高等数学第五版下册习题及答案

高等数学第五版下册习题及答案
第一节 多元函数的基本概念
一、填空题
1．开，有，2
2
1x y +=及2
2
4x y += 2.{}
(,)01x y x y x y +>+≠且 3.
22
4xy
x y
+ 4．2
(ln )ln x y y - 5.0 6.连续，间断
二、单项选择题
1.D
2.C ，提示：沿着y kx =趋于(0,0)时，222220
lim (,)lim 1y kx x x kx k
f x y x k x k =→→==++，当k 取不同值时，极限取不同值，所以极限不存在，从而在(0,0)不连续 3.D
三、解答题
解：1．2201sin()cos lim x y xy xy x x y x →→+-22
1
sin()cos lim x y xy xy x x y y xy →→+-=⋅
1sin()lim cos 112x y xy x xy y xy →→⎛⎫
=+-⋅=+= ⎪⎝
⎭． 2
．(
(000
000
2lim lim 24x x x y y y xy xy →→→→→→⋅==-=--．
3
t =，则 原式2
322000
1sin 1cos 12lim lim lim 336
t t t t
t t t t t t →→→--====． 4
．证明：22222424240lim lim 1x x y xy k x k x y x k x k →===+++，因为随着k 的变化，2
41k k +随之变化，所以2
240
0lim x y xy x y
→→+不存在．
第二节 偏导数 第三节 全微分
一、填空题
1．0
(0,1)(0,1)
lim
x f x f x
∆→+∆-∆，0
(0,1)(0,1)lim y f y f y ∆→+∆-∆ 2.二阶偏导数(,),(,)xy yx f x y f x y 连续 3.d d x y f x f y + 4. 2
5
．2222d d y x x y x y x y ⎛⎫
+⎪⎪++⎭
二、单项选择题
1．D 2.B ，提示：用(0,1)x f 定义求0(0,1)(0,1(0,1lim
))
x x f x f f x
∆→+∆-∆=220sin()lim 1()x x x ∆→∆==∆ 3．D 4. A
三、计算题
解：1
．
12z x x ∂==∂
，1
2z y y
∂==∂. 2．2
(,1)(1)x z z x x +==+，ln (2)ln(1)z x x ∴=++，在等式两边对x 求偏导，得
12ln(1)1z x x z x x ∂+=++∂+，22ln(1)(11)x z x x x x x +∂+⎡
⎤∴=++++⎢⎥∂⎣
⎦， 311
32ln 28ln 2122x y z
x
==∂⎛
⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭． 3．(
)
2
22
e d e xy t
x y x f t y x
--∂=
=∂⎰， (
)
22
22
22
22
222e e (2)e (12)e x
y
x
y
x
y
x y xy f y y x y x y y
----∂
=
=+-=-∂．
4．22z u x y =
+，222222
22()()x z xz
u x x y x y --∴=⋅=++，从而(1,1,2)
1x u =-，
222222
22()()y z yz
u y x y x y --=
⋅=++，从而(1,1,2)
1y
u =-，
221
z u x y
=
+，从而(1,1,2)
12z
u =
， (1,1,2)1d d d d 2
u x y z ∴=--+ 第四节 多元复合函数的求导法则
一、填空题
1．x u f f x
ϕ∂+∂，u f y ϕ∂∂ 2.222e xy x y x y ++，222e xy
y x x y ++ 3.222222()()xyf x y f x y '---
4．1
(1ln )y x
y x -+
二、单项选择题
1．B ，提示：
()(),()(),z z
x y x y x y x y x y
φψφψ∂∂''''=++-=+--∂∂ 22()()z
x y x y x φψ∂''''∴=++-∂，22()()z x y x y y φψ∂''''=++-∂，
2()()z
x y x y x y
φψ∂''''=+--∂∂，∴选B 2. C ，提示：
122z
f x yf y
∂''=-∂，21112221222(2)22(2)z x f x yf f y f x yf y ∂'''''''''=----∂ 2211
12222442x f xyf y f f '''''''=-+- 三、计算题
解：1．令(,)arctan()z f x y xy ==,则
222222
d d
e e d d 111x x
z f f y y x y x x x y x x y x y x y ∂∂+=+⋅=+⋅=∂∂+++. 2．
1234z f f u ∂''=+∂，1222z
f f v
∂''=-∂. 3. 12e y
z f u f f f x u x x
∂∂∂∂''=⋅+=+∂∂∂∂，
()212121e e e y y y f f z f f f x y y y y ''∂∂∂∂'''=+=++∂∂∂∂∂ 111
132123111132123e e e e e e e y y y y y y y u u f f f f f f x f f x f f y y ⎛⎫⎛⎫
∂∂''''''''''''''''''=++++=+⋅+++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
()2113
112123e e e y y y f f x f x f f '''''''''=++++. 4．令2t x y =-，,u x v xy ==，则
d d 2(2)d d z f t g u g v
f x y x t x u x v x
∂∂∂∂∂'=⋅+⋅+⋅=-∂∂∂∂∂ 1
2g yg ''++，21222()g g z t f t g y x y y y y
'
'∂∂∂∂'''=+++∂∂∂∂∂122222(2)f x y xg g xyg '''''''=--+++. 第五节 隐函数的求导公式
一、填空题 1．z
x
- 2．1±
二、单项选择题
1．D ，提示：方程两边同时对x 求导：1210z z a
b x x φφ∂∂⎛⎫⎛⎫
-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
，同时对y 求导：1210z z a
b y y φφ⎛
⎫⎛⎫
∂∂-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝
⎭⎝
⎭；所以121212,z z x a b y a b φφφφφφ∂∂==∂+∂+，代入所求表达式化简，得D 2．D 3．A ，提示：方程组()
(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨
=⎩
两边同时对x 求导，得
d d ()()1d d d d 0d d x y z z y f x y xf x y x x y z F F F x x ⎧⎛⎫'=++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨
⎪++=⎪⎩
，解之得：d d z x =()y x y z
xf f F xf F F xf F ''+-'+
三、计算题
解：1．令(,,)F x y z
=xyz +
则x F yz =
y z F xz F xy =+=+
x z
F z
x F ∂=-=∂ 从而
(1,0,1)
1z
x
-∂=∂
；
y z F z
y F ∂=-=∂
从而(1,0,1)
z y -∂=∂；
所以(1,0,1)
d d z
x y -=．
2．令33(,,)3F x y z z xyz a =--，则3x F yz =-，3y F xz =-，2
33z F z xy =-；
2x z F z yz x F z xy ∂∴
=-=∂-，2y z F z xz
