是多少？
例3、两个棱长是2厘米的小正方体可以拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
［思路点拨］
在解决长方体或正方体拼接或剪切的问题时，关键在于找准减少或增加的面。

两个相同的小正方体拼成一个长方体，减少的是两个小正方形的面积，可以先求出两个小正方体的表面积之和，再减去两个小正方形的面积；或者先求出长方体的长、宽和高，再求出长方体的表面积。

完全解答：
方法一：方法二:
［试一试］
1、三个棱长是3厘米的小正方体可以拼成一个长方体，表面积减少多少平方厘米?
2、至少需要多少个小正方体才能拼成一个大正方体，如果一个小正方体的棱长是4厘米,那么这个大正方体的表面积是多少平方厘米？
例4、下图表示用相同的小正方体摆成的立体图形。

请你仔细观察后回答问题.
(1）从上面看到的是（ )；（2)从正面看到的是( );（3）从左侧面看到的是( ）。

[思路点拨]
解决观察问题的关键在于找准观察点,即从哪个方向观察。

对于例题，我们可以分层观察，最底层为第一层,依次往上为第二层，第三层……注意从侧面观察一定要分清左右。

［试一试］
1、观察用棱长1厘米的正方体摆成的物体,从正面看到,从左侧面看到.这堆小正方体最多有( )个，最少有( )个.
2、右图是用棱长1厘米的正方体摆成的立体图形。

（1)从上面、正面和左侧面看到的分别是什么形状？试着
画一画。

从上面看从前面看从左侧面看
（2)这个物体的表面积是多少平方厘米？
［想想做做］
1、学校会议室门前有9级台阶，每级台阶长9米,宽O.3米，高0.2米。

这9级台阶一共占地多少平方米?如果给这些台阶铺上红地毯，至少需要多少平方米的红地毯？
2、如图，求这个正方体和长方体组合后的表面积.
3、把两个长5厘米,宽4厘米，高3厘米的长方体拼成一个大长方体,这个长方体的表面积最大可能是多少平方厘米?最少呢？
4、某种书长20厘米，宽12厘米，厚2.5厘米，现将4本这样的书，包装成一包,请你设计最节省包装纸的一种方案，算出至少需要多少平方厘米的包装纸?
5、下图是用棱长1厘米的正方体摆成的立体图形.
（1）这个物体(图①）的表面积是多少平方厘米?
(2）在这个物体上添加一个正方体（图②)，它的表面积又是多少平方厘米?
（二)展开图
【知识概述】
正方体的展开图有各种各样的情况，总的来说正方体相对应的两个面展开后是不可能连接在一起的。

正方体展开图有以下几种情况：
【思维训练】
例1、右面是正方体纸盒的展开图，当折叠成正
方体纸盒时,B面与( )面相对，（ )面与E
面相对。

[思路点拨]
相列的面不相连，这是正方体或长方体展开图的一个特点.在解决例题时,我们可以先确定C面为底面，固定不动，想象折起B面和D面，这样就可以很快找出相对面了。

[试一试]
1、下图是一个立方体纸盒的展开图，当折叠成立方体纸
盒时，A点与（ )点重合。

2、如图有一正方体房间，在房间内的一角A处有一只小
虫，它想到房间的另一角B处去吃食物，它采取怎样的行走
路线最近?(画出来）一共有几条这样的路线？
例2、如图，无盖长方体盒子的表面展开图（重叠部分不计，单位分米),则盒子棱长总和是多少分米？
［思路点拨］
先补出折痕,如图，通过观察，可以知道5分米表示长与宽的和,3分米表示宽与高的和，而宽是2分米，高是1分米，进而可以求出盒子的棱长总和.
完全解答：
［试一试]
1、下面是一个长方体的展开图，计算它的体
积和表面积。

（单位：厘米）
2、一张长20厘米，宽15厘米的硬纸板，在它的四个角各剪去一个正方形，把它做成一个无盖的长方体纸盒，请你设汁一个方案，并算出纸盒的容积。

（接头处与纸的厚度忽略不计)
1、一个长方体展开后有两个面的形状如下图。

请你继续画出其他的4个面，并求出这个长方体的表面积和体积.
2、一个底面是正方形的长方体纸箱，如果把它的侧面展开，正好得到一个边长为20厘米的正方形。

这个纸箱的表面积是多少平方厘米？
（三）体积
【思维训练】
例1、把一根2米长的方木截成三段(截面是正方形)，表面积增加100平方厘米，求这根方木的体积。

［思路点拨］
计算长方体或正方体的体积，还可以用底面积乘高或截面积乘长的方法.例题中的方木被截成三段后，增加4个截面，每个截面的面积是100÷4=25(平方厘米)，进而可以求出方木的体积，注意计量单位的统一。

