江西省萍乡二中高中数学4.2.3函数建模案例课件北师大版必修1

取两点(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx
得：
7.9 a.b70
4
7.2
5
a.b160
用计算器得：a2, b1.02
这样就得到函数模型： y=21.02x
(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.2 倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身 高为175㎝,体重为78㎏的在校男生的体重是否正 常?
使它能近似地反映这个地区一体化未成年男性体重y㎏ 与身高x㎝的函数关系?试写出这个函数模型的关系式；
解：(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画 出散点图
60
根据图的分布特
50 40
点,设y=a·bx这一 30
函数来近似刻画 20
其关系;
10
0
180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60
y
剩下残料的面积
x
所以，当x=30时，S取得最小值为600，此时y=20
故在直角三角形铁皮的两直角边中点处剪开时，剩下的残料最少， 最少残料为600cm2
离家距离
离家距离
离家距离
离家距离
0
时间
0
时间 0
时间 0
时间
A
B
C
D
C.对应的参考事件：我出发后感到时间较紧，所以加速前进， 后来发现时间还很充裕，于是放慢了速度.
` 例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的
进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元 6
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过 绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些 点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种 函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入 这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达 式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以 确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法 称为 数据拟合.
3.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试
建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并
作出相应的图象
v
解(1)阴影部分的面积为 50 1 80 1 90 1 75 1 65 1 360
t
这个函数的图像如下图所示：
4.下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个 图像写出一件事。
①我离开家不久，发现自己把作业忘在家里，于是返回家里找到作业再上学( D)
②我骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间 ( A) ③我出发后，心情轻松，缓慢行进，后来为了赶时间开始加速 ( B)
在自然科学和社会科学中，很多规律、定律 都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得 到的。
归纳为：
实际数据
根据收集到的 数据的特点 ，通过 建立函数模型解决 实际问题的基本过 程，可简化为如下 程序过程：
画出散点图 选择函数模型
求出函数模型
不合乎实际
检验
合乎实际
用函数模型解释实际问题
例1. 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如 下表：
身高/cm 体重/kg
身高/cm 体重/kg
60 6.13
120 20.92
70 7.90
130 26.86
80 9.99
140 31.11
90 100 110 12.15 15.02 17.50
150 160 170 38.85 47.25 55.05
(1)根据表提供的的数据,能否建立一个恰当的函数销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日均销售量就减少40 桶②销售利润怎样计算较好？
解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为
解 (2)将x=175代入y=21.02x，得 y=21.02175
用计算器得：y63.98 由于 7863.981.22>1.2, 所以这个男生偏胖。
例2 已知某商品的价格每上涨x%,销售的数量就减少 kx%,其中k为正常数.
当 k 1 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的
2
总金额最大？
解：1.设商品现定价a元,卖出数量为b个.
90
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km 80 70
(2)根据图形可得： 50t 2004
0t 1
S
80(t 1) 2054 90(t 2) 2134
1t 2 2t3
75(t 3) 2224 3 t 4
65(t 4) 2299 4 t 5
60 50 40 30 1 2 3 4 5 20 10
( )A
A.95元 B.100元 C.105元 D.110元
例6.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一 台仪器需增加投入100元，己知总收益 满足函数：
(其中x是仪器的月产量 )
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)； 解：(1)设月产量为x台，则总成本为20000+100x， 从而
480 40(x 1) 520 40x（桶）
而 x 0,且520 40x 0,即0 x 13
y (520 40x)x 200 40x2 520x 200 40(x 6.5)2 1490 当x 6.5时，y 有最大值
只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.
1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现， 每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
例6.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一 台仪器需增加投入100元，利润与产量的关系为
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ （总收益=总成本+利润） 解：(2)当0≤x≤400时，
∴当x=300时，有最大值25000； 当x>400时，f(x)=60000－100x是减函数， f(x)<60000－100×400<25000. ∴当x=300时，f(x)的最大值为25000.
由题设：当价格上涨x%时,销售总额为
y a(1 x%) b(1 kx%)
y ab [kx 2 100(1 k)x 10000 ] 10000
取k 1 得 2
y ab [(x 50)2 22500 ] 20000
当 x = 50时， ymax
销售总金额最大。
9 ab 8
即该商品的价格上涨50%时，
例7.一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm和60cm， 现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问： 怎样剪，才能使剩下的残料最少? 解：如右图，在直角三角形铁皮ABC中， 剪出一个矩形CDEF。设CD=x,CF=y,则AF=40-y.
因为△AEF∽△ABC，所以
即
所以
每间每天房价 20元 18元 16元 14元
住房率
65％ 75％ 85％ 95％
要使每天收入达到最高，每间定价应为（ C）
A.20元 B.18元 C.16元 D.14元
2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品 每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为