y F z xy
∂=-=∂-； ()()
2
22
2
22z z z y z xy yz z x y y z yz x y y z xy z xy ⎛⎫⎛⎫∂∂+--- ⎪ ⎪∂∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭== ⎪∂∂∂--⎝⎭()()
22222
2xz xz z y z xy yz z x z xy z xy z xy ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=-()5322322z xyz x y z z xy --=-． 3．由题意知，2
2
2
x y u +=，对方程两边对x 求偏导，得22u x u
x ∂=∂，u x
x u
∂∴=∂． 第六节 多元函数微分学的几何应用
一、填空题
1．(4,2,1)-- 2. (1,2,1)-或(1,2,1)-- 3. 240x y +-=
二、单项选择题
1．C 2.B 3.B ，提示：由题意知,曲线的切向量2
(1,2,3)T t t =-，与平面的法向量
(1,2,1)n =垂直，则21430t t -+=，此方程只有两个根.从而对应切线只有两条，故选B
4.C ，提示：（A ）:由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数，此时，不能确定(,)f x y 在(0,0)可微，故不一定成立；（B ）:曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的切平面法向量应为(3,1,1)
-或(3,1,1)--；(C):曲面方程可以写为:0(,0)x t
y z f t =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
在(0,0,(0,0))f 的切向量为
(1,0,(0,0))(1,0,3)x T f '==
三、计算题
解：1.d d d e (cos sin ),e (sin cos ),e d d d t t t x y z t t t t t t t =-=+=，则
d 1,
d t x t
==0
d 1,d t y
t
==
0d 1d t z
t
==，所以切向量(1,1,1)T =；而当0t =对应的点为(1,0,1)，所以切线的方程为：101
111
x y z ---==
，法平面方程为：1010x y z -+-+-=，即20x y z ++-=. 2.令(,,)ln ln ,F x y z z y x z =--+则11
,1,1,x y z F F F x z =-=-=+所以切向量
1
1(,,),1,1x y z T F F F x
z ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，在(1,1,1)M 处的切向量(1,1,2)T =--，所以
在点(1,1,1)M 处的切平面方程：(1)(1)2(1)0x y z ----+-=，即20x y z --+=， 法线方程为：
111112
x y z ---==
--. 3.2,2,x y z x z y ==则(2,2,1)T x y =-，设曲面上一点000(,,)x y z 处的切平面为所求，则
00(2,2,1)T x y =-.又所求切平面与平面240x y z +-=平行，即 (2,4,1)∥T -，
从而
00221
241x y -==-，0012
x y =⎧∴⎨
=⎩，05z ∴=从而切平面方程为： 2(1)4(2)(5)0x y z -+---=，即2450x y z +--=.
第七节 方向导数与梯度
一、填空题 1．12 2.244999i j k +-
二、计算题
解：1．
函数2
2
(,)2f x y x xy y =-+在点(2,3)处沿着梯度方向的方向导数最大，且其
最大值为梯度的模.而(2,3)(2,3)
(2,3)
(,)
(22,22)
(2,2)x y f
f f x y x y ==--+=-grad
∴
f
l
∂∂
=． 2．3
()1,()4,()8x t y t t z t t '''===-，M 点对应1t =，(1,4,8)T ∴=-，
148e ,,999T ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭. 而332222222222,,()()
x y y z xy u u x y z x y z +==-++++
3
2
222()z xz u x y z =-++，822,,,27
27
27
x M y M z M u u u -∴=
=
=
81242816
279279279243
M
u l
∂⎛⎫∴
=
⨯-⨯+⨯-=-
⎪∂⎝⎭． 3.2
2
,2,x y z u y z u xyz u xy ===，则2,4,1x P
y
P
z
P
u u u ==-=，
24P u i j k ∴=-+grad ，
∴沿着梯度方向的方向导数最大，
最大值是P
u =grad ．
第八节 多元函数的极值及其求法
一、填空题
1．0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==
2.(,,,,,)(,,,)(,,,)(,,,)L x y u v f x y u v x y u v x y u v λμλϕμψ=++
二、单项选择题
1．B 2. A
三、解答题
解：1．33
41,41,x y f x f y =-=-
令33
410410x y
x f x f y y ⎧
=⎪⎧=-=⎪⎪∴⎨⎨=-=⎪⎪⎩=⎪
⎩
∴是可能的极值点.又
2212,12,0xx yy xy f x f y f ===
，0,A B C ∴=
== 20,0AC B A ∴->>
，∴
是极小值点，且极小值为．
2．（法一） 设所求点(,,)P x y z ，则2
2
2
221x y z ++=，
又e l ⎫=
⎪⎝⎭，2x f x =，
2y
f y =，2z f
z =
.)P
f
x y l
∂⎛∴
=
=- ∂⎝ 再令
(,)),u x y x y =
-则设222(,,))(221)L x y z x y x y z λ=-+++-
222
404020
221x y
z L x L y L z x y z λλλ⎧==⎪==⎪∴⎨==⎪⎪++=⎩， 解得，
12120x y z λ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪
=⎪⎩
或12120x y z λ⎧=⎪⎪
⎪=-⎪
⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩
11,,02211,,022f
u l ⎛⎫- ⎪⎝⎭
∂⎛⎫∴-=
= ⎪∂⎝⎭
11,,02211,,022f
u l
⎛⎫- ⎪⎝⎭
∂⎛⎫-=
= ⎪∂⎝⎭∴所求的点为
11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭
． （法二）设所求点(,,)P x y z ，则2
2
2
221x y z ++=，
又e 2l ⎫
=
⎪⎝⎭
，2x f x =，2y f y
=，2z f
z =
.)P
f x y l
∂⎛∴
=
=- ∂⎝ 再令(
,)),u x y x y =
-则设222(,,))(221)L x y z x
y x y z λ
=-+++-
222
404020
221x y z L x L y L z x y z λλλ⎧==⎪==⎪∴⎨
==⎪⎪++=⎩，解得，121202x y z λ⎧=-⎪⎪⎪=
⎪⎨⎪=⎪⎪
=⎪⎩或121202
x y z λ⎧=⎪⎪
⎪=-⎪
⎨⎪=⎪⎪=-⎪⎩ 而11,,022f i j l ⎛⎫-
=-+=- ⎪⎝⎭grad ，(,,)f x y z ∴沿l 在11,,022⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的方向导数取最小 值（舍去）.又11,,022f i j l ⎛⎫
-=-=
⎪⎝⎭
grad ，P
f l ∂∴
∂沿l 方向取最大值.