完全解答：
［试一试］
1、一个底面积是25平方厘米的长方体容器，高10厘米，水深6厘米，这个容器还可以倒入多少立方厘米的水？
2、如图，长方体的横截面是正方形，且正方
形的对角线长3分米，求这个长方体的体积。

例2、某乡要挖一条200米长的水渠，水渠截
面是梯形(如图)，渠口宽2米,渠底宽1。

5米，渠
深1米。

共需挖土多少立方米？
［思路点拨]
我们可以用截面积乘长的方法计算所需挖土的体积。

先算出梯形的面积，再乘以长就行了.
完全解答：
［试一试]
1、你能求出下面立体图形的体积吗？
2、一件工具如下图，它的体积是多少?
例3、在一个长15分米,宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水.如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，水面上升多少厘米？
［思路点拨]
“万变不离其宗”,这个“宗"就是指不变的量。

在例题中,上升的水的体积就是铁块的体积,而上升的水的形状是一个长15分米，宽12分米的长方体,求水面上升多少厘米，就用上升的水的体积(即铁块体积）除以水箱底面积。

完全解答：
[试一试]
1、学校把10.5立方米黄沙铺在一个长6米、宽3。

5米的长方体沙坑里，可以铺多厚？
2、如图,A的面积是25平方米,B的面积是15平
方米，h是4米。

现在把A处的土堆到B处，使A、B
两处同样高，这时B处比原来升高多少米？
例4、一个长方体高增加2厘米后就成为正方体,其表面积增加24平方厘米，求原来长方体的体积。

[思路点拨］
这个题目关键是要先求出长方体的底面边长，根据高增加2厘米，可以得出增加的实际上是一个2厘米高的长方体，这个长方体的侧面积就是增加的24平方厘米的表面积。

将这个侧面展开成长方形,根据24平方厘米与高2厘米(长方形的宽)这两个条件可以得出长方体的底面边长。

完全解答：
[试一试]
1、一个长方体，如果高减少2厘米，就成为一个正方体，而且表面积减少56平方厘米，原来这个长方体的体积是多少?
2、一个长方体，它的前面和上面的面积之和是156平方厘米，并且长、宽、高都是素数，这个长方体的体积是多少？(答案不唯一）
［想想做做］
1、把6升橙汁倒入一个长方体容器，已知这个容器的底面积是250平方厘米，那么橙汁深多少厘米？
2、一个长方体，如果长减少3厘米，体积减少60立方厘米；如果宽减少2厘米，体积减少48立方厘米。

已知高是5厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米?
3、把一块棱长是12厘米的正方体冰块放入一个长20厘米，宽15厘米，深10厘米的长方体容器中融化，待冰完全融化后水的高度是多少厘米？（已知冰融化成水后体积减少错误!）
4、人们常用“V”来表示胜利的喜悦.你知道吗，“V"是英语单词“victory"的第一个字母，这个单词的意思就是胜利。

请你求出下面这个“V”的表面积和体积。

(阴影部分为正方形，“V"左右相同.)
练习二
1、求下面长方体和正方体的表面积。

2、一个长方体棱长的总和是48厘米,已知长是宽的1。

5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的体积。

3、下图表示用相同的小正方体摆成的物体。

（1)从上面看到的是( )，
（2)从正面看到的是( ）,
（3)从左侧面看到的是( ）。

4、一个正方体木块，表面积是96平方厘米,最少可以把它锯成体积相等的多少个正方休小木块？每个小木块的表面积是多少？
5、把一个六面都涂上颜色的正方体木块，切成27
块大小相同的小正方体（如图)。

（1)三三面涂色的小正方体有多少块?
（2)两面涂色的小正方体有多少块？
(3)一面涂色的小正方体有多少块？
6、求下面长方体和正方体的体积.
7、一个底而是正方形的长方体,侧面积是72平方分米，高6分米，求长方体的体积和表面积。

8、在一个长15分米,宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水。

如果在水中沉入一个棱长为60厘米的正方体铁块，现在水深多少分米？
9、一个长方体，如果高减少2厘米，就成为一个正方体，而且体积减少50立方厘米，原来这个长方体的表面积是多少?
10、下图表示用棱长1厘米的正方体摆成的物体。