∴所求的点为11,,022⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
3．设长方体的长、宽、高为,,x y z ，则xyz k =，它的表面积为：22s xy yz xz =++，
(,,0)x y z >，问题就转化为求s 在条件xyz k =下的最小值问题.构造辅助函数(,,)L x y z =22()xy yz xz xyz k λ+++-，解得
20
20
220x y
z
L z y yz L z x xz L x y xy xyz k
λλλ=++=⎧⎪=++=⎪∴⎨=++=⎪⎪=⎩
，解得，2x y z z ⎧===⎪⎨=⎪⎩，由实际问题的意义知，一定存在满足条件的表面积最小的长方体水池，上面的,,x y z 就为所求.
第八章 自测题
一、填空题（每小题3分，共27分）
1．1 2．2d d 2ln 2d x y z -++， 提示：1
ln (ln ln )u x y z
=
-，两边同时对x 求导，得 11u u x xz ∂=∂ 3．1，提示：2(,,)e 2e x x x z
f x y z yz yz x
∂=+∂，又方程0x y z xyz +++=两边同时对x 求偏导得：10z z yz xy x x ∂∂+
++=∂∂，所以11z yz x xy ∂+=-
∂+，则(0,1,1)
0z
x
-∂=∂，
∴(0,1,1)1x f -= 4. 1221y y yf f g y x x ⎛⎫
'''+
- ⎪⎝⎭
5．1，
提示：方程()x mz y nz ϕ-=-两边分别对,x y 求偏导得：10z z m n x x ϕ∂∂⎛
⎫'-=⋅- ⎪∂∂⎝
⎭则
1z x m n ϕ∂='∂-；01z z m n y y ϕ⎛⎫
∂∂'-=⋅- ⎪
∂∂⎝
⎭，则z y m n ϕϕ'∂-='∂-，代入所求的式子化简得，1z z m
n x y ∂∂+=∂∂ 6
．(4,2) 8．9270x y z +--= 9．
111
342111y x z +-
-==-或8423421y x z +--==- 二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．C 2. C 3. A 4. D 5. B
三、解答题(共58分)
解：1．
121
z f y f y g x y
∂'''=⋅+⋅+⋅∂，则 2111
122212222211z
x x f y f x f f f x f g yg x y y y y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂'''''''''''''=+⋅⋅+-+⋅-+⋅⋅+-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 111
1222122231x x x
f xyf f f f f
g yg y y
y y ⎛⎫'''''''''''''=++--+-++ ⎪⎝⎭ 111
2
2223
1x
f xyf f f
g yg y y '''''''''=+--++. 2.方程两边对x 分别求导，得1122220z z z
z x
yz xy x x x z x
∂∂∂+--++=∂∂∂ 112222z x xy yz z x z x ∂⎛⎫∴
-+=-- ⎪∂⎝⎭，z x
x z
∂∴=-∂， 同理，112220z z z x
xz xy y y y z y ∂∂∂--++=∂∂∂12122xz z y
y x xy z
-
∂∴=∂-+，
12d d d 122xz x y
z x y z x xy z
-
∴=-+-+.
3.方程组两边对x 求偏导：00u v u x y x x
u v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩
，解方程组得，22
u ux vy x x y ∂+=-∂+. 4.令2
2
2
(,,)1F x y z x y z =++-，则000()0,()0,()2x y z F P F P F P ===，
(0,0,2),n ∴=e (0,0,1)n =， 又21,2,3,x y z u u y u z === 000()1,()0,()3x y z u P u P u P ===，
000()0()0()13x y z P u
u P u P u P n ∂=⋅+⋅+⋅=∂ ∴函数u 在0P 点沿方向n 的方向导数为3.
5.（法一）在每个方程两边对x 求导，得d d 2220d d d 222
d y z x y z x x
y x y x ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：d 1d d 1d y x x y z x
z -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，
将P 代入
d d y x ，d d z x
得曲线的切向量)
1,0,T ⎛
== ⎝
， ∴
101y z -==
，法平面方程为：1)0x z -+=，
即0z +-=
（法二）令222
(,,)4F x y z x y z =++-，则2,2,2,x y z F x F y F z ===
从而
()2,()2,()x y z F P F P F P ===2224x y z ++=
的法向量为12(1,1n =；
再令2
2
(,,)2G x y z x y x =+-，则()0,()2,()0x y z G P G P G P ===，从而曲面
222x y x +=的法向量为2(0,2,0)2(0,1,0)n ==；∴切线的方向向量为：
(0,1,0)(T =⨯=
101y z -==
，法平面
方程为：1)0,x z -+=
即0z +-=. 6.
令：(,,)F x y z
x y z F F F =
=
=
设曲面上
的任一点为000(,,)x y z
，在此点处的法向量为,n ⎛⎫
= ∴
000)))0x x y y z z ---=，即
y =，∴
∴
a ==.
7.{}
(,)06,06D x y x y x =≤≤≤≤-，①当06x ≤≤，0y =时，(,0)0z f x ==；②当06y ≤≤，0x =时，(0,)0z f y ==；③当6x y +=，06x ≤≤时，
223(,6)(6)(2)122z f x x x x x x =-=--=-+；令22460x z x x =-+=，则04、x =， 当0x =时，0z =；当4x =时，64z =-；当6x =时，0z =；
∴二元函数在()()0,6,6,0点处取得最大值0，在()4,2处取得最小值64-.
第九章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、填空题
1.有界闭、有界、()0
1
lim
,n
i
i
i
i f λξησ
→=∆∑、闭、连续 2.
(,)d D
f x y σ⎰⎰ 3.π
4.
3
6
a π 5.
22
1()d 2D
x y σ+⎰⎰ 二、单项选择题
1． D
三、解答题
解：1.
01x y ≤+≤，∴2221x y xy ++≤，即2212x y xy +≤-，
∴2
2
22323x y xy ≤++≤-≤，2
2
42
2d 3d 36D
D
I σσ∴==≤≤==⎰⎰⎰⎰，
即 46I ≤≤. 2.
22(2)(1)2x y -+-≤，即22(1)22()x y x y -++≤+，
∴22(1)11()2x y x y -+≤+≤+，23()()x y x y +≤+，故23
()d ()d D D
x y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰.
第二节 二重积分的计算法（一）
一、填空题
1.2
01,0x y x ≤≤≤≤
，011y x ≤≤≤≤
2.
40
d (,)d x
x f x y y ⎰
⎰
3.655，提示：D
：2
01,x x y ≤≤≤≤()411e 2
-- 5.
2
2
1d ,:1D
x y D x
y σ--+≤⎰⎰ 6．242
2
2
2
d (,)d d (,)d y y y y f x y x y f x y x +⎰⎰⎰⎰
二、单项选择题
1.B
2. A 3．C 4. B
三、计算题
解：1.26
:24,
12y D y x y --≤≤≤≤+，原式d d D
xy x y ==⎰⎰241232d d y y y y x x +--⎰⎰ 214
2564
432
4322232
2
112d 428d 4362242324y y x y y y y y y y y y y y +----⎛⎫⎛⎫⎡⎤==+--=+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰
2.如图9-1
：:01,D y x ≤≤≤≤
1
220
d d d d D
x y x y y y x =⎰⎰⎰
1
335
3
1
1
122222220
000
2112d (1)d (1)d(1)(1)33335x y y y y y y y y ⎡⎤⎡==+=++=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰
2
1)15
=
. 3.如图9-2：:2;:;:32
x
OA y x OB y AB y x ==
=-+，12D D D ∴=，1:01D x ≤≤，
2;2x y x ≤≤2:12,32x
D x y x ≤≤≤≤-，12
1202d d d d d d d d x x D D D x x y x x y x x y x x y =+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图9-1
x
y
221
x y -=1
1-
图9-2
x
O
O
B (2,1)
A (1,2)
y
1
1D
2D D
12
231
223231
012
013313
13d d d 3d 2222
22x
x
x x y x x x x x x x x -⎛⎫⎡⎤⎡⎤+=+-=+-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰.
第二节 二重积分的计算法(二)
一、填空题
1.0,02cos 2
π
θρθ≤≤≤≤ 2.()2201d cos ,sin d d f πθρθρθρρθ⎰⎰
3.
2sec 3
4
d ()d f π
θπ
θρρρ⎰⎰
二、单项选择题
1.A
2.D
3.C
三、计算题
解：1.如图9-3，:0,02cos 4
D π
θρθ≤≤
≤≤，原式2cos 2
240
d d d d D
π
θρρθθρρ==⎰⎰⎰⎰
2cos 3344000
18d cos d 33θ
π
πρθθθ⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦⎰⎰
2.如图9-4，:0,2cos 22
D π
θθρ≤≤
≤≤，原式=22
320
2cos d d d d D
π
θ
ρρρθθρρ=⎰⎰⎰⎰
2
444
222220002cos 11d 2(1cos )d 4(1cos )sin d 44π
ππ
θ
ρθθθθθθ⎡⎤==-=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 20
515sin 2sin 4284π
πθθθ⎡⎤=--=
⎢⎥⎣⎦.
图9-3 x
y
y x = O
2 D
图9-4
2cos ρθ
=2ρ=
y
x
D
2 O
3．法一：如图9-5， :0,02sin D θπρθ≤≤≤≤，原式=
cos (sin 1)d d D
ρθρθρρθ+⎰⎰
=
2sin 2
20
cos (sin 1)d d d cos (sin 1)d D
π
θρ
θρθρθθρθρθρ+=+⎰⎰⎰⎰
2sin 43530001
18cos sin d cos 4sin sin d 4
33θ
ππθρθρθθθθθ⎡⎤⎛⎫
=+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
⎰⎰
()536400
824sin sin dsin sin sin 033π
π
θθθθθ⎛⎫⎡⎤
=+=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰.
法二：被积函数(1)x y +对x 是奇函数，区域D 关于y 轴对称，所以(1)d d 0D
x y x y +=⎰⎰.
4．如图9-6，12D D D =，221:4D x y +≤，222:49D x y ≤+≤，
原式()()()1
2
1
2
22224d d 4d d 4d d D D D x
y x y x y x y ρρρθ=
--++-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰
2
22
23
2330
2
41(4)d d d (4)d d (4)d 2
D π
π
π
ρρρθθρρρθρρρ+-=-+-=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰．
第三节 三重积分
一、填空题
1.43π
2.163π
3.2cos 22002
d d d a h z π
θπθρρ-⎰⎰⎰
图9-5
x
y
O 1
1
－1 2
2sin ρθ=
图9-6
x
y
O
2 3 D
1D
2D
4.
21
20
d d (sin cos )sin d f r r r ππθϕϕθϕ⎰
⎰⎰
二、单项选择题
1.C
三、计算题
解：1.1:01,0,0122
x x y z x y -Ω≤≤≤≤≤≤--，原式11122000d d d x
x y x y x z ---=⎰⎰⎰ 1121
1
1
2
220
00(1)1
d (12)d (1)d d 448
x
x x x x x y y x x y y x x x ---⎡⎤=--=--==⎣
⎦⎰⎰
⎰⎰.