(1)从上面、正面和左侧面看到的分别是什么形状?试着画一画。

（2)这个物体的体积和表面积有什么变化？
11、3。

05立方米=( )立方分米450平方厘米=( )平方分米
0。

8升=( )立方厘米7000平方米=( ）公顷
12、有两个棱长是6厘米的正方体，从第一个正方体的一个顶点处挖去一个榜长是2厘米的小正方体,在第二个正方体的上面中央粘上一个棱长是2厘米的小正方体，哪个图形的表面积大？大多少呢？
13、一个长方体无盖水箱，底面是边长2分米的正方形,高4分米,做50个这样的水箱,至少需要铁皮多少平方米?
14、已知正方体小木块的表面积是24平方厘米，把27个体积相等的正方体小木块拼成一个大正方体，这个大正方体的表面积是多少？
15、一个长方体金鱼缸,长50厘米，宽40厘米,高30厘米。

（1）做这个金鱼缸至少需玻璃多少平方厘米？
（2）在鱼缸里注入40升水，水深大约多少厘米?(玻璃厚度不计)
(3）再往水里放人鹅卵石、水草和鱼，水面上升了2.5厘米.这些鹅卵石、水草和鱼的体积一共是多少立方厘米?
16、有一个长方体，它的前面和上面的面积之和是25平方厘米，并且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？
17、把一个长是8厘米，宽是6厘米，高是4厘米的长方体切分成若干个相同的小正方体，最少可以分成多少个小正方体？小正方体的体积是多少？
三、分数乘法
【思维训练】
例1、学校要修一条长3300米的路，已经修了2100米，再修多少米正好修完这条路的2
3
?
[思路点拨]
要求还要修的米数，用要修的总米数减去已经修的米数。

这条路的全长是单位“1",一共要修的米数,就是3300米的错误!,再减去已经修的米数，就是还要再修的米数。

完全解答：
[试一试］
1、苏华看一本72页的书，第一天看了全书的错误!,再看多少页就正好看了这本书的一半？
2、果品仓库有一批橘子，4天运走了它的错误!，再运几天就正好运走它的12
?
例2、仓库存有错误!吨大米，第一周运走全部的错误!，第二周运走错误!吨。

两周共运走大米多少吨？
[思路点拨]
要求两周一共运走大米的吨数,就是求错误!吨的错误!是多少，再用第一周运走的吨数加上第二周运走的吨数求出两周共运走的吨数。

注意：“第二周运走错误!吨"这里的错误!是一个具体的数量,直接加上错误!
吨就可以了，不能乘1 2。

完全解答：
[试一试]
1。

8吨煤，第一次用去错误!后,第二次用去错误!吨,第一次比第二次多用多少吨？
2。

有2吨煤，第一次运走错误!,第二次又运走错误!吨，这时还剩多少吨？
[想想做做]
1.一条公路错误!千米，已经修了错误!千米。

再修多少千米就正好修了全长的错误!?
2.修一段错误!千米的公路,第一天修了错误!，第二天修了错误!千米。

两天一共修了多少千米?
3。

甲、乙两队合挖一条水渠,甲挖了错误!千米，乙队挖的比甲队的错误!还多错误!千米，这条水渠全长多少千米？
4。

甲堆煤42吨，乙堆煤比甲堆的错误!少错误!吨，乙堆煤有多少吨?
例3.修路队修一条400米的路，前三天已经修了全程的错误!，还剩多少米没有修?
[思路点拨］
要求“还剩多少米没有修"，我们首先想到的是先求出已经修了多少米，总长度减去已修的就是剩下的，除此以外，我们还可以用线段图表示他们的关系。

完全解答：
［试一试］
1.一套西服原价780元,现在的价格比原来降低了错误!,现价多少元?
2。

研究表明：水结成冰之后，体积增加错误!。

现有132立方米的水,结成冰后的体积是多少立方米？
例4。

一本故事书书共100页，张明第一天看了总页数的1
5
，第二天看了总
页数的错误!，剩下的第三天看完，第三天看了多少页?
［思路点拨]
解答这道题可以先分别求出前两天看的页数，再求第三天看的页数；也可以先求出前两天一共看了全书的错误! + 错误!=错误!，再求还剩下全书的1—错误!=错误!没有看，也就是100页的错误!没有看,第三天要看100页的错误!.
完全解答：
[试一试]
1.某鞋店进来皮鞋600双。