2.如图9-7
，2π1
10
d d d d πV V z ρ
θρΩ
=
==⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
，
或者 π
2π2cos 240
d d d sin d πV V r r ϕθϕϕΩ
=
==⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
.
3.如图9-8，用柱面坐标表示
2
:02,01,0z θπρρΩ≤≤≤≤≤≤，
原式2
2
2π1
1
3
3
20
1d d d 2πd 2z z z ρρθρρρρ⎡⎤
=
=⎢⎥⎣⎦⎰
⎰⎰
⎰
1
701π2πd 28
ρρ==⎰
. 4.如图9-9，用球面坐标表示
:02,0,0sec 4
r π
θπϕϕΩ≤≤≤≤
≤≤，
原式sec ππ2πsec 34440
1d sin d d 2sin d 4r r r ϕ
ϕθϕϕπϕϕ⎡⎤=
=⎢⎥
⎣⎦⎰
⎰⎰
⎰
π440
12sec sin d 1)46
π
πϕϕϕ==⎰
. 5.222
(222)d I x y z xy yz xz V Ω
=+++++⎰⎰⎰，由对称性定理知：(222)d 0xy yz xz V Ω
++=⎰⎰⎰，故 22222
()d sin d d d I x y z V r r r ϕϕθΩ
Ω
=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图9-7
x
y
z
O
1
1
Ω
222z x y =+
222(1)1x y z ++-=
图9-8
x
y
z
1 22z x y =+
1
O
Ω
图9-9 x
y z
O
1
z Ω
[]2πππ
455000014d sin d d 2πcos π55
R r r R R θϕϕϕ==⋅⋅-=⎰⎰⎰.
第四节 重积分的应用
一、填空题
d x y
2.d xy D x y ⎰⎰
3.
22
22:4
(822)d d xy D x y x y x y +≤--⎰⎰
，
2π2
20
d (82)d θρρρ-⎰⎰，16π 4.28a 5.22()d x y V ρΩ
+⎰⎰⎰
二、单项选择题
1. B
2. B.
三、计算题
解：1.2
2
:2xy D x y x +≤
，x Z =
，y Z =
，故
所求面积d d d d xy
xy
xy
D D D x y x y x y =
===⎰⎰⎰⎰
. 2.xoy
面之上的球面为：z =
x Z =
，
y Z =
222
d ,(:)xy
xy D x y D x y ax =+≤⎰⎰
2d 2d xy
xy
D D x y x y ==⎰⎰
⎰⎰
cos 22
220
2
2
2d d 2(1sin )d 2a a a π
π
θππθρθθπ--==-=⎰⎰
⎰.
3.设扇形的均匀密度为μ，其质心坐标为(,)x y ，由对称性知，质心在x 轴上，故0y =，
2
202d d d d cos d d 2cos d d 1d d d d 2
L R D
D
D
R L R
D
D
x x y
x x y x RL x y
x y
RL μρθρρθ
θθρρμ-⋅=
=
=
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3212sin 23L R RL R =⋅2
4sin 32R L L R =，故质心坐标为24sin ,032R L L
R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.
第九章 自测题
一、填空题（每小题4分，共24分）
1.2
(e 1)- 2.
2sin 20
d (cos ,sin )d f π
θθρθρθρρ⎰
⎰
3.21
20
d (,)d x
x
x f x y y ⎰⎰
4.
53245a
提示：31I d 3a a a a x y y y x --⎡==⎢⎥
⎣⎦⎰⎰⎰
2225232()d 345a a a x x a -=
-=⎰ 5.()1
11e 2-- 6.22218
a b c 二、单项选择题（每小题3分，共24分） 1.A 2.C 3．D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.D
三、计算题(共52分)
解：1.原式2
2221111
122222
1
1
111
11d d d (1)(1)d 022x x x x x y y y x x x x -------⎡⎤⎡⎤===---=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰
⎰
⎰⎰. 2.原式110
0sin d d sin d 1cos1x x
x y x x x
=
==-⎰
⎰
⎰.
3.薄片质量(,)d d D
M x y x y μ=
⎰⎰，其中()1,12,D x y x y x x
⎧
⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩
⎭
，故上式=
222222223
122111111119d d d d d d ()d 4x
x x D
x
x x y x x y x x x x x x x x y y y x ⎡⎤⎛⎫==-=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰4.原式[]2π2π2π
2π
2π
π0
π
π
π
d sin d 2πdcos 2πcos 2πcos d θρρρρρρρρρ=
=-=-+⎰
⎰⎰⎰
[]2π
22π6π2πsin 6πρ=-+=-.
5.原式2cos 42π2cos 222
cos 0cos d d cos sin d 2πsin cos d 4r r r r ϕ
π
π
ϕϕ
ϕ
θϕϕϕϕϕϕ⎡⎤=
⋅=⎢⎥⎣⎦⎰
⎰⎰
⎰
ππ
6
2
520
1515cos 5πsin cos d ππ2264ϕϕϕϕ⎡⎤=
=-=⎢⎥⎣⎦⎰. 6.如图9-10，由于:02π,24,28z θρΩ≤≤≤≤≤≤，故
22
I ()d z x y V Ω
=+⎰⎰⎰222824
8
3
3
100202
2
d d d d d d z z
ππρ
θρρθρρ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰48π288π336π=+=.