第一周卖出总数的错误!，第二周卖出总数的错误!.还剩多少双没有卖？
2。

甲、乙两车同时从相距540千米的A、B两地相对开出，5小时后甲车行了全程的错误!，乙车行了全程的错误!，这时两车相距多少千米？(画线段图）
例5.希望小学去年有24个班级,今年的班级数比去年增加了错误!。

今年一共有多少个班级?
[思路点拨］
解答这一题，我们首先要找出关键句“今年的班级数比去年增加了错误!"，即以去年的班级数为单位“1",今年的班级数是(1+ 错误!)。

完全解答:
[试一试］
1。

天明小学去年有24个班级，今年的班级数比去年减少了1
4。

今年一共有
多少个班级?
2.草地上有90只山羊，绵羊的只数比山羊少错误!，绵羊有多少只?
例6.六年级同学给灾区的小朋友捐款。

六（1）班捐了500元，六（2）班捐的是六(1)班的错误!,六（3）班捐的是六（2）班的错误!.六(3)班捐款多少元?
［思路点拨］
题目中有两句关键句分别说明了三个班的捐款金额关系：“六（2）班捐的是六(1）班的错误!,六(3)班捐的是六（2）班的错误!”，这两句话的单位“1"不同,要求六(3)班，可以先求出六（2)班的，再以六（2)班为单位“1”，求出六（3)班.
完全解答：
［试一试]
1.一堆沙共3吨，第一天运走它的错误!，第二天运走第一天的错误!,第二天运走了多少吨?
2.一堆沙共3吨,第一天运走了4
5
吨，第二天运走了余下的错误!，第二天运
走了多少吨？
[想想做做]
1.甲班人数是乙班的2
5
,乙班人数是丙班的错误!.如果丙班有70人，那么甲
班有多少人？乙班有多少人？
2.一条路长错误!千米，修路队第一天修了全长的错误!，第二天比第一天多修错误!，第二天修了多少千米?
3。

甲、乙、丙三堆煤，甲堆煤重错误!吨,乙堆煤是甲的错误!，乙堆的错误!等于丙堆，丙堆煤重多少吨?
4。

小球从高空落下，每次弹起的高度都是前一次的错误!。

如果一只小球从125米的高空下落，第三次落下的高度是多少米？
练习三
1.甲、乙两队合挖一条水渠，甲挖了错误!千米，乙队挖的比甲队挖的多错误!,这条水渠全长多少千米？
2。

宇航员到了月球上后，体重就只有地球上的错误!，一位宇航员在地球上的体重是72千克。

他到月球上体重减少了多少千克?
3.一本80页的书,第一天看了错误!，第二天看了余下的错误!,第三天应该从第几页看起?
4.甲班人数是乙班的错误!，丙班人数是乙班的错误!。

如果丙班有40人，那么甲班
有多少人?乙班有多少人?
5.六（1）班有学生40人，在学校组织的秋季运动会上每人至少参加一项运动,全班有错误!的人参加拔河比赛,错误!的人参加接力赛跑，这两项运动都参加的有多少人？
6。

六(1)班有学生40人，在学校组织的秋季运动会上，全班有错误!的人参
加拔河比赛，错误!的人参加接力赛跑，这两项运动都参加的至少有多少人？最多有多少人？
7.六（1）班全体同学共48人都参加了语数兴趣小组，其中参加语文兴趣小组的占全班的错误!，参加数学兴趣小组的人数占全班的错误!,两种都参加的同学有多少人?
8.六（1）班全体同学共48人，其中参加语文兴趣小组的占全班的错误!,参加数学兴趣小组的人数占全班的错误!，两种都参加的同学至少有多少人?最多有多少人？
9。

甲乙两个仓库，甲仓存粮30吨，如果从甲仓中取出错误!放入乙仓,则两仓存粮数相等。

两仓存粮一共多少千克?
10.甲乙两仓库共有存粮30吨，甲仓调出错误!，乙仓也调出错误!，两仓共调出多少吨？
四、分数除法
【思维训练】
例1。

加工一批零件，第一天加工300个,第二天加工350个，这两天共加工了这批零件的错误!。

这批零件共有多少个？
[思路点拨]
根据题意，把这批零件的总数看成单位“1”，两天共加工650个，650所对应的分率是错误!.求单位“1"的量用除法计算.
完全解答:
[试一试］
1。

超市运进水果，第一批运进320千克，第二批运进400千克，这两批运进水果的重量占超市现在所有水果的错误!，超市现在一共有水果多少千克?
2.一条铁路,修完900千米后，剩余部分比全长的错误!少300千米,这条铁路长多少千米?
例2.李红三天看完一本书，第一天看了全书的错误!，第二天看了24页，还剩下全书的错误!未看.这本书共有多少页?
[思路点拨］
这道题中有一个具体量“第二天看了24页”,要正确找出24页所对应的分
率。

“还剩下全书的2
5未看”，第一天看了全书的错误!，第二天就看了错误!,就可
以求出这本书的总页数。

完全解答： [试一试]
1.电腑公司要修一批电脑，已经修了这批电脑的错误!，再修24台正好修了这批电脑的一半。

这批电脑有多少台？
2.建筑队三天修好一条马路，第一天修了全长的错误!，第二天修了全长的
错误!，第一天比第二天少修90米，这条马路全长多少米？
［想想做做］
1.某厂有男工240人，比全厂人数的错误!少20人，该厂有职工多少人?
2.一辆汽车从甲地去乙地,已行3
8,此时离中点还有200千米，已行多少千米?
3.一根电话线，用去它的错误!，又增加了3.4米，这时电话线的总长是原来没有用时的长度的错误!。

这根电话线原有多长？
4.学校图书室内有一架故事书，借出总数的错误!之后，再放上60本，这时架上的书是原来总数的错误!。

求原来书架上放着多少本书？
例3。

配件工厂加工一批零件，第一天加工了计划的错误!，第二天又加工了余下的错误!，这时还剩42个零件没有加工。

这批零件共有多少个?
[思路点拨]
题目中，我们已知实际量“还剩42个"，只要找出实际量的对应分率，即可用对应量除以对应分率求出单位“1”.所以，我们只要求出对应分率,即还剩全部任务的几分之几没有做。

完全解答：
[试一试］
1。

航空公司运送一批物资,第一架飞机运送了全部的错误!,第二架飞机运送了余下的错误!，这时还剩下108吨没有运.这批物资共有多少吨？
2。

新华书店运来一批图书，第一天卖出总数的错误!多16本，第二天卖出总数的错误!少8本，还余下67本。

这批图书一共多少本？
例4。

配件工厂加工一批零件，第一天加工了计划的错误!,第二天又加工了计划的错误!。

第二天又加工了80个,结果超过计划的错误!。

这批零件共有多少个?
［思路点拨］
题目中我们可以找到实际量“第三天又加工了80个”，要求单位1即这批零件共有多少个，只要找出80个的对应分率即可。

完全解答：
1。

配件工厂加工一批零件，第一天加工了计划的错误!，第二天又加工了计划的错误!,结果比计划多加工了120个。

这批零件共有多少个?
2。

一堆苹果，吃了错误!后又买来324个，这时这堆苹果个数比原来多了错误!。

原来这堆苹果有多少个？
［想想做做］
1.一批大米，第一天吃了总数的
2
15
，相当于第二天吃的错误!,已知第二天吃
了50千克。

这批大米共有多少千克?
2.某工程队修筑一条马路.第一天修了全长的错误!，第二天修了余下的错误!，还剩630米没有修。

这条马路仝长多少米？
3.某工程队修筑一条马路。

第一天修了全长的错误!，第二天修了余下的
4
5
，这时已修的比未修的多360米.这条马路全长多少米？
4。

一批货物，卖掉它的错误!,又运进8925吨，这时货物的总数是原来的错误!。

这批货物原有多少吨？
练习四
1。

学校盖一座大楼实际投资240万元,比计划节省错误!，计划投资多少万
元？
2.甲乙两组人数相等，如果从乙组调出3人到甲组，这时乙组比甲组少错误!，这两组共有多少人?
3。

一瓶饮料，一次喝掉一半饮料后，连瓶共重700克;如果喝掉饮料的1
3后,
则连瓶共重800克,求瓶子的重量。

4.一只糖果盒内装有糖，连盒称共重
5.6千克，小明吃去错误!糖后，小丽再吃去1.2千克糖，连盒共重2。

6千克，求糖果盒重多少千克?
5.学校四年级上学期男生人数占全年级的错误!，本学期初转走6名男生,又转来6名女生，这时女生人数占全年级人数的错误!，该年级共有多少男生?。