第十章 曲线积分与曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分
一、填空题
1．
(,,)d x y z s ρΓ
⎰
，22()(,,)d y z x y z s ρΓ
+⎰，22()(,,)d x z x y z s ρΓ
+⎰，
2
2
()(,,)d x y x y z s ρΓ+⎰，(,,)d (,,)d (,,)d ,,(,,)d (,,)d (,,)d x x y z s y x y z s z x y z s x y z s x y z s x y z s ρρρρρρΓΓΓΓΓΓ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2．π 二、单项选择题
1．D 2．B ，提示：:0,01;:1,01;OA y x AB y x x =≤≤=-≤≤:0,01;BO x y =≤≤
10
I ()d (0)d OA AB BO
x y s x x ++=+=+⎰
⎰11
(1d 1x x x y y ++-+=+⎰⎰3．B
，提示：42π443
I (cos sin R t t t =
+⎰
7
77π2π
44
5
3
3
3
20
3(cos sin )|cos sin |d 24sin cos d 4R t t t t t R
t t t R =+==⎰⎰
，故选B
三、计算题
图9-10
x
y
z
O 2
8
4 222z x y =+
22x y ax +=
y
解：1．如图10-1，L 的参数方程： cos 22
sin 2a a x a y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(02π)θ≤≤， 22
I d L
x y s
=
+
⎰
222π0
cos d 22
a θ
θθ==
⎰
⎰
π2ππ222π0022cos d cos d cos d 2令t a t t a t t t t θ=⎡⎤⋅=-⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰[][]ππ222π02sin sin 2a t t a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 2．Γ的参数方程：1222x t
y t z t =+⎧⎪
=⎨⎪=
-⎩
(01)t ≤≤，1220d (12)2(2x yz s t t t t Γ=+-⎰⎰
1
4320(24244212)d t t t t t =-+++⎰1
54320
24106614655t t t t -⎡⎤
=+++=⎢⎥⎣
⎦．
3
、Γ
的参数方程：x y z θ
θ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩ (
02π)θ≤≤
2π
00
s θθΓ===⎰⎰⎰．
第二节 对坐标的曲线积分
一、填空题
1．
(,)d +(,)d AB P x y x Q x y y ⎰
，d AB
F r ⋅⎰ 2．
[][]{}(),()()(),()()P t t t Q t t t ϕψ
ϕϕψψ''+
3
．0
280d 2d x x x x -⎛⎫+- ⎪⎝
⎰⎰，22
43d
2y y -⎰ 4
提示：(1,2),cos x ταβ==
=
，
原积分[](,)cos (,)cos d L
P x y Q x y s αβ=
+⎰
图10-1
x
θ
O
a
21
二、单项选择题
1．C ，提示:12L L L =+，12:,:01;:2,:12;L y x x L y x x =→=-→
122
222220
1
1
42d ((2))d [(2)](1)d 3
I x x x x x x x x =++-+---=
⎰⎰⎰ 三、计算题
解：1．Γ的参数方程：112:1013x t y t t z t =+⎧⎪
=+→⎨⎪=+⎩
，2d d (31)d x x y y z y z Γ
++--⎰
22
111(12)2(39121)3d (8306)d t t t t t t t t ⎡⎤=+++⋅++---⋅=++⎣⎦⎰⎰ 0
321
87115633t t t ⎡⎤
=++=-⎢⎥⎣⎦.
2．2
:,:02L y x x =→,
2
2222
24240
()d ()d ()2d L x y x x y y x x x x x x ⎡⎤-++=-++⋅⎣⎦⎰⎰ 2
3546035
23x x x x ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦128
5=.
3．令cos ,sin x R y R θθ==，π
:
0,2
θ→ 22022
π2()d d (sin cos cos )(sin )cos cos d 22L x R xy x x y R R R R θθθθθθθ⎡⎤++=+-+⎢⎥⎣⎦
⎰⎰ 30
322
2π2sin sin (1sin )dsin 2R R R θθθθ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦
⎰
3323322
3π2
111=sin sin sin sin 322232R R R R R θθθθ⎡⎤--+-=
⎢⎥⎣⎦
． 第三节 格林公式及其应用
一、填空题
1．闭区域D ，一阶连续偏导数，
d d d d L
D Q P x y P x Q y x y ⎛⎫
∂∂-=+ ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰
，D 的取正向的边
界曲线 2．沿G 内任意闭曲线积分为零，
Q P
x y
∂∂=∂∂，(,)d (,)d P x y x Q x y y +为某一
22 二元函数的全微分 3．
(1,2)12
(0,0)
(,)d (,)d (,0)d (1,)d P x y x Q x y y P x x Q y y +=+⎰
⎰⎰
4．
22
22
x y xy C +++ 二、单项选择题
1．B ，提示：由格林公式，
d (01)d d L
D
y x x y σ-=--=⎰
⎰⎰，②③积分均为σ-，故选B
2．D ，提示：由格林公式，(22)d d 4d d 0D
D
I xy xy x y xy x y =
--=-=⎰⎰⎰⎰，因为被积函数
关于x 是奇函数，D 关于y 轴对称
三、计算题
解：1．令22
2
2,2()2(
)y
x
P Q x y x y
-==++，则当2
2
0x y +≠，有
222222()P x y Q
y x y x
∂-∂==∂+∂如图10-2，记L 所围区域D ,当(0,0)D ∉时,由格林公式得
22d d 02()L y x x y
x y -=+⎰；当(0,0)
D ∈时选取适当小的0r >，
作位于D 内的圆周222
1:l x y r +=.记L 与1l 所围的闭区域为1D ，对复连通区
域1D ，用格林公式得
11
2222d d d d 0d d 02()2()L l D y x x y y x x y x y x y x y --+=-=++⎰⎰⎰⎰，其中1l 取逆时针方向，于是12
2222220d d d d d 2()2()2L l y x x y y x x y
r x y x y r πθπ---=-=-=++⎰⎰⎰．
2．如图10-3，作辅助线段:0,:0OA y x a =→，与L 构成封闭曲线，记所围成的闭区域为D .令
e sin ,e cos ,
x x Q P
P y my Q y my m x y
∂∂=-=--=∂∂，由格林公式得(e sin )d (e cos )d x
x
L OA y my x y my y +-+-⎰2
πd d d d 8D D
Q P m a x y m x y x y ⎛⎫∂∂=-== ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰，图10-2
x
y 1l
O
L
图10-3
x
y O
(,0)A a 22:L x y ax +=
23
所以22ππI (e sin )d (e cos )d 88
x x
OA m a m a y my x y my y =--+-=⎰. 3．如图10-4，法一：作辅助线段:1,:10AB x y =→，:0,:10BO y x =→与L 构成封闭曲线，记所围成的闭区域为D .令2
2
,sin ,
1Q P
P x y Q x y x y
∂∂=-=--=-=∂∂，由格林公式得
22
()d (sin )d d d 0L AB BO D Q P x y x x y y x y x y ++⎛⎫∂∂--+=--= ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰， 所以
2
222
()d (sin )d ()d (sin )d L AB x
y x x y y x y x x y y --+=---+-⎰⎰
1
1
22220
sin 27()d (sin )d (1sin )d d 46
BO
x y x x y y y y x x --+=--+=
-⎰
⎰⎰. 法二： 由2
2
,sin ,
1Q P
P x y Q x y x y ∂∂=-=--=-=∂∂，所以曲线积分在xoy 面内与路径无关，取折线：:0,:01,
:1,:01OB y x BA x y =→=→， 则原积分
1
1
22220
sin 27
()d (sin )d d (1sin )d 46
OB BA
I x y x x y y x x y y +=--+=+--=
-⎰
⎰⎰. 第四节 对面积的曲面积分
一、填空题
1．
(,,)dS x y z μ∑
⎰⎰，22()(,,)dS y z x y z μ∑
+⎰⎰，22
()(,,)dS x z x y z μ∑
+⎰⎰， 22()(,,)dS x y x y z μ∑
+⎰⎰ 2．S
，yz
D d y z ⎰⎰ 3
．222(d ,(d ,(d f R x y f R y z f R z x
二、单项选择题
1．C ，提示：2
2
2
2
4
()d d 4x y z S R S R π∑
∑
++==⎰⎰⎰⎰
2．C ，提示：被积函数(,,)f x y z z =在曲面上为正，积分曲面关于xoy 面及yoz 面对称，故1
1
d 4d 4d S
S S z S z S x S ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（轮换对称性），其它类似可得
图10-4
x
y
O
(1,1)A (1,0)B L
24 三、计算题
解：1．如图10-5，
4:42,:1,323
xy y x y z x D ∑=--+≤2
24d 1(2)d d 3S x y ⎛⎫
=+-+- ⎪⎝⎭
，
2
2
442d 41(2)d d 33xy
D x y z S x y
∑⎛⎫⎛⎫++=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰⎰⎰⎰61143246132=⋅⋅⋅⋅=．
2．如图10-6，∑由1:1z z ∑=
≤≤ 与222:1,1z x y ∑=+≤ 围成，
1
222222222222()d ()d ()d 2(d xy
D x y z S x y z S x y z S x y x y ∑
∑∑++=+++++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
2π1
2π1
22320000(d d d d (+1)d xy
D x y x y θρρθρρρ+++=+⎰⎰⎰⎰⎰
32⎫=⎪⎭．
3．如图10-7，::02,11yz x D z y ∑=≤≤-≤≤，如图10-8，
2
(,,)f x y z x =为x 的偶函数，积分曲面关于yoz 面对称，
2
2
d 2(1d yz
D x S y y z ∑=-⎰⎰⎰⎰ 图10-5
y x z
O 2
3
4
∑
图10-6
x
y
z
O
2:1z ∑=
221:z x y ∑=+图10-7
x
y
z
O 1
∑
z
yz D
2
25
21
2d 2d 2πyz
D y z z y -===⎰⎰⎰⎰
．
第五节 对坐标的曲面积分
一、填空题
1．
(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰
2
．(22
,d d ,:1xy
xy D R x y x y D x y -
+≤⎰⎰
，
)()
,,d d ,:01,yz
yz D
P y z P y z y z D z z y z ⎡⎤-≤≤-≤≤⎢⎥⎣⎦
⎰⎰，
(
)()
,d d ,:01,xz
xz D Q x z Q x z z x D z z x z ⎡⎤-≤≤-≤≤⎢⎥⎣⎦
⎰⎰ 二、单项选择题
1．C ，提示：如图10-9，12341,:0x ∑=∑+∑+∑+∑∑=后侧，2:0y ∑=左侧，3:0z ∑=下侧，4:1x y z ∑++=上侧，
11(1)d d d d d d d d 002yz
D x y z y z x x y y z ∑+++=-++=-⎰⎰⎰⎰, 2
(1)d d d d d d 00d d +00zx
D x y z y z x x y z x ∑+++=-=⎰⎰⎰⎰,
31(1)d d d d d d 00d d 2xy
D x y z y z x x y x y ∑+++=+-=-⎰⎰⎰⎰, 4
(1)d d d d d d (2)d d (1)d d yz
zx D D x y z y z x x y y z y z x z z x ∑+++=--+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰d dy xy
D x +⎰⎰
11111
10
2114d (2)d d (1)d d d 3623
y x x y y z z x x z z x y ---=
--+--+=
++=⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
， ∴原积分为1
3
三、计算题
图10-8
O y
1
图10-9
x
y
z
O 1:0x ∑=
2:0y ∑=
3:0z ∑=
4∑
z
∑
26 解：1．如图10-10，∑
分为1:x ∑=
2:x ∑=的后侧，∑在yoz 面的投影为
22:4(0)yz D y z z +≤≥，如图10-11，则
1
2
222d dz d dz d dz x y x y x y ∑
∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2222(4)d dz (4)d dz 0yz
yz
D D y z y y z y =-----=⎰⎰⎰⎰．
2．如图10-12，设∑在xoy 面的投影为22
:1xy D x y +≤，又
()d d y z y z ∑
-⎰⎰()d d ()d d 0,yz
yz
D D y z y z y z y z =---=⎰⎰⎰⎰
()d d ()d d ()d d xz
xz
D D z x z x z x z x z x z x ∑
-=---⎰⎰⎰⎰⎰⎰0=，故原式=2π1
()d d ()d d d (cos sin )d 0xy
D x y x y x y x y θρθθρρ∑
-=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰
⎰．
3．如图10-13，∑在xoy 面的投影为22
:4xy D x y +≤, 设n 是∑下侧上一点处法向量， 则(2,2,1)n x y =-，d d 2d d y z x x y =-，d d 2d d z x y x y =-， 所以
22322d d d d d d (22)d d x y z xy z x y x y x xy y x y ∑
∑++=--+⎰⎰⎰⎰ ()2π
23223
2220
(22)d d d cos (1sin )sin d xy
D x xy y x y θρ
θθρθρρ=---+=+-⎰⎰⎰⎰
π
2π
2
220
sin d sin d 4πθθθθ==-⎰⎰=-4-16．
第六节 高斯公式 通量与散度
一、填空题
1．
(,,)(,,)(,,)d d d P x y z Q x y z R x y z x y z x y z Ω⎛⎫
∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰， 图10-10
x
y
O
2
图10-11
y
z
O
yz D
图10-12
x
y
z
1
O
∑
图10-13
x
y
z
O
∑
4
27
[](,,)cos (,,)cos (,,)cos d P x y z Q x y z R x y z S αβγ∑
++⎰⎰
(,,)(,,)(,,)d d d P x y z Q x y z R x y z x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰．
2．
(,,)(,,)(,,)P x y z Q x y z R x y z x y z ∂∂∂++∂∂∂
,,1)x y -
3．通量 4．
222
1
x y z
++ 二、计算题
解：1．令,,P x Q y R z ===，∑所围闭域2
2
:03,9z x y Ω≤≤+≤,如图10-14，由高斯公式得
d d d d d d 3d d d 339π381πx y z y z x z x y x y z V ∑
Ω
++===⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰．
2．如图10-15，添加辅助曲面222
1:0,z x y a ∑=+≤的下侧与∑上侧一起构成封闭曲面
的外侧，令323232
,,P x az Q y ax R z ay =+=+=+，则2223()P Q R
x y z x y z
∂∂∂++=++∂∂∂，
由高斯公式得
1
323232()d d (+)d d ()d d x az y z y ax z x z ay x y ∑+∑++++⎰⎰
π
5
2π
22
2
4
20
06π3()d d d 3d sin d d 5
a
a x y z x y z r r θϕϕΩ
=++==
⎰⎰⎰⎰⎰
⎰， 其中
:222:,0x y a z Ω+≤≤≤ 即π
:02π,0,02
r a θϕΩ≤≤≤≤
≤≤. 又
1
1
32323222()d d (+)d d ()d d d d d d xy
D x az y z y ax z x z ay x y ay x y ay x y ∑∑++++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图10-14
x
y
z
O
3
图10-15
x
y
z
O 22:z x y ∑=+1:0z ∑=
图10-16
x
y
z
O
1
1 ∑
28 52π2
2
πd sin d 4a a a θρθρρ=-=-⎰⎰
，所以原式=555
6ππ29π5420
a a a +=．
3．如图10-16，令2
2
,,P xz Q x y R y z ===，则
22P Q R
z x y x y z
∂∂∂++=++∂∂∂，∑所围闭域Ω：2
2
2
2
1,0,0,0x y x y z x y +≤≥≥≤≤+，即Ω：2π
0,01,02
z θρρ≤≤≤≤≤≤，由高斯公式得
2222d d d d d d ()d d d xz y z x y z x y z x y z x y x y z ∑
Ω
++=++⎰⎰
⎰⎰⎰
2
1
220
d d ()d z z π
ρθρρρ=+⎰⎰⎰π8
=
． 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
一、填空题
1．0 2．d d d P x Q y R z Γ
++⎰
3．∑的侧，
d d d d d d R Q P R Q P y z z x x y y z z x x y ∑⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫
-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎰⎰ 二、计算题
解：1．如图10-17，取∑为平面2
a
z =
22
234x y a ⎛⎫+≤
⎪⎝
⎭的上侧被Γ所围成的部分，∑的单位法向量(0,0,1)n =，由斯托克斯公式得
2
001
3πd d d d (1)d 4a y x z y x z S S x y z y
z
x
Γ
∑
∑∂∂
∂++==-=-∂∂∂⎰
⎰⎰
⎰⎰． 2．如图10-18，取∑为平面2z =的上侧被Γ所围成的部分(2
2
4x y +≤)，∑的单位法向量(0,0,1)n =，由斯托克斯公式得
x
y
z
O
Γ
2
∑
29
22
001
3d d d d (3)d 3y x xz y yz z S z S x y z y
xz
yz Γ
∑
∑∂∂∂
-+==--∂∂∂-⎰
⎰⎰
⎰⎰ 2(5)d 5π220πS ∑
=-=-⋅⋅=-⎰⎰．
3．环流量22()d ()d 3d x z x x yz y xy z Γ
Φ=
-++-⎰
，取∑为平面0z =的上侧
(2
2
4x y +≤)被Γ所围成的部分，∑的单位法向量(0,0,1)n =，22
:4xy D x y +≤,由斯托
克斯公式得：
22
01
d 2d 3S x S x y z x z
x yz xy ∑
∑∂∂∂
Φ==∂∂∂-+-⎰⎰
⎰⎰
2π
2
20
2d d 2cos d 0xy
D x y θρθρ===⎰⎰⎰⎰．
第十章 自测题
一、填空题（每小题3分，共15分）
1
2328π2π3b R ⎫+⎪⎭ ，提示：222
()d m x y z s Γ=++⎰
=232π2
22
2
8π(2π3b R b t t R ⎫+=+⎪
⎭
⎰
2．0 3．P Q y x ∂∂=∂∂ 4．32π3R ，提示：由轮换对称性，222
d d d y s z s x s ΓΓΓ==⎰⎰⎰2221(+)d 3
x y z s Γ=+⎰
3212πd 33R R s Γ==⎰ 5．12，提示：11001d d d d d d 2xz
D y x z x x z x x z ∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．B 2．D ，提示：(212)d 012d 12L L I xy s s a =
+=+=⎰⎰
图10-17
x
y
z
O
:2
a z ∑=
Γ
图10-